2019-2020年高三数学一轮总复习第八章立体几何第五节直线平面垂直的判定及其性质课时跟踪检测理

2019-2020 年高三数学一轮总复习第八章立体几何第五节直线平面
垂直的判定及其性质课时跟踪检测理
一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB? 平面 α ,CD?平面 α ,则直线 CD 与平面 α 内的直线 的位置关系只能是____________. 解析:因为 AB∥CD,AB? 平面 α ,CD?平面 α ,所以 CD∥平面 α ,所以 CD 与平面 α 内的直线可能平行,也可能异面. 答案:平行或异面 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,P 为△ABC 所在平面外 一点,PA⊥平面 ABC,则四面体 P ?ABC 中共有直角三角形个数为 ________. 解析:由 PA⊥平面 ABC 可得△PAC,△PAB 是直角三角形,且 PA⊥BC.又∠ABC=90°,所以△ABC 是直角三角形,且 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥PB,即△PBC 为直角三角形,故四面体 P ?ABC 中共有 4 个直角三角形. 答案:4 3.设 a,b 为不重合的两条直线,α ,β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 a∥α 且 b∥α ,则 a∥b; ②若 a⊥α 且 a⊥β ,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,则一定存在平面 γ ,使得 γ ⊥α ,γ ⊥β ; ④若 α ⊥β ,则一定存在直线 l,使得 l⊥α ,l∥β . 上面命题中,所有真命题的序号是________. 解析:①中 a 与 b 可能相交或异面,故不正确. ②垂直于同一直线的两平面平行,正确. ③中存在 γ ,使得 γ 与 α ,β 都垂直. ④中只需直线 l⊥α 且 l?β 就可以. 答案:②③④ 4.如图,PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点, AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC; ④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号是________. 解析:①AE? 平面 PAC,BC⊥AC,BC⊥PA? AE⊥BC,故①正确, ②AE⊥PC,AE⊥BC,PB? 平面 PBC? AE⊥PB,AF⊥PB,EF? 平面 AEF? EF⊥PB,故②正确, ③若 AF⊥BC? AF⊥平面 PBC,则 AF∥AE 与已知矛盾,故③错误,由①可知④正确. 答案:①②④

5.如图,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,则直线 AA1 到平面 BB1D1D 的距离 为________ cm.
解析:连结 AC 交 BD 于点 O,则 AO⊥BD.因为 BB1⊥平面 ABCD,AO? 平面 ABCD,所以 BB1 ⊥AO.又 BB1∩BD=B,所以 AO⊥平面 BB1D1D.又 AA1∥BB1,AA1?平面 BB1D1D,BB1? 平面 BB1D1D, 所以 AA1∥平面 BB1D1D,所以线段 AO 的长就是直线 AA1 到平面 BB1D1D 的距离.因为 AB=AD= 3 cm,AB⊥AD,AO⊥BD,所以 AO=3 2 2,即直线 AA1 到平面 BB1D1D 的距离为3 2 2.
答案:3 2 2 二保高考,全练题型做到高考达标
1.如图,边长为 2 2的正方形 ABCD 在平面 α 上的射影为四边形 EFCD,且 AB 到平面 α 的距离为 2,则 AD 与平面 α 所成的角为________.
解析:易知∠ADE 为 AD 与平面 α 所成的角.在 Rt△AED 中,AE= 2,AD=2 2,所以 sin∠ADE=AAED=12,所以∠ADE=30°.
答案:30° 2.如图,BC 是 Rt△BAC 的斜边,过 A 作△ABC 所在平面 α 的垂线 AP,连结 PB,PC, 过 A 作 AD⊥BC 于点 D,连结 PD,那么图中直角三角形的个数是________.
解析:由线面垂直的判定与性质,可知直角三角形有△ABC,△ADC,△ADB,△PAB,△ PAD,△PAC,△PDB,△PDC,共 8 个.
答案:8 3.(xx·启东中学检测)如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点,则下列结论正确的是________(填序号). ①线段 A1M 与 B1C 所在直线为异面直线; ②对角线 BD1⊥平面 AB1C; ③平面 AMC⊥平面 AB1C; ④直线 A1M∥平面 AB1C.

解析:由异面直线的定义,可知①正确;易证明 BD1⊥AB1,BD1⊥AC,所以 BD1⊥平面 AB1C, 所以②正确;连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OM,可以证明 OM∥BD1,所以 OM⊥平面 AB1C,进而 可得平面 AMC⊥平面 AB1C,所以③正确;由题意,得直线 A1M 与平面 AB1C 相交,所以④不正 确.
答案:①②③ 4.如图,已知三棱锥 P?ABC 的所有棱长都相等,
D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中正确的是________(填序号). ①BC∥平面 PDF; ②DF⊥平面 PAE; ③平面 PDF⊥平面 ABC; ④平面 PAE⊥平面 ABC. 解析:由 BC∥DF,得 BC∥平面 PDF,故①正确;由 BC⊥AE,BC⊥PE,得 BC⊥平面 PAE, 所以 DF⊥平面 PAE,平面 PAE⊥平面 ABC,故②④都正确.易知③不正确. 答案:①②④ 5.(xx·上饶质检)已知 m,n 是两条不相同的直线,α ,β 是两个不重合的平面,现 有以下说法: ①若 α ∥β ,n? α ,m? β ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,m⊥β ,n⊥α ,则 n⊥β ; ③若 m⊥n,m⊥α ,n⊥β ,则 α ⊥β ; ④若 m∥α ,n∥β ,α ⊥β ,则 m⊥n; ⑤若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n. 其中正确说法的序号为________. 解析:对于①,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线, 因此①不正确;对于②,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知 α ,β 平行;由 定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n⊥β , 因此②正确;对于③,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两 条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,③正确;对于④,分别平行两个垂直平面的 两条直线未必垂直,因此④不正确;对于⑤,m 与 n 有可能平行,因此⑤不正确.综上所述, 其中正确的说法有②③. 答案:②③

6.(xx·常州期末)给出下列四个命题: ①“直线 a∥直线 b”的必要不充分条件是“a 平行于 b 所在的平面”; ②“直线 l⊥平面 α ”的充要条件是“l 垂直于平面 α 内的无数条直线”; ③“平面 α ∥平面 β ”是“α 内有无数条直线平行于平面 β ”的充分不必要条件; ④“平面 α ⊥平面 β ”的充分条件是“有一条与 α 平行的直线 l 垂直于 β ”. 上述命题中,所有真命题的序号为________. 解析:①是既不充分也不必要条件;②是充分不必要条件,即“直线 l⊥平面 α ”可得 “l 垂直于平面 α 内的无数条直线”,反之不成立;③④正确. 答案:③④ 7.如图所示,在四棱锥 P ?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都 相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析:连结 AC,BD,则 AC⊥BD, ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC) 8.如图,直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°, D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF, 则线段 B1F 的长为________. 解析:设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF? 平面 C1DF,所以 AB1⊥DF. 由已知可以得 A1B1= 2, 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h,则 DE=12h.

又 2× 2=h 22+ 2 2,

所以

h=2 3 3,DE=

3 3.

在 Rt△DB1E 中,B1E=

??? 22???2-??? 33???2= 66.

6 由面积相等得 6 ×

x2+??? 22???2= 22x,得 x=12.

即线段 B1F 的长为12.

答案:12

9.如图,几何体 EF?ABCD 中,CDEF 为边长为 2 的正方形,ABCD 为

直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.

(1)求证:AC⊥FB;

(2)求几何体 EF ?ABCD 的体积.

解:(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,

且 DC∩DF=D,∴AD⊥平面 CDEF,∴AD⊥FC.

∵四边形 CDEF 为正方形,∴DC⊥FC,

∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面 ABCD,∴FC⊥AC.

又∵四边形 ABCD 为直角梯形,

AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,

∴AC=2 2,BC=2 2,则有 AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,

又 BC∩FC=C,∴AC⊥平面 FCB,∴AC⊥FB.

(2)连结 EC,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N,

易知 BN⊥平面 CDEF,且 BN=2.

∵VEF

=V ?ABCD

E

+V ?ABCD

B

?EFC=13S

梯形

ABCD·DE+13S△EFC·BN=136,

∴几何体 EF ?ABCD 的体积为136.

10.(xx·陕西高考)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=π2 ,AB=BC=12AD

=a,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到图 2 中△A1BE 的位置,得 到四棱锥 A1?BCDE.

(1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1?BCDE 的体积为 36 2,求 a 的值. 解:(1)证明:在图 1 中,因为 AB=BC=12AD=a,E 是 AD 的中点,∠BAD=π2 ,所以 BE ⊥AC.

即在图 2 中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 又 A1O∩OC=O, 所以 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE,所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1)可得 A1O⊥BE,所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1?BCDE 的高. 由图 1 知,A1O= 22AB= 22a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BC·AB=a2, 从而四棱锥 A1?BCDE 的体积为 V=13S·A1O=13×a2× 22a= 62a3. 由 62a3=36 2,得 a=6.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.(xx·兰州质检)如图,在直角梯形 ABCD 中,BC⊥DC,AE⊥ DC,且 E 为 CD 的中点,M,N 分别是 AD,BE 的中点,将三角形 ADE 沿 AE 折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的 序号) ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN∥平面 DEC; ②不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN⊥AE; ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内),都有 MN∥AB; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使 EC⊥AD.
解析:由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD, 所以四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE=AD,折叠后如图所示. ①过点 M 作 MP∥DE,交 AE 于点 P,连结 NP. 因为 M,N 分别是 AD,BE 的中点, 所以点 P 为 AE 的中点,故 NP∥EC.又 MP∩NP=P,DE∩CE=E, 所以平面 MNP∥平面 DEC,故 MN∥平面 DEC,①正确;②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC, 所以 AE⊥MP,AE⊥NP, 又 MP∩NP=P,所以 AE⊥平面 MNP,

又 MN? 平面 MNP,所以 MN⊥AE,②正确; ③假设 MN∥AB,则 MN 与 AB 确定平面 MNBA, 从而 BE? 平面 MNBA,AD? 平面 MNBA,与 BE 和 AD 是异面直线矛盾,③错误; ④当 EC⊥ED 时,EC⊥AD. 因为 EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E, 所以 EC⊥平面 AED,AD? 平面 AED, 所以 EC⊥AD,④正确. 答案:①②④ 2.如图所示,已知长方体 ABCD ?A1B1C1D1,点 O1 为 B1D1 的中点. (1)求证:AB1∥平面 A1O1D. (2)若 AB=23AA1,在线段 BB1 上是否存在点 E 使得 A1C⊥AE?若
BE 存在,求出BB1;若不存在,说明理由.
解: (1)证明:如图(1)所示,连结 AD1 交 A1D 于点 G, ∴G 为 AD1 的中点.连结 O1G.在△AB1D1 中, ∵O1 为 B1D1 的中点,∴O1G∥AB1. ∵O1G? 平面 A1O1D,且 AB1?平面 A1O1D, ∴AB1∥平面 A1O1D.
(2)若在线段 BB1 上存在点 E 使得 A1C⊥AE,连结 A1B 交 AE 于点 M,如图(2)所示. ∵BC⊥平面 ABB1A1,AE? 平面 ABB1A1, ∴BC⊥AE. 又∵A1C∩BC=C,且 A1C,BC? 平面 A1BC, ∴AE⊥平面 A1BC. ∵A1B? 平面 A1BC, ∴AE⊥A1B. 在△AMB 和△ABE 中, ∠BAM+∠ABM=90°,∠BAM+∠BEA=90°, ∴∠ABM=∠BEA.

∴Rt△ABE∽Rt△A1AB, BE AB
∴AB=AA1. ∵AB=23AA1, ∴BE=23AB=49BB1, 即在线段 BB1 上存在点 E 使得 A1C⊥AE,
BE 4 此时BB1=9.


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