2015-2016学年四川省资阳市高二下学期期末质量检测数学理试题(word版)


资阳市 2015—2016 学年度高中二年级第二学期期末质量检测


页。全卷共150分。 注意事项:

学(理工类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至2 页,第Ⅱ卷3 至4

1.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡上,并将条形码贴在 答题卡上对应的虚线框内。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用0.5 mm黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答, 在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考人只将答题卡收回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 3 3 x (A) y ? ? 2 1 (C) y ? ? x 2 2.复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于 (A) ?2 ? 3i (C) 2 ? 3i
1.双曲线 你可以归纳猜想出的一般结论为 (A) 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2 (n ? N? ) (B) 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 (n ? N? ) (C) 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 (n ? N? ) (D) 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 (n ? N? ) 4.定积分 ? e x dx ?
0 1

(B) y ? ?2 x (D) y ? ?
2 3 x 3

(B) ?2 ? 3i (D) 2 ? 3i

3.观察下列式子:1 ? 3 ? 22 ,1 ? 3 ? 5 ? 32 ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 42 ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 52 ,…,据此

(A) 1 ? e

(B) e

(C) e ? 1 的值为
1 (A) ? 2 1 (C) 10 6.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 的极大值点是

(D) 1 ? e

? ? ? 6 ,则 b ? ? bx 5.已知 x,y 的取值如右表所示,若 y 与 x 线性相关,且线性回归方程为 y

1 (B) 2

x y
1 10

1 6

2 4

3 5

(D) ?

(A) x ? ?1 (C) x ? 0 (A) 2 (C) 0 8.函数 f ( x) ?
cos x 的导函数 f ?( x) 为 2x sin x ? cos x (A) f ?( x) ? 2x

(B) x ? 1 (D) x ? ?1 (B) 1 (D) ?1

7.设 (2 x ? 1)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 .则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

(B) f ?( x) ? ? (D) f ?( x) ? ?

sin x ? ln 2 ? cos x 2x
sin x ? cos x 4x

(C) f ?( x) ?

sin x ? ln 2 ? cos x 2x

9.五人站成一排,其中甲、乙之间有且仅有 1 人,不同排法的总数是 (A) 48 (C) 18 10 .已知椭圆 (B) 36 (D) 12

x2 y 2 F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF2 ? 2 ,则 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , 8 4

cos ?F1 PF2 ?

3 2 (B) 4 3 1 1 (C) (D) 3 2 2 11.已知 P 为抛物线 y ? 4 x 上的一个动点,则点 P 到直线 l: 2 x ? y ? 3 ? 0 和 y 轴的距离之

(A)

和的最小值为 (A) 3 (C) 2 为 f ( x) 的导函数),则 f ( x) ? 0 的解集为 (B) 5 ? 1 (D) 5

12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 f (2) ? 0 , 当 x ? 0 时,f ( x) ? x f ?( x) ? 0(其中 f ?( x)

? 2? ? ? 2, ? ?? (A) ? ??,

? 2? ? ? 0, 2? (B) ? ??,

0? ? ? 2, ? ?? (C) ? ?2,

0? ? ? 0, 2? (D) ? ?2,

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
1 13. ( x ? )6 展开式的常数项为_______. x

14.函数 y ? kx ? ln x 在点 (1,k ) 处的切线平行于 x 轴,则实数 k=_______. 15. 已知椭圆

x2 y 2 右焦点 F2 (c, 若椭圆上存在一点 P 0) , 0) , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 (?c, a 2 b2

使 PF1 ? 2c , ?F1 PF2 ? 30? ,则该椭圆的离心率 e 为_______. 16.若存在正实数 x0 使 e x0 ( x0 ? a) ? 2 (其中 e 是自然对数的底数,e=2.71828…)成立,则 实数 a 的取值范围是____________. 三、解答题:本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为 F , P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点. (Ⅰ) 当 PF ? 2 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ) 求点 P 到直线 y ? x ? 10 的距离的最小值.

18.(本小题满分 12 分) 学校游园活动有这样一个游戏: A 箱子里装有 3 个白球,2 个黑球, B 箱子里装有 2 个 白球,2 个黑球,参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球,若颜色相同则获奖.现同 学甲参加了一次该游戏. (Ⅰ) 求甲获奖的概率 P; (Ⅱ) 记甲摸出的两个球中白球的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E (? ) .

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
y? 1 x ? b ( b ? R ). 2
3 x ? 3 ( a ? R ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1,f (1))处的切线方程为 2

(Ⅰ) 求 a ,b 的值; (Ⅱ) 求 f ( x) 的极值.

20.(本小题满分 12 分) 某市高二学生进行了体能测试,经分析,他们的体能成绩 X 服从正态分布 N (?,? 2 ) , 已知 P( X ≤ 75) ? 0.5 , P( X ≥ 95) ? 0.1 . (Ⅰ) 求 P(75 ? X ? 95) ; (Ⅱ) 现从该市高二学生中随机抽取 3 位同学, 记抽到的 3 位同学中体能测试成绩不超过

75 分的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
3 x2 y 2 3 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 上. ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b 2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ( Ⅱ ) 过椭圆 C 的左顶点 B 且互相垂直的两直线 l1 ,l2 分别交椭圆 C 于点 M ,N (点
M ,N 均异于点 B),试问直线 MN 是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,

说明理由.

22.(本小题满分 12 分)
1 1 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x2 ? ( a ? R ). 2 2

(Ⅰ) 若 a ? ? 4 ,求 f ( x) 的单调区间;
? ?) 上恒成立,求 a 的最小值. (Ⅱ) 若 f ( x) ≥ 0 在区间 [1,

资阳市 2015—2016 学年度高中二年级第二学期期末质量检测

数学参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.A 7.A 2.C 8.B 3.B 9. B 4.C 10.D 5.A 11.B 6.D 12.C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. -20 14. -1 15.

3 ?1 2

16. (?2, ??)

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。 17.(本小题满分 10 分)

x2 解析:设 P( x, ) ,其中 x ? 0 , 4
(Ⅰ)由题, F 坐标为 (0,1) , 由 PF ? 2 ,得 ( x ? 0)2 ? (
x2 ? 1)2 ? 2 ,化简得 x4 ? 8x2 ? 48 ? 0 , 4

解得 x ? ?2 ,又 x ? 0 ,所以 x ? 2 .
1) . · 所以点 P 的坐标为 (2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

(Ⅱ)设点 P 到直线 y ? x ? 10 的距离为 d ,

1 x ? x 2 ? 10 1 ( x ? 2)2 ? 36 9 2 4 ?4 ≥ 则d ? (当且仅当 x ? 2 时等号成立), 2 2 2
所以点 P 到直线 y ? x ? 10 的距离的最小值为 18.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)记甲获奖为事件 A ,
3 2 2 2 10 1 事件 A 发生的概率 P( A) ? ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? .· 5 4 5 4 20 2
1, 2, (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,

9 2 1) . · ,此时点 P 为 (2, · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2

2 2 1 P(? ? 0) ? ? ? ; 5 4 5 2 2 3 2 1 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ; 5 4 5 4 2

3 2 3 P(? ? 2) ? ? ? . 5 4 10

所以 ? 的分布列为

?

0
1 5

1
1 2

2
3 10

P

1 1 3 11 数学期望 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5 2 10 10

19.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)由 f ?( x) ?
a 3 3 1 ? ,则 f ?(1) ? a ? ? ,得 a ? 2 , x 2 2 2

3 3 所以 f ( x) ? 2ln x ? x ? 3 , f (1) ? , 2 2

3 3 1 把切点 (1, ) 代入切线方程有 ? ? b ,解得 b ? 1 , 2 2 2

综上: a ? 2 , b ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)有 f ?( x) ? 当0 ? x ?

2 3 4 ? 3x , ? ? x 2 2x

4 4 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 3 3
4 4 4 时取得极大值 f ( ) ? 2ln ? 1, f ( x) 无极小值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 3 3

所以 f ( x) 在 x ?

20.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)由题得
P(75 ? X ? 95) ? 1 ? P( X ? 75) ? P( X ? 95) ? 0.4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
1,, 2 3. (Ⅱ) ? 可能值为 0,

1 0 1 3 则 P(? ? 0) ? C3 ( ) ? ; 2 8

3 1 1 3 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? ; 2 8 1 3 P(? ? 2) ? C32 ( )3 ? ; 2 8

1 3 1 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? . 2 8

所以 ? 的分布列为

?
数 学

0

1

2

3

P

1 8

3 8

3 8

1 8

1 3 3 1 3 期望 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 8 8 8 8 2

21.(本小题满分 12 分)
? 2 ?c ? a 2 ? b2, ?a 2 ? 4, ? 2 ? 3 ?c 解析:(Ⅰ)由题 ? 2 ? , 解得 ?b2 ? 1, 4 ?a ? 2 ?c ? 3, ?1 3 ? ? 1 , ? ? a 2 4b2

所以椭圆 C 的方程为

x2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y2 ? 1 . · 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B(?2,0) . ①当直线 MN 斜率存在时,设直线 MN 方程为 y ? kx ? n , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
? y ? kx ? n, 联立直线与椭圆方程 ? 2 整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8knx ? 4n2 ? 4 ? 0 , 2 ? x ? 4 y ? 4,

则 x1 ? x2 ?

4n2 ? 4 ?8kn , ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 x ? x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

判别式 Δ ? 64k 2 n2 ? 4(4k 2 ? 1)(4n2 ? 4) ? 64k 2 ? 16n2 ? 16 ? 0 ,即 n 2 ? 4k 2 ? 1 , ?? (?)
???? ? ???? 因为 l1 , l2 互相垂直,所以 BM ? BN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 ? y2 ? 0 ,

整理得 (k 2 ? 1) x1 ? x2 ? (kn ? 2)( x1 ? x2 ) ? n2 ? 4 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

所以

(k 2 ? 1)(4n2 ? 4) ? 8kn(kn ? 2) ? (n2 ? 4)(4k 2 ? 1) ?0, 4k 2 ? 1

6 即 5n2 ? 16kn ? 12k 2 ? 0 ,解得 n ? 2k 或 n ? k . 5

当 n ? 2k 时,直线 MN 方程为 y ? kx ? 2k 过点 B(?2,0) ,不合题意应舍去;
6 6 6 当 n ? k 时,满足不等式 (?) ,直线 MN 方程为 y ? kx ? k ,过定点 (? ,0) . · · · · · · 10 分 5 5 5

②当直线 MN 斜率不存在时,设直线 MN 方程为 x ? n , 则 M 坐标为 (n, 2 ? n) ,代入椭圆方程得

n2 6 ? (n ? 2)2 ? 1 ,解得 n ? ? ,n ? ?2 (舍去). 5 4

6 此时直线 MN 过点 (? ,0) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 6 综上所述:直线 MN 过定点 (? ,0) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5

22.(本小题满分 12 分)

4 x2 ? 4 1 1 解析:(Ⅰ) 当 a ? ?4 时, f ( x) ? ?4ln x ? x2 ? ( x ? 0 ),则 f ?( x) ? x ? ? . 2 2 x x
当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,
2) ;递增区间是 (2, ? ?) . · 所以 f ( x) 递减区间是 (0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ) f ?( x) ? x ?

a x2 ? a ( x ? 0 ), ? x x

, ? ?) 上 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增, (1)当 a ? 0 时,在 [1

所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,故 a ? 0 满足条件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ?

x2 ? a x2 ? (?a) ( x ? ?a )( x ? ?a ) ? , ? x x x

令 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? ? ?a (舍去),或 x ? ?a . 当 0 ? x ? ?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减;当 x ? ?a 时, f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 单调递增.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ①若 ?a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 0 时,
, ? ?) 上单调递增, 函数 f ( x) 在 [1

所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,故 ?1 ? a ? 0 满足条件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ②若 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 函数 f ( x) 在 (1, ?a ) 上单调递减;在 ( ?a , ??) 上单调递增,

不妨取 x0 ? (1, ?a ) ,则 f ( x0 ) ? f (1) ? 0 ,所以 a ? ?1 不满足条件.
, ? ?) 上恒成立时, a ? ?1 , 综上所述,函数 f ( x) ≥ 0 在区间 [1 , ? ?) 上恒成立时 a 的最小值为-1.· 所以 f ( x) ≥ 0 在区间 [1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分


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