高中数学复习精讲 空间几何体的三视图、表面积和体积


空间几何体的三视图、表面积和体积 1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题. 热点一 三视图与直观图 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与 正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等” . 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体. 例1 (1)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( ) 答案 D 解析 所得几何体的轮廓线中,除长方体原有的棱外,有两条是原长方体的面对角线,它们在侧(左)视图 中落在矩形的两条边上,另一条是原长方体的体对角线,在侧(左)视图中体现为矩形的自左下至右上的一 条对角线,因不可见,故用虚线表示,由以上分析可知,故选 D. (2)有一块多边形的菜地, 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所 示),∠ABC=45° ,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________. 答案 2+ 2 2 解析 如图,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为点 E, 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45° ,∴BE= 2 . 2 而四边形 AECD 为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC= 由此可还原原图形如图所示. 2 +1. 2 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′= 且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, ∴这块菜地的面积为 1 S= (A′D′+B′C′)· A′B′ 2 1 2 2 = ×?1+1+ ?×2=2+ . 2 ? 2 2? 2 +1, 2 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投 影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正(主)视图或 侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形 状,即可得到结果.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正(主)视图和俯视图为主,结合侧(左)视图进 行综合考虑. 跟踪演练 1 (1)(2017· 河北省武邑中学模拟)已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图, 则该锥体的俯视图 不可能是( ) 答案 D 解析 A 项,该锥体是底面边长为 2,高为 3的正四棱锥. B 项,该锥体为底面半径为 1,高为 3的圆锥. C 项,该锥体是底面为等腰直角三角形,高为 3的三棱锥. D 项,由于该图形不满足三视图原则“宽相等” ,所以不可能是该锥体的俯视图,故 D 项不符合题意. 故选 D. (2)(2017· 衡阳联考)如图所示,三棱锥 V-ABC 的底面是以 B 为直角顶点的等腰直角 三角形,侧面 VAC 与底面 ABC 垂直,若以垂直于平面 VAC 的方向作为正(主)视图 的方向,垂直于平面 ABC 的方向为俯视图的方向,已知其正(主)视图的面积为 2 3, 则其侧(左)视图的面积是( A. 3 2 B. 3 ) C.2 3 D.3 答案 B 1 2 3 解析 设三棱锥的高为 h,AB=BC= 2a,则 AC=2a,S 正(主)视图= ×2a×h=2 3?h= , 2 a 1 a 2 3 S 侧(左)视图= ah= × = 3. 2 2 a 故选 B. 热点二 几何体的

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