2015高中数学 1.6余弦函数的图像与性质 课件(北师大版必修四)

§6 余弦函数的图像与性质

问题 引航

1.如何得到余弦函数的图像?什么是余弦曲线? 2.余弦函数有哪些性质?如何利用这些性质解题?

1.余弦函数图像的画法
(1)平移法:



? 2

(2)五点法: ①五个关键点: x cos x 0 1 __
? 2

π -1 ___

3? 2

2π 1 __

0 __

0 __

②函数y=cos x,x∈[0,2π ]的简图:

(3)余弦曲线:y=cos x(x∈[0,2π ])的图像向左、向右平行 2π 个单位)得到余弦函数y=cos x(x∈R)的图 移动(每次平移____ 像,此图像叫作余弦曲线.

2.余弦函数的性质 函数 性质 余弦函数y=cos x

图像

定义域 值域

R [-1,1]

函数
性质 最值 周期性 奇偶性 单调性

余弦函数y=cos x 当x=2kπ (k∈Z)时,ymax=1 当x=(2k+1)π (k∈Z)时,ymin=-1

2π 是周期函数,最小正周期为____
是偶函数,图像关于y轴对称 增加 的 在[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上是_____ 减少 的 在[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上是_____

1.判一判 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦函数y=cos x是偶函数,图像关于y轴对称,对称轴有 无数多条.( )

(2)余弦函数y=cos x的图像是轴对称图形,也是中心对称图 形.( )

(3)在区间[0,2π ]上,函数y=cos x仅在x=0时取得最大值

1.(

)

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=|cos x|的单调增区间是________,单调减区间是 ________,最小正周期是________. (2)函数y=2cos x-1的值域是________. (3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为________.

【解析】1.(1)正确.由余弦函数的图像可得,对称轴方程为 x=kπ(k∈Z),所以余弦函数的图像的对称轴有无数条.

(2)正确.由余弦函数的图像可得函数关于点 ( ? ? k?, 0)(k∈Z)
2

成中心对称.

(3)错误.在区间[0,2π]上,函数y=cos x在x=0与x=2π
时取得最大值1.

答案:(1)√

(2)√

(3)×

2.(1)y=cos x的图像在x轴上方的不动,将下方部分对称地翻
到x轴上方,即得到函数y=|cos x|的图像,如图所示,

由图像可知,函数的最小正周期为π,又因为在 [? ? , ? ] 上, 函数的增区间是 [? ,0], 减区间是 [0, ? ]. 而函数的周期是
2
? 2 2 2

kπ(k∈Z且k≠0),因此函数y=|cos x|的增区间是
? ? [k? ? , k?] (k∈Z),减区间是 [k?, k? ? ] (k∈Z). 2 2 答案:[k? ? ? , k?] ? k ? Z ? [k?, k? ? ? ] ? k ? Z ? ? 2 2

(2)因为y=cos x∈[-1,1],所以2cos x-1∈[-3,1]. 答案:[-3,1] (3)函数y=-cos x的定义域为R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x =f(x),所以函数为偶函数. 答案:偶函数

【要点探究】 知 识 点 余弦函数的图像与性质

1.余弦函数性质与图像的关系 (1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. (2)余弦函数的性质可以由图像直接观察,但要经过解析式或 单位圆推导才能下结论.

2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性),是求与之相 关的值域(或最值)的关键,通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性,要注意使用复合函数单调性的 判断方法.

3.余弦函数的最值

(1)明确余弦函数的有界性,即|cos x|≤1,解题时常会用到.
(2)对有些函数,其最值不一定就是1或-1,要依赖函数的定义

域来确定.
(3)形如y=Acos(ω x+φ)(A>0,ω >0)的函数求最值时,通常 利用“整体代换”,即令ω x+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.

【微思考】

(1)由y=sin x,x∈R的图像得到y=cos x,x∈R的图像,平移的
方法唯一吗?

提示:可向左平移也可向右平移,方法不唯一.
(2)形如y=Acos(ω x+φ)(A>0,x∈R)的值域还是[-1,1]吗? 提示:不一定是.值域是[-A,A].

【即时练】

下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是(
A.最小值为-4 B.是偶函数 C.当x=kπ ,k∈Z时,函数取最大值 D.是周期函数,最小正周期为2π

)

【解析】选C.当x=kπ,k∈Z时,y=cos x取到最大值1,而函数 y=-3cos x-1取最小值.

【题型示范】 类型一 “五点法”画余弦函数的图像

【典例1】 (1)利用“五点法”作余弦函数的图像时,第三个关键点的坐 标为( ) B. ( ? ,0)
2 D. ( 3 ?,0) 2

A.(0,1) C.(π ,-1)

(2)用“五点法”作出y=1+cos x(0≤x≤2π )的简图.

【解题探究】1.对余弦函数而言,五点法作图的五个点的坐 标分别是什么? 2.题(2)中函数y=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么? 【探究提示】1.五个点分别为(0,1),( ? , 0) , (π,-1),
( 3? , 0) ,(2π,1). 2
2

2.因为cos x∈[-1,1],所以1+cos x∈[0,2],即最大 值为2,最小值为0.

【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为 (π,-1). (2)列表如下: x y=cos x y=1+cos x 0 1 2
? 2

π -1 0

3? 2

2π 1 2

0 1

0 1

描点连线,可得函数y=1+cos x在[0,2π]上的图像如图所示:

【方法技巧】“五点法”画函数图像的三个步骤

【变式训练】作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π )的简图.

【解题指南】将[0,2π]这一区间四等分找到五个关键点然
后描点、连线即可.

【解析】列表:
x 0
? 2

π

3? 2



y=cos x
y=1-cos x

1
0

0
1

-1
2

0
1

1
0

描点连线得y=1-cos x的图像(如图所示).

【补偿训练】“五点法”画y=cos ( 1 x ? ? ) 时,所取的五个点
2 3

为_______. 【解题指南】把 1 x ? ? 作为一个整体看作是y=cos x中的x
2 3

可得五点.

【解析】列表可得:
1 ? x? 2 3

0
? 2? 3

x
1 ? y ? cos( x ? ) 2 3

? 2 ? 3

π
4? 3

3? 2 7? 3


10 ? 3

1

0

-1

0

1

? 4? 7? 10? 即五个点分别为:(? 2? ,, 1) ( ,0), ( , ? 1), ( ,0), ( ,1). 3 3 3 3 3 ? 4? 7? 10? 答案: (? 2? ,, 1) ( ,0), ( , ? 1), ( ,0), ( ,1) 3 3 3 3 3

类型二

余弦函数的奇偶性及应用

【典例2】 (1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π )是

R上的偶函数,则φ的值为(
A.0 B. ?
4

)
D.π
2

C. ?
2

(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3? )的奇偶性为
_________.

(3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=
sin 2x+cos x, 求f(x).

【解题探究】1.f(x)为R上的偶函数应具备什么条件? 2.利用诱导公式化简sin(2x+ 3? )等于什么?
2

3.题(3)中已知函数f(x)为奇函数,求f(x)的一般原则是什么? 【探究提示】1.应满足f(-x)=f(x).

2.
3? ? ? 3.先求 x=0 < 时的解析式,对定义域内的 sin(2x ? 时的解析式,再求 ) ? sin[? ? (2x ? )]x? ?0 sin(2x ? ) ? ?cos 2x. 2 2 2

取值要完整.

【自主解答】(1)选C.当φ=0或π时,f(x)为奇函数,当φ=
? 时,为非奇非偶函数.只有当φ= ? 时符合题意,故选C. 4 2 3? ? (2)因为 sin(2x ? ) ? sin[ ? ? (2x ? )] 2 2 =-sin(2x+ ? )=-cos 2x,所以f(-x)=-cos(-2x) 2

=-cos 2x=f(x),即f(x)为偶函数. 答案:偶函数

(3)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0),f(0)=0, 当x<0时,-x>0, 所以f(x)=-f(-x)=-[sin 2(-x)+cos(-x)] =sin 2x-cos x,
?sin 2x ? cos x, 所以 f ? x ? ? ? ?0, ?sin 2x ? cos x, ? x<0, x ? 0, x>0.

【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论
(1)因为余弦函数是偶函数,所以cos x=cos |x|. (2)y=cos(x+φ),当φ=kπ+ (k∈Z)时是奇函数; y=sin(x+φ),当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数. (3)余弦函数的对称轴和对称中心 ①对称轴方程为x=kπ(k∈Z). ②对称中心的坐标为( ? +kπ,0)(k∈Z).
2 ? 2 ? 2

【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R,且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案:偶函数

【补偿训练】函数y=cos(sin x)的奇偶性是________. 【解析】函数定义域为R,又cos [sin(-x)] =cos(-sin x) =cos(sin x),所以函数为偶函数. 答案:偶函数

类型三

余弦函数的单调性与最值

【典例3】 (1)函数y=cos 2x的一个增区间是(
? ? A.[? , ] 4 4 ? 3? C.[ , ] 4 4 ? B.[0, ] 2 ? D.[ , ?] 2

)

(2)求函数y=3cos2x-4cos x+1的最大值和最小值.

【解题探究】1.题(1)中涉及的函数是哪种? 2.题(2)中若将cos x变为t,则函数变为什么? 【探究提示】1.涉及的函数是余弦函数. 2.函数变为y=3t2-4t+1.

【自主解答】(1)选D.令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,所以 kπ- ? ≤x≤kπ,当k=1时,x∈[ ? ,π].
2 2

(2)令t=cos x,则-1≤t≤1,问题转化为求函数y=3t2-4t+1 (-1≤t≤1)的最大值和最小值. 因为 y ? 3(t ? 2 ) 2 ? 1 , ?1 ? t ? 1,
3 3

所以函数在[-1, 2 ]上是减少的,在[ 2 ,1]上是增加的,
3 3

当t= 2 时,y有最小值;当t=-1时,y有最大值,
3

所以ymax=3+4+1=8.
2 2 1 1 y min ? 3( ? ) 2 ? ? ? . 3 3 3 3

所以函数的最大值为8,最小值为- 1 .
3

【延伸探究】若将本题(2)增加条件x∈ [ ? , 2? ], 求最大值和
3 3

最小值. 【解析】令t=cos x, 则y= 3(t ? 2 ) 2 ? 1 .
3 3 因为x∈ [ ? , 2? ], 3 3 1 1 所以t∈ [? , ]. 2 2 1 1 函数在区间 [ ? , ] 上是减少的. 2 2 15 所以当t=- 1 即cos x=- 1 时,ymax= , 4 2 2 此时x= 2 ? .当t= 1 即x= ? 时,ymin=- 1 . 2 3 4 3

【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法 (1)直接法:根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函 数值的取值范围. (2)单调性法:利用函数的单调性. (3)图像法:利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最 低点的纵坐标的问题. (4)换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题.

【变式训练】函数y=4cos2x+4cos x-2的值域为( A.[-2,6] C.[-2,4] B.[-3,6] D.[-3,8]

)

【解题指南】利用换元法将函数变为二次函数,利用二次函数 求最值.

【解析】选B.设cos x=t, 则y=4cos2x+4cos x-2=4t2+4t-2 =4(t2+t)-2=4(t+ 1 )2-3.
2

因为-1≤cos x≤1,所以-1≤t≤1,所以ymin=-3,
1 y max=4(1 + ) 2-3=6. 2

【补偿训练】求函数y=2cos(2x+ ? ),x∈ [- ? , ? ] 的最大值
3
6 6

与最小值. 【解析】因为 - ? ? x ? ? ,
6 6 所以0≤2x+ ? ? 2? , 3 3 所以-1≤2cos(2x+ ? )≤2, 3 ? 当cos(2x+ )=1, 3 即x=- ? 时,ymax=2, 6 1 当cos(2x+ ? )=- , 2 3 即x= ? 时,ymin=-1. 6

【规范解答】余弦函数值域的应用 【典例】(12分)(2014·榆林高一检测)已知函数y=a-bcos x的 最大值为 3 ,最小值为- 1 ,求函数y=-2sin bx的最值及周期.
2 2

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升

失分点1:解题时若忽视对①处参数b的分类讨论,则会导致漏
解而失分. 失分点2:解题时若忽视解析式中的符号,则会导致②处的解 析式出错而失分. 失分点3:解题时若忽视③处的总结,则会导致解题不完整而 失掉2分.

【悟题】提措施,导方向

1.分类讨论的意识
在解含有参数的问题时,切记分类讨论思想的应用,如本例中

的解析式中含有参数,故需考虑是否需要分类讨论 .
2.函数性质的应用 对一些常用函数的性质要牢记,如本例中正弦函数的值域、周 期等.

3.解题的规范性 做解答题时,步骤要合理、规范,对于分类讨论的问题最后要 有总结,如本例中的③.

【类题试解】已知函数y=acos x+b的最大值为1,最小值为 -3,求函数y=asin bx的最值. 【解析】当a≥0时,? ?
a ? b ?1 , ??a ? b ? ?3,

解得a=2,b=-1,此时

y=asin bx=-2sin x,所以ymax=2,ymin=-2. 当a<0时,?
? ?a ? b ? 1, 解得a=-2,b=-1,此时y=asin bx ?a ? b ? ?3,

=2sin x,所以ymax=2,ymin=-2. 综上所述,所求函数的最大值为2,最小值为-2.


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