2.1.2离散型随机变量的分布列(孙新波)


2.1.2 离散型随机变量的分布列
(原编者,修改者:昌邑一中柳疃校区 孙新波)

课前准备:
教学目标: 1、理解什么是离散型随机变量,理解取有限个值的离散型随机变量的分布列的概念, 了解分布列对于刻画随机事件现象的重要性。 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质,并会用它来解决一些简单的问题. 教学重点: 1、理解离散型随机变量的分布列的意义,会求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质,并会用它来解决一些简单的问题. 教学过程 一、知识链接: 1. 随机现象具有什么特点? 当在相同的条件下多次观察同意现象, 每次观察到的结果不一定相同, 事先很难预料到 哪一种结果会发生。 2. 什么是随机事件? 在试验中可能发生,也可能不发生的结果称为随机事件. 二、问题导引: 在射击问题里,怎样才能了解射手的射击水平?

学习探究
一. 自学探究: (1)投掷一枚硬币,点数的取值有多少?其概率分别是几? (2)投掷两枚硬币,正面向上的枚数有几种数值?其对应概率是多少? 二. 知识点梳理: 1. 随机变量:试验中可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果 的不同而变化的. 其表示方法:常用大写字母 X,Y 等表示,也可用希腊字母? ,? 等表示. 2. 离散型随机变量:若随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称 X 为离散型 随机变量. 3. 分布列:设离散型随机变量 X 可能取得值为 x1 ,x2 ,?,x3 ,?,

X 取每一个值 xi (i=1,2,?)的概率为 P( X ? xi ) ? pi ,则称表 X x1 x2 P P1 P2 为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列
? ?
王新敞
奎屯 新疆

xi Pi

? ?

4. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P ( A) ? 1 ,并且不可能事件的 概率为 0,必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个 性质: ⑴Pi ≥0,i=1,2,?; ⑵P1 +P2 +?=1.

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
王新敞
奎屯 新疆

P( X ? xk ) ? P( X ? xk ) ? P( X ? xk ?1 ) ????

王新敞
奎屯

新疆

5. 二点分布:如果随机变量 X 的分布列为:

X
P 三. 思考讨论:

1

0

p

q

1. 求离散型随机变量分布列要注意两个问题:一是求出随机变量所有可能的值;二是求 出取每一个值时的概率. 2. 求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率。 3. 二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布 四. 典例探讨 1.. 抛掷一颗骰子,所得点数为随机变量 X (1)球 X 的分布列: (2)求”点数大于 4”的概率: (3)求“点数不超过 5”的概率。 解: (1)X 的分布列为 X P 1 2 3 4 5 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6 1 1 1 ? ? 6 6 3 1 5 ? 6 6

(2) P( X ? 4) ? P( X ? 5) ? P( X ? 6) ?

(3) P( X ? 5) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5) ? 5

2. 某同学向图形投掷飞镖, 飞镖落在靶外的概率为 0.1, 飞镖落在靶内的各个点是随机的. 已知 圆形靶中三个园是同心圆, 半径分别是 30cm.,20cm,10cm 飞镖落在不同区域的环数由里到外 分别为 10 环,9 环,8 环.. 设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量 X, 求 X 的分布列. 解:由题意可知, 飞镖落在靶内各个区域的概率与他们的面积成正比, 而与其位置和形状无关. 由圆的半径值可得三个同心圆的半径比为 3:2:1, 面积比为 9:4:1. 所以 8 环区域,9 环区域,10 环 区域的面积比为 5:3:1. 则掷得 8 环,9 环,10 环的概率分别设为 5k,3k,k. 由离散型随机变量分布 列的性质得 0.1+5k+3k+k=1, 故 k=0.1. 得到离散型随机变量 X 的分布列为 X P 五. 变式拓展: 0 0.1 8 0.5 9 0.3 10 0.1

一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以ξ 表示取出的三只 球中的最小号码,写出随机变量ξ 的分布列. 剖析:因为在编号为 1,2,3,4,5 的球中,同时取 3 只,所以小号码可能是 1 或 2 或 3,即ξ 可以取 1,2,3. 解:随机变量ξ 的可能取值为 1,2,3. 当ξ =1 时,即取出的三只球中最小号码为 1,则其他两只球只能在编号为 2,3,4,5

的四只球中任取两只,故有 P (ξ =1)=

C2 4 C3 5

=

6 3 = ; 10 5

当ξ =2 时,即取出的三只球中最小号码为 2,则其他两只球只能在编号为 3,4,5 的 三只球中任取两只,故有 P (ξ =2)=
2 C3

C3 5

=

3 ; 10

当ξ =3 时,即取出的三只球中最小号码为 3,则其他两只球只能在编号为 4,5 的两只 球中任取两只,故有 P (ξ =3)=

C2 2 C3 5

=

1 . 10

因此,ξ 的分布列如下表所示:
ξ

1

2

3

P

3 5

3 10

1 10

六. 归纳总结: 七. 当堂检测: 1. 袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的 条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ ,则ξ 所有可能取值的个数是 A.5 B.9 C.10 解析:号码之和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,共 9 种. 答案:B 2. 下列表中能成为随机变量ξ 的分布列的是 A.
ξ

D.25

-1 0.3

0 0.4

1 0.4

P

B.
ξ

1 0.4

2 0.7

3 -0.1

P

C.
ξ

-1 0.3

0 0.4

1 0.3

P

D.
ξ

1 0.3

2 0.4

3 0.4

P

解析:A、D 不满足分布列的基本性质②, B 不满足分布列的基本性质①. 答案:C 1 3. 已知随机变量ξ 的分布列为 P (ξ =k )= k ,k =1,2,?,则 P (2<ξ ≤4)等于 2 3 1 1 1 A. B. C. D. 16 4 16 5

解析:P (2<ξ ≤4)=P (ξ =3)+P (ξ =4)= 答案:A

1 2
3

+

1 2
4

=

3 . 16

巩固提高
A 组: 1. 若 p 为实数,随机变量ξ 的分布为 ξ P 则 p=_________ 答案: 0 1 2

1 -p 2

?P

1 2

1 4

2. 袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量ξ ,则 P (ξ ≤6)=________. 解析:取出的 4 只球中红球个数可能为 4,3,2,1 个,黑球相应个数为 0,1,2,3 个. 其分值为ξ =4,6,8,10 分. P (ξ ≤6)=P (ξ =4)+P (ξ =6)=
0 C4 4 C3 4 C7 1 C3 4 C3 4 C7

+

=

13 . 35

答案:

13 35

3. 一盒中放有大小相同的红色,绿色,黄色小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄 球个数是绿球个数的一半。现从该盒中随机抽取一个球,若取出红球得 1 分,取出黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分 X 的分布列. 解:设黄球的个数为 n,由题意得绿球个数为 2n,红球个数为 4n,盒中球总数为 7n.

P ? X ? 1? ?

4n 4 n 1 2n 2 ? , P ? X ? 0? ? ? , P ? X ? ?1? ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7
-1 0 1

所求分布列为: X P

2 7

1 7

2 7

点拨:欲写出 X 的分布列,要先求出 X 的所有取值以及对应的概率. 并及时检查所有的 概率之和是否为 1. 4. 某公园有甲、乙两个相邻景点,原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个 B班的同学;乙景 点内有2个A班同不和3个 B班同学,后由于某种原因,甲乙两景点各有一个同不交换景 点观光. (1)求甲景点恰有2个A班同学的概率; (2)求甲景点A班同学数 ? 的分布列.

(1)甲乙两景点各有一个同学交换后,甲景恰有 2 个班同学有下面几种情况: ①互换的是 A 班同学,此时甲景点恰好有 2 个 A 班同学的事件记为 A1 , 则 P( A1 ) ?
1 1 C2 ? C3 1 ? 1 1 C 4 ? C5 5

②互换的是 B 班同学,此时甲景点恰有 2 个 A 班同学的事件记为 A2 ,则:
1 1 C2 ? C3 3 则 P( A2 ) ? 1 ? 1 C4 ? C5 10

故甲景点恰有 2 个 A 班同学的概度 P ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? (2)设甲景点内 A 班同学数为 ξ,则:

1 3 1 ? ? 5 10 2

P(? ? 1) ?

1 1 C2 ? C3 3 1 ? ; P(? ? 2) ? ; 1 1 2 C4 ? C5 10

1 1 C2 ? C2 1 P(? ? 3) ? 1 1 ? C 4 ? C5 5

因而 ξ 的分布列为: ξ P 1 2 3

3 10

1 2

1 5

B 组: 1. 已知随机变量 ? 的分布列为:

?
P

-2

-1

0

1

2

3

1 12

3 12

4 12

1 12

2 12

1 12

分别求出随机变量 ?1 ?

1 ? ,? 2 ? ? 2 的分布列。 2

解: ?1 ,?2 都是 ? 的函数,而函数关系可以现求出相对应的概率值,然后在写出相应的 概率分布列。 由于 ?1 ?

1 1 ? 对于不同的 ? 有不同的取值 y ? x ,但概率不变,故有?1 的分布列: 2 2

?1
P

-1

?

1 2

0

1 12

3 12

4 12

1 1 2 1 12

1

2 12

3 2 1 12

?2 ? ? 2 对于 ? 的不同取值-2,2 及-1,1.? 分别去相同的值 4 与 1,即?2 取 4 的概率
2

应是 ? 去-2,2 的概率之和,

?2 取 1 的概率应是? 去-1,1 的概率之和,故?2 的分布列为

?2
P

0

1

4

9

1 3

1 3

3 12

1 12


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