广东省清远市第二中学2015届高三第二次月考文科数学含答案

广东省清远市第二中学 2015 高三第二次月考数学卷 (文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i ?( D ) i
C. 4 ? 3i D. 4 ? 3i ) D. U

B. ?4 ? 3i

2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? (A A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1,2,4?

3.下列函数为偶函数的是( D ) A. y ? sin x B. y ? x 3
°

C. y ? e x
°

D. y ? ln

x2 ? 1

4.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 ,?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC =( B ) 第5题 A. 4 3 B. 2 3 C.

3

D.

3 2

5.如图,在 Rt△ABC 中,A=90°,AB=1,则 AB · BC 的值是 ( B ) A、1 C、1 或-1 B、-1 D、不确定,与 B 的大小,BC 的长度有关

6.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( C A. 72? B. 48? C. 30?



D. 24?
2 2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于(B A. 3 3 B. 2 3 C. ) D. 1

3

8.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值 为( C ) A. 105 B. 16 C. 15 D. 1

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到 f ( x ) 的

图像,则只要将 g ( x) ? sin 2 x 的图像 ( A ) A.向左平移

? ? 个单位长度 B.向右平 移 个单位长度 6 6 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 3 3

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10. x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 , 则实数 a ... ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
的值为( D ) A、

第 9 题图

1 或-1 2

B、2 或

1 2

C、2 或 1

D、2 或-1

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ?

x ?1 的定义域为_________ ? ? 1,0) ? (0,??) _______________. x

1 1 2 ,则 a1a3 a5 ? ____ ___________. 2 4 1 x 13.函数 f ( x) ? xe 的最小值为 ? e
12.若等比数列 {an } 满足 a 2 a 4 ? (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C2 的

? 2t x ? 1? ? ? x ? 5 cos ? ? ? ? 2 ( 为参数) 参数方程分别为 ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? )和 ? ,则 t 2 ? ? y ? ? 2t ? y ? 5 sin ? ? 2 ?
曲线 C1 和曲线 C2 的交点坐标为 15. (几何证明选讲选做题) 如图 3,直线 PB 与圆 O 相切与点 B,D 是弦 AC 上的点,

(2,1) .

A P D O ·
. B 图3

?PBA ? ?DBA ,若 AD ? m, AC ? n ,则 AB=

mn

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n . (1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; (2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围 16.解: (1)根据数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 1, a1 , a3 成等比数列, 得 a12 ? 1? (a1 ? 2) , 即 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 。 (2)根据数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 S5 ? a1a9 , 得 5a1 ? 10 ? a12 ? 8a1 ; 即 a12 ? 3a1 ? 10 ? 0 ,解得 ?5 ? a1 ? 2

17、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin( x ? (1)求 f (

?
6

) ? cos( x ?

?
6

) ? 2, ( x ? R) .

5? ) 的值; 6

(2)求 f ? x ? 子啊区间 [ ? 17.【解析】

? ?

, ] 上的最大值和最小值及其相应的 x 的值. 2 2

(1)? f ( x) ? 3 sin( x ?

?
6

) ? cos( x ?

?

?? ? ) ? 2 ? 2 sin? x ? ? +2?2 分 6 3? ?

+2??????4 分 =1 (2)? ? ????????????????????? 6 分

?

??

?

2

?x? ? x?

?

?

2 ?

6

3

5? ??????? 7 分 6

??

1 ?? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ???????8 分 2 3? ?

从而当 x ?

?
3

?

?
2

时,即 x ?

?
6



f ( x) max ? 4 ?????????????? 10 分
而当 x ?

?
3

??

?
6

时,即 x ? ?

?
2



f ( x)min ? 1 ???????12 分

18.(本小题满分 12 分) 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随 机抽取 200 名学生,得到如下 2? 2 列联表: 喜欢数学课 男 女 合计 30 20 50 不喜欢数学课 60 90 150 合计 90 110 200

(1) 根据独立性检验的基本思想, 约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”? (2)若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取 5 人,则男生和女生抽取的人 数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 人,求恰有一男一女的概 率. K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 (2 分) (4 分) (5 分) (6 分) 0.001 10.828

P (K2 ? k) 0.50 0.455 k
解: (1)∵ K 2 ?

200(30 ? 90 ? 60 ? 20)2 ? 6.061 ? 5.024 , 90 ?110 ? 50 ?150

∴约有 97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. (2)男生抽取的人数有: 女生抽取的人数有:
30 ? 5 ? 3 (人) 30 ? 20

20 ? 5 ? 2 (人) 30 ? 20

(3)由(2)可知,男生抽取的人数为 3 人,设为 a,b,c,女生抽取的人数为 2 人,设为

d,e,则所有基本事件有: (a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (b, c), (b, d ), (b, e), (c, d ), (c, e), (d , e) 共 10 种.
(8 分) 其中满足条件的基本事件有: (a, d ), (a, e), (b, d ), (b, e), (c, d ), (c, e) 共 6 种, 所以,恰有一男一女的概率为 p ? 19. (本小题满分 13 分) 如图 3,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,且?DAB=60?. 侧面
6 3 ? . 10 5

(10 分) (12 分)

PAD 为正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD,G 为 AD 边的中点.
(1)求证:BG?平面 PAD; (2)求三棱锥 G—CDP 的体积;
A

P

G

D

B

E 图3

C

(1)证明:连结 BD. 因为 ABCD 为棱形,且∠DAB=60°,所以?ABD 为正三角形. 又 G 为 AD 的中点,所以 BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BG⊥平面 PAD. (2)因为 G 为正三角形 PAD 的边 AD 的中点,所以 PG?AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PG⊥平面 ABCD. 因为正三角形 PAD 的边长为 2,所以 PG ? 3 . 在?CDG 中,CD=2,DG=1,∠CDG=120°, 所以 S ?CDG ? (5 分) (6 分) (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

1 3 3 . ?1? 2 ? ? 2 2 2 1 3 1 ? 3? ? . 3 2 2

(7 分)

故 VG ?CDP ? VP ?CDG ?

(8 分)

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)在(I)的条件下, 求 f ( x) 的极值; (III)讨论 f ( x) 的单调区间。

20.解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f '( x) ? 1 ?

1 ( x ? 0) ------------------------------1 分 x
-------------------------------3 分 --------------------------------5 分

f (1) ? 1 , f '(1) ? 2 所以切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0
(2)函数的定义域为 (0,??) ,由(1)得 f ( x ) ?
'

x ?1 ,-----6 分 x

∵x>0

? f ' (x ) ? 0 恒成立 -----8 分
---------9 分 -----------------------------10 分

∴f(x)在 (0,??) 上单调递增,没有极值 (3) f '( x) ?

x?a ( x ? 0) x

当 a ? 0 时,在 x ? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;-11 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下:

x
f '( x )
f ( x)

(0, ?a )

?a
0 极小值

( ?a, ??)
+ ↗ ------------------------------------13 分

?


( ?a, ??) , 综上, 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ; 当 a<0 时,f ( x) 的单调增区间是
减区间是 (0, ?a ) 。---------------14 分 21. (14 分)已知动点 M ( x, y ) 到直线 l : x ? 4 的距离是它到点 N (1, 0) 的距离的 2 倍。 (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,3) 的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜 率. 21.解: (Ⅰ) 根据点 M ( x, y ) 到直线 x ? 4 的距离是到点 N (1, 0) 的距离的 2 倍,则

x2 y2 | x ? 4 |? 2 ( x ? 1) ? y ? ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ?1 故动点 M 的轨迹为椭圆,其方程为 4 3 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由题知
2 2

2x1 ? 0 ? x2 , 2 y1 ? 3 ? y2 。
椭圆的上下顶点坐标分别是 (0, 3),(0, ? 3) ,经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存在.设直线 m 的方程为 y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 22 xx xx ((x x 2 x 1 5 (( ? 24 k ))22 9 11 22 11 ? 22)) ? 11??x 22 x ? x ? 2 x x 1 5 ? 24 k 9 k ??3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2? ? ? ? ? ? ? ?k ?? 22 xx xx 2 x 2 2 3 k 2 1 1 ??x 2 2 x x 2 (( 2 2 3? ?4 4 k ))??24 24 2
2 1 1 2

3 故直线 m 的斜率 k ? ? 2


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