广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四:1-6三角函数模型的简单应用 课件_图文

1.6 三角函数模型的 简单应用 例1.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b. (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)观察图象可知,这段时间的 最大温差是20? C。 (2)从图中可以看出,从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象,所以 1 2? ? ? 14 ? 6 2 ? A? 1 1 (30 ? 10) ? 10, b ? (30 ? 10) ? 20, 2 2 ? ?? ? 8 因为点(6,10)是五点法作图中的第四点,故 ? 8 ?6 ?? ? 故,所求函数解析式为 3? 3? , 解得? ? 2 4 y ? 10sin( ? x ? 3? ) ? 20,x ? [6,14] 8 4 小结:利用函数的模型(函数的 图象)解决问题,根据图象建立函数 解析式. 例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。 解:函数图象如下: y y ?| sin x | 1 ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? -1 ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? x 观察图象可知,函数y=|sinx|的的周期是π。 小结:利用函数解析式模型建立 函数图象模型,并根据图象认识性质. 练习. 教材P.65练习第1题. 例3. 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为?,?为 此时太阳直射纬度,?为该地的纬度值,那么这三个 量之间的关系是? =90? -|? -? |.当地夏半年?取正值, 冬半年?取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40? )的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? ? -? ? -? 太阳光 B ? 北回归线 南回归线 ? ? C ? 太阳光 解:如图,A、B、C分别太阳 直射北回归线、赤道、南回归 线时,楼顶在地面上的投影点, 要使新楼一层正午的太阳全年 不被前面的楼房遮挡,应取太 H 阳直射南回归线的情况考虑, 此时的太阳直射纬度为-23? 26',依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义,有∠C=90? -|40? -(-23? 26')|=26? 34' 所以, H H MC ? ? ? 2.000 H ' tan C tan 26 34 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高 两倍的间距。 例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮, 一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货 后,在落潮时返回海洋,下面是某港口 在某季节每天的时间与水深的关系表: 时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 0:00 3:00 6:00 5.0 7.5 5.0 9:00 12:00 15:00 2.5 5.0 7.5 18:00 21:00 24:00 5.0 2.5 5.0 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 并给出整点时的水深的近似数值。(精确到0.001) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能 进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始 卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必 须停止卸货,将船驶向较深的水域? 解: (1)以时间为横坐标,水深为纵坐标, 在直角坐标系中画出散点图,根据图象, 可以考虑用函数 y ? A sin( x? 来刻画水深与时间之间的对应关系 . 从数据和图象可以得出: ? ?) ? h A=2.5,h=5,T=12, =0; ? 由 T ? 2? ? ,得 12 所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为: ? ???. 6 y ? 2.5sin ? 6 x?5 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 解: (2)货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 (米),所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 化简得 2.5sin ? x ? 5 ? 5.5 6 sin ? x ? 0.2 6 由计算器计算可得 解得 因为 6 6 xA ? 0.3848, xB ? 5.6152 ? x ? 0.2014, 或? ? ? x ? 0.2014 ,所以有函数周期性易得 x ?[0, 24] xC ? 12 ? 0.3848 ? 12.3848, xD ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152. 因此,货船可以在凌晨零时30分左右进港,早晨5时30分左右出 港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港,每次 可以在港口停留5小时左右。 解: (3)设在时刻x船舶的安全水深为y, 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象,可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米,此时船舶的安全水深约为 4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时船舶的安全水深约为4.1米; 7时的水深约为3.8米,而船舶的安全水深约为4米,因此为了安 全,船舶最好在6.5时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水域。 课堂小结 1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关 的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图,并 根据散点图进行函数拟合,从而得到 函数模型.

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