【人教版】高三数学(理)第一轮夯实基础《变量间的相关关系》(知识梳理+典例讲解+习题自测41ppt)_图文

10.3 变量间的相关关系 考纲点击 1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认 识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程. 考点梳理 1.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另 一类是① __________ ;与函数关系不同,相关关系是一种② __________关系. (2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内, 两个变量的这种相关关系称为③__________, 点分布在左上角 到右下角的区域内,两个变量的相关关系为④__________. 2.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致分布在通过 散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有⑤ __________,这条直线叫⑥________. n i=1xiyi-nxy ^ ∑ (2)回归直线方程为⑦__________,其中b= n ,a 2 2 ∑ x - n x i=1 i =⑧__________. 2 (3)通过求 Q=∑ ( y - bx - a ) 的最小值而得出回归直线 i i i=1 的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小,这一方法叫做最小二乘法. n 答案: ①相关关系 ⑤线性相关关系 ②非确定性 ③正相关 ④负相关 ^ ^ ^ ^ ⑥回归直线 ⑦y=bx+a ⑧ y -b x 考点自测 1.下列选项中,两个变量具有相关关系的是( ) A. 参加 60 年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕 式的人数 B.正方体的体积与棱长 C.人体内的脂肪含量与年龄 D.汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失 解析:B 中的两个变量是确定的函数关系,A、D 中的两 个变量不具有任何关系,C 中人体内的脂肪含量与年龄有相关 关系. 答案:C 2.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个 样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回 归直线(如图),以下结论正确的是( ) A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相 同 解析:由样本点的中心( x , y )落在回归直线上可知 A 正 确;x 和 y 的相关系数表示为 x 与 y 之间的线性相关程度,不 表示直线 l 的斜率,故 B 错;x 和 y 的相关系数应在-1 到 1 之间,故 C 错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对 平均,即无论样本点个数是奇数还是偶数,故 D 错. 答案:A ^ 3.设有一个回归直线方程为y=2-1.5x,则变量 x 增加一 个单位( ) A.y 平均增加 1.5 个单位 B.y 平均增加两个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 D.y 平均减少两个单位 ^ ^ 解析:回归直线方程y=2-1.5x 可以看作y是 x 的一次函 数,且单调递减,又 x 的系数为-1.5,∴变量 x 增加一个单 位,y 平均减少 1.5 个单位. 答案:C 4. 在一次实验中, 测得(x, y)的四组值为(1,2), (2,3), (3,4), (4,5),则 y 与 x 之间的回归直线方程为( ) ^ ^ A.y=x+1 B.y=x+2 ^ ^ C.y=2x+1 D.y=x-1 ^ ^ 解析:将(x,y)的四组值代入公式求得b、a即可,也可注 意到所给的四组值,发现 y 总比 x 大 1, ^ 故回归直线方程为y=x+1. 答案:A 5.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮 食支出 y(单位: 万元), 调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有 ^ 线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y= 0.254x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万 元,年饮食支出平均增加________万元. 解析:由题意知其回归系数为 0.254,故家庭年收入每增 加 1 万元,年饮食支出平均增加 0.254 万元. 答案:0.254 疑点清源 1.相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同,函数关系中的两个变量间是一 种确定性关系.例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S=x2 就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是 非随机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额与广告 费是相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提. 2.对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法,它主要解 决三个问题: (1)确定两个变量之间是否有相关关系, 如果有就找出它们 之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值, 预测变量的取值及判断变量取值的变 化趋势; (3)求出回归直线方程. 题型探究 题型一 利用散点图判断两个变量的相关关系 例1 5 个学生的数学和物理成绩如下表: 学生 A B C D E 学科 80 75 70 65 60 数学 70 66 68 64 62 物理 画出散点图,并判断它们是否有相关关系 解析:以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得相 应的散点图如图所示: 由散点图可见,两者之间具有相关关系. 点评:判断变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行 的方法就是绘制散点图. 变式探究 1 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…, 10),得散点图(1);对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…, 10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断( ) A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v

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