重庆市第一中学2014-2015学年高二4月月考数学(理)试题 Word版含答案

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重庆市第一中学 2014-2015 学年高二 4 月月考数学(理)试 题
2015.4

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 4 名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意选报比赛项目,每人报且只能报一 项,共有 ( )种报名的方法。 A.81 B.64 C. 4 D.24 2. 已知一个平面 ? ,那么对于空间内的任意一条直线 a ,在平面 ? 内一定存在一 条直线 b , 使得 a 与 b ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 3. 某交互式计算机有 20 个终端,这些终端由各个单位独立操作,使用率均为 0.8, 则 20 个 终端中至少有一个没有使用的概率为( ) A. 0.220 B. 0.820 C. 1 ? 0.820 D.1 ? 0.220

? ? ?x ? k ? ? , k ? ?1, 0,1, 2,3? , 4. 已知点集 U ? ?? x, y ? ? 则由 U 中的任意三点可组成 ( 3 y ? k ? ? ? ? ?



个不同 的三角形。 A.7

B.8

C. 9

D.10

?

4

a

9

10

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5. 已知 ? 的分布列如右图, E? ? 7.5 ,则 a ? ( A.5 B.6 C. 7 D.8



P

0.3

0.1

b

0.2

6.篮子里装有 2 个红球,3 个白球和 4 个黑球。某人从篮子中随机取出两个球,记 事件 A=“取 出的两个球颜色不同” ,事件 B=“取出一个红球,一个白球” ,则 P( B | A) ?( A. )

1 6

B.

3 13

C.

5 9

D.

2 3

7. 若 ( x 3 ? A.210

1 n ) 展开式中只有第 6 项系数最大,则展开式的常数项是 x2 B.120 C. 461 D.416





8.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图的 上半部分均为边长为 2 的等边三角形,则该几何体的体积为 ( ) A. 2? ?
2 3 3

1

1

B. 2? ?

4 3 3
2

正视图

左视图

C. ? ?

2 3 3

D. ? ?

4 3 3

题8图
2

俯视图

9. 假设乒乓球团体比赛的规则如下:进行 5 场比赛,除第 3 场为双打外,其余各 场为单打,参赛的每个队选出 3 名运动员参加比赛,每个队员打两场,且第 1、2 场与第 4、5 场不能是某个运动员连续比赛。某队有 5 名乒乓球运动员,其中 A 不 适合双打,则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有( )种 A.48 B.72 C.96 D.144 10. 已 知 函 数
f ? x? ? 1? x ? x 2 x3 ? ? 2 3 ? x 2014 x 2015 ? 2014 2015



x 2 x3 x 2014 x 2015 ? ? ? ? ,设函数 F ( x) ? f ( x ? 3)? g ( x ? 4),且函数 2 3 2014 2015 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为( ) A.8 B.9 C. 10 D.11 g ? x? ? 1? x ?
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第Ⅱ卷(非选择题,共 100分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填写在答题卡相应 位置上. 1 11. 随机变量 ? B(4, ) ,则 D? ? 3 12.曲线 y ? 2 x ? x3 在 x ? ?1 处的切线方程为 。

13.某班级从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有 1 名 女生,那么不同的选派种数为 (用数字作答) 14.设 a ? 0 ,若 1 ? a x 的展开式中含 x 2 项的系数等于含 x 项的系数的 9 倍,且 展开式第 3 项等于 135 x ,则 a ?

?

?

n

15.大小形状完全相同的 8 张卡片上分别标有数字 1, 2,3, 4,5,6,7,8 ,从中任意抽取 6 张卡片排成 3 行 2 列,则 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 的概率为

三、解答题.(本大题 6 个小题,共 75 分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指 定位置。 ) 16.(本小题满分 13 分) 校运动会招聘志愿者,甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试,已知甲能被录用的概率 2 1 3 是 ,甲、乙两人都不能被录用的概率为 ,丙、乙两人都能被录用的概率为 , 3 12 8 且三人是否录用相互独立。 ⑴求乙、丙两人各自能被录用的概率; ⑵求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率。

17. (本小题满分 13 分)

重庆一中高二年级将于 4 月中旬进行年级辩论赛,每个班将派出 6 名同学分别担
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任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。现某班已有 3 名男生和 3 名女生组成 了辩论队,按下列要求,能分别安排出多少种不同的辩论顺序?(要求:先列式, 再计算,最后用数字作答) (1)三名男生和三名女生各自排在一起; (2)男生甲不担任第一辩,女生乙不担任第六辩; (3)男生甲必须排在第一辩或第六辩,3 位女生中有且只有两位排在一起。

18. (本小题满分 13 分) 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,
PA ? CD, PA ? 1 , PD ? 2 , E , F 为 PD 上两点,且
1 P F? E D ? P. D 3 (1)求证 BF / / 面 ACE ; (2)求异面直线 PC 与 AE 所成角的余弦值; (3)求二面角 P ? AC ? E 的余弦值。

P F E A B D

C

19. (本小题满分 12 分) 重庆一中开展支教活动,有五名教师被随机的分到 49 中学、璧山中学、礼嘉中 学,且每个中学至少一名教师, (1)求共有多少种分派方法; (用数字作答) (2)求璧山中学分到两名教师的概率; (3)设随机变量 X 为这五名教师分到璧山中学的人数,求 X 的分布列和期望.

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20 (本小题满分 12 分) 请先阅读下面的推理过程,然后完成后面的两个小问: 在等式 cos2x ? 2cos2 x ?1? x ? R? 的两边对 x 求导,即 (cos 2 x)' ? ? 2cos 2 x ? 1? ;
'

由求导法则得 ? ? sin 2x ? 2 ? 4cos x ? ? sin x ? 化简后得等式 sin 2 x ? 2sin x cos x
1 2 2 (1)已知等式 ?1 ? x ? =C0 n ? Cn x ? Cn x ? n ?1 n ?1 n ? Cn ? Cn ( x ? R ,整数 n ? 2 ), n x nx

k ?1 证明: n[(1 ? x) n?1 ? 1] ? ? kC k . nx k ?2

n

(2)设 n ? N ? , x ? R, 已知 (2 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? 求数列 bn ?

? an xn ,

n(n2 ? 1)(a0 ? 2n?1 ) 的最大值。 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan

21(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ?1)n ? (2 ? x)n (1 ? x ? 2, n ? N ? ) 的最小值为 an 。 (1)求 an (2)记 bn ?

1 ,求证: b1 ? b2 ? 3 n?1 an ? ( ) 4

8 ? bn ? ( ) n ? 1 5

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