17-18版:3.2.2 对数函数(二)_图文

第三章 §3.2

对数与对数函数

3.2.2 对数函数(二)

学习目标
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

y=logaf(x)型函数的单调区间

思考
我 们 知 道 y = 2f(x) 的 单 调 性 与 y = f(x) 的 单 调 性 相 同 , 那 么 y =
log2f(x)的单调区间与y=f(x)的单调区间相同吗?

答案

y = log2f(x) 与 y = f(x) 的单调区间不一定相同,因为 y =

log2f(x)的定义域与y=f(x)定义域不一定相同.

答案

梳理
一般地,形如函数f(x)=logag(x)的单调区间的求法:(1)先求g(x)>0的
解集(也就是函数的定义域);(2)当底数a大于1时,g(x)>0限制之下g(x)

的单调增区间是f(x)的单调增区间,g(x)>0限制之下g(x)的单调减区间
是 f(x) 的单调减区间; (3) 当底数 a 大于 0 且小于 1 时, g(x) > 0 限制之下

g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.

知识点二

对数不等式的解法

思考
log2x<log23等价于x<3吗? 答案 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义,即x>0, ∴log2x<log23?0<x<3.

答案

梳理
对数不等式的常见类型 当a>1时, logaf(x)>logag(x)?

f(x)>0(可省略),
g(x)>0,

f(x)>g(x); 当0<a<1时,
f(x)>0,

logaf(x)>logag(x)?

g(x)>0(可省略), f(x)<g(x).

知识点三

不同底的对数函数图象的相对位置

思考
y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎 样区分它们在同一坐标系内的相对位置?

答案 可以通过描点定位,也可令y=1,对应x值即底数.

答案

梳理
一般地,对于底数a>1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠

近x轴;对于底数0<a<1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠
近x轴.

题型探究

类型一 对数型复合函数的单调性 命题角度1 求单调区间
例1 求函数y=log 1 (-x2+2x+1)的值域和单调区间.
2

解答

反思与感悟

求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间必须是定义域的子集, 哪怕一个端点都不能超出定义域; (2)f(x),g(x) 单调性相同,则f(g(x))为 增函数;f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”.

跟踪训练1 已知函数f(x)=log 1 (-x2+2x). (1)求函数f(x)的值域;
2

解 由题意得-x2+2x>0,∴x2-2x<0,
∴0<x<2.

当0<x<2时,y=-x2+2x=-(x2-2x)∈(0,1],
∴log 1 (-x2+2x)≥log 1 1=0.
2 2

∴函数y=log 1 (-x2+2x)的值域为[0,+∞).
2

解答

(2)求f(x)的单调性. 解 设u=-x2+2x(0<x<2),v=log 1 u,
2 2

∵函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=log 1 u是 减函数, 在(1,2)上是增函数.
2

∴由复合函数的单调性得到函数f(x)=log 1 (-x2+2x)在(0,1)上是减函数,

解答

命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围

例2

已知函数y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2 )上是增函数,求实
2

数a的取值范围.

解答

反思与感悟

若 a>1 ,则 y = logaf(x) 的单调性与 y = f(x) 的单调性相同,若 0<a<1 ,则 y

=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包
含于原函数的定义域.

跟踪训练2 围是 A.(0,1) C.(1,3]

若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范 B.(1,3) D.[3,+∞)

解析 函数由y=logau,u=6-ax复合而成,因为a>0, 所以u=6-ax是减函数,那么函数y=logau就是增函数, 所以a>1,因为[0,2]为定义域的子集, 且当x=2时,u=6-ax取得最小值, 所以6-2a>0,解得a<3,所以1<a<3.故选B.
解析 答案

类型二 对数型复合函数的奇偶性

2-x 例 3 判断函数 f(x)=ln 的奇偶性. 2+x

解答

引申探究 a-x 若已知 f(x)=ln 为奇函数,则正数 a,b 应满足什么条件? b+x

解答

反思与感悟

(1) 指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他

函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±f(-x) =0来判断,运算相对

简单.

跟踪训练 3 判断函数 f(x)=lg( 1+x2-x)的奇偶性.

解答

类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1).解关于x的不等式: loga(1-ax)>f(1). 解 ∵f(x)=loga(1-ax),∴f(1)=loga(1-a). ∴1-a>0.∴0<a<1. ∴不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a).
x x ? ? ?1-a >0, ?a <1, ∴? 即? x x ? ? ?1-a <1-a, ?a >a,

∴0<x<1.

∴不等式的解集为(0,1).

解答

反思与感悟

对数不等式解法要点 (1)化为同底logaf(x)>logag(x); (2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向; (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.

1 x 跟踪训练 4 已知 A={x|log2x<2},B={x| <3 < 3},则 A∩B 等于 3
? 1? ? ? A.?0,2 ? ? ?

B.(0, 2)

? 1? ? ? C.?-1,2 ? ? ?

D.(-1, 2)

解析

? ?x>0, log2x<2,即 log2x<log24,等价于? ? ?x<4,

∴A=(0,4).
1 1 x x -1 2, <3 < 3 ,即 3 <3 <3 3 ? ? 1? 1? 1 ? ? ? ? ∴-1<x< ,B=?-1,2?.∴A∩B=?0,2?. 2 ? ? ? ?

解析

答案

当堂训练

4 3 1 1.如图所示,曲线是对数函数 f(x)=logax 的图象,已知 a 取 3, , , , 3 5 10 则对应于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为



4 3 1 A. 3, , , 3 5 10 4 3 1 C. , 3, , 3 5 10

4 1 3 B. 3, , , 3 10 5 4 1 3 D. , 3, , 3 10 5

1

2

3

4

5

答案

2.如果log 1 x<log 1 y<0,那么
A.y<x<1
2 2

B.x<y<1

C.1<x<y



D.1<y<x

1

2

3

4

5

答案



1 -x 3.函数f(x)= lg (x∈R)是 1 +x A.奇函数
B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

1

2

3

4

5

答案

(0, 6] 4.函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________.
解析 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,
? ?x>0, 则? ? ?1-2log6x≥0.

解得 0<x≤ 6.

1

2

3

4

5

解析

答案

( - ∞ , 0) 5.函数f(x)=ln x2的减区间为__________.

1

2

3

4

5

答案

规律与方法
1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注

意定义域的影响.
2. 在对数函数 y = logax(a>0 ,且 a≠1) 中,底数 a 对其图象的影响:无论 a

取何值,对数函数 y=logax(a>0 ,且a≠1) 的图象均过点 (1,0) ,且由定义
域的限制,函数图象穿过点 (1,0) 落在第一、四象限,随着 a 的逐渐增大,

y=logax(a>1 ,且a≠1) 的图象绕 (1,0) 点在第一象限由左向右顺时针排列,
且当0<a<1时函数单调递减,当a>1时函数单调递增.

本课结束


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