等差数列学案

等差数列学案

等差数列

课前热身

激活思维

1. 等差数列{an}的首项为 70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的项为___________. 2.设{an}是正项数列,其前 n 项和 Sn 满足:4Sn=(an-1)(an+3),则数列{an}的通项公式 an=___________.

3.

若两个等差数列{an}、{bn}满足

a1 ? a2 b1 ? b2

? ... ? an ? ... ? bn

?

7n ? 5 ,则 a5 n ? 3 b5

?

____ .

4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=___________. 5. 已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是___________. 知识梳理

1. 等差数列的定义 如果一个数列

,则称这个数列为等差数列,这个常数叫做

,即

(d 为常数),其中 n∈N*(或者表示为

2. 等差数列的通项公式 an=

.

(1) 推广:an=am+(

)d;

(2) 变式:d=

(3) 数列{an}为等差数列的充要条件:an= 3. 等差数列的前 n 项和公式 Sn=

. .

(1) n 为奇数时,有 Sn=

,S 奇-S 偶=

;n 为偶数时,有 S 偶-S 奇=

(2) 数列{an}为等差数列的充要条件:Sn=

4. 等差中项

若 a,b,c 成等差数列,则称 b 为 a,c 的等差中项,即 b=

.a,b,c 成等差数列 ?

5. 等差数列的性质

(1) 在等差数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有



(2) 若数列{an}、{bn}均为等差数列,则数列{pan}、{an+q}、{an±bn}也成等差数列;

(3) 若数列{an}成等差数列,则下标成等差的子数列也成等差数列;

(4) 若数列{an}成等差数列,Sn 为其前 n 和,则

成等差数列.数列

课堂导学

. .
为等差数列.

知识点 1 等差数列的概念及通项

【例

1】已知数列{an}的前

n

项和为

Sn,且满足

an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=

1 2

.

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等差数列学案

(1)

求证:

? ? ?

1 Sn

? ? ?

是等差数列;

(2) 求数列{an}的通项公式.

[精要点评](1) 证明一个数列成等差数列,其依据是等差数列的定义.证明时一定要注意定义中的项数“从

第二项起”的要求.实现证明的方法通常有两种形式:一是证“an+1-an=d(d 为常数),n∈N*”;二是证 “an+2-an+1=an+1-an,n∈N*”.

(2)

公式

an=

? ?

S

1

n ? 1, 对任何数列都是成立的,因此在求解有关等差数列或等比数列的问题时,

?Sn ? Sn?1, n ? 2

它同样是一个有力的工具.

【变式拓展】已知正项数列{an}的前 n 和为 Sn,且对任意的正整数 n,满足 2 Sn =an+1,求数列{an}的通
项公式.

等差数列的基本运算 2 知识点 2 等差数列的基本运算 【例 2】在等差数列{an}中:(1) 已知 a15=33,a45=153,求 a61;(2) 已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8; (3) 已知前 3 项和为 12,前 3 项积为 48,且 d>0,求 a1.
【变式拓展】在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S10=100,S100=10,求 S110. 2/5

等差数列学案
知识点 3 等差数列的前 n 项和 【例 3】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=12,S12>0,S13<0. (1) 求公差 d 的取值范围; (2) 指出 S1,S2,…,S12 中哪一个最大,并说明理由.
[精要点评]本题中,在求 Sn 最大值时,采用了三种方法,这三种方法都是在函数思想的指导下完成的. 其中方法一、方法二主要运用了函数的单调性思路结合数列的特征,当一个数列是递减数列时,一定会出 现一个时刻,在此之前,a1,a2,…,an 都是正数,而 an+1,an+2,…都是负数,显然在这种情况下,Sn 最大.方法 三是运用二次函数最大(小)值的求解思路,但由于是离散型最大(小)值问题,所以不一定是在顶点处 取得最大(小)值,而是在离顶点最近的横坐标为整数的点处最大(小)值. 【变式拓展】 在等差数列{an}中,a3=8,S3=33. (1) 求数列{an}的前 n 项和的最大值; (2) 求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.
规范答题赏析:设{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 S7=7.
(1) 求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; 3/5

等差数列学案

(2)

试求所有的正整数

m,使得

am am?1 am?2

为数列{an}中的项.

总结规律 本节主要复习等差数列的定义、基本运算及通项公式与前 n 项和的应用. 1. 不仅要熟练应用基本公式,还要会用变通的公式和等差数列的有关性质. 2. 由五个量 a1,d,n,an,Sn 中的三个量可求出其余两个量,即“知三求二”.要求选用的公式灵活恰当,即善
于减少运算量,达到快速、准确的目的. 3. 在求解等差数列的问题时,除了要注意函数思想、方程思想、消元及整体思想的运用外还要特别注
意在解题中要有“目标意识”,“需要什么,就求什么”,以提高解题的针对性.

等差数列 基础达标

1.设

x1,a1,a2,y

成等差数列,x,b1,b2,b3,y

也成等差数列,则

a2 b1

? a1 ? b3

的值是_______.

2. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4+a12+a17+a19=8,则 S25 的值为_____. 3. 在等差数列{an}中,已知 a1=1,前 5 项和 S5=35,则 a8 的值是_______. 4. 在公差为正数的等差数列{an}中,a10+a11<0,且 a10·a11<0,Sn 是其前 n 项和,则使 Sn 取最小值的 n 是______.

5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7=_____. 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=S3=12,则 an=_____.

7.

设等差数列{an}的前

n

项和为

Sn,若

a5=5a3,则

S9 S5

=______.

8.等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2m=0,S2m-1=38,则 m=______. 能力提升

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等差数列学案 9.已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前 n 项和 Sn.

10.

设{an}为等差数列,Sn

为其前

n

项和,已知

S7=7,S15=75,Tn

为数列

? ? ?

Sn n

? ? ?

的前

n

项和,求

Tn.

11. 设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn (1) 若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (2) 若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

滚动训练 12. 已知{an}是等差数列,a1=2,a3=18;{bn}也是等差数列,a2-b2=4,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3. (1) 求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式. (2) 数列{an}与{bn}是否有相同的项? 若有,则在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明理由.

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