2017年高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2_图文

2 .2

直线的方程

2.2.1

直线方程的概念与直线的斜率

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念,了解斜率与倾斜角的关系. 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式,并能在实际问题中应用. 3.能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角.

1

2

1.直线方程的概念 由于函数y=kx+B(k≠0)或y=B都是二元一次方程,因此,我们也可 以说,方程y=kx+B的解与其图象上的点存在一一对应关系. 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上 点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程, 这条直线叫做这个方程的直线. 知识拓展 直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件:以一 个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;这条直线上点的坐标 都是这个方程的解.两个条件只要缺少一个,命题就是错误的.

1

2

【做一做1】 给出下列四个命题: ①一条直线必是某个一次函数的图象; ②一次函数y=kx+B(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线; ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则此方程叫做 这条直线的方程; ④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这条直线 叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

1

2

解析:由直线方程的定义可知③,④均不正确. 又因为y=5表示一条直线,但它却不是一次函数,原因是一次函数 y=kx+B中的k≠0,故①也不正确.当一次函数y=kx+B(k≠0)中的B=0 时,其图象经过原点,可知②也不正确. 答案:A

1

2

2.直线的倾斜角和斜率 (1)我们把直线y=kx+B中的系数k叫做这条直线的斜率. (2)两点斜率公式:已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线的
2 - 1

斜率 k=
2 - 1

(1≠x2).

(3)倾斜角θ: x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,记 为θ. 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角,故θ的取值范围是 0°≤θ<180°.

1

2

(4)斜率k与倾斜角θ的关系如图.

1

2

知识拓展 当倾斜角为锐角时,倾斜角越大,斜率越大,且均为正;当 倾斜角为钝角时,倾斜角越大,斜率越大,且均为负.但我们不能错误 地认为倾斜角越大,斜率越大.

1

2

【做一做2】 过点P(1,3)和Q(0,5)的直线的斜率为 (

)

A.2
答案:B

B.-2

1 C. 2

1 D. ? 2

对直线斜率的全方位剖析 剖析:(1)斜率公式的适用范围.

经过两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线的斜率公式 k= 其适用范围是x1≠x2.说明如下:

2 -1 2 -1

,

①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示. ②斜率公式与两点的顺序无关,也就是说两点的纵坐标、横坐标在
公式中的次序可以同时调换(要一致). ③如果y2=y1(x2≠x1),则直线与x轴平行或重合,k=0;如果x1=x2,y1≠y2, 则直线与x轴垂直,倾斜角θ=90°,斜率k不存在.

(2)从运动变化的观点看斜率公式. 由直线上两点的坐标求这条直线的斜率 k 与这两点在直线上的 顺序无关,于是 k=
1 -2 1 -2

(1≠x2).如果令 Δx=x2-x1,Δy=y2-y1,则 Δx 表示
Δ (Δ≠0). Δ

变量 x 的改变量,Δy 表示相应的 y 的改变量,于是 k=

(3)斜率的功能. 斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量,它与倾斜角都反映倾 斜程度,但倾斜角相对直观一些,而斜率较抽象.结合图示说明如下: 如图,已知直线 PQ,直线 PM,且直线 MQ 与 y 轴平行,由直线的斜 率公式,得 kPQ=
Δ , Δ

=

Δ' . Δ

又由图易知Δy'>Δy,故kPM>kPQ.

显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜 程度要大.比如某人从点P沿直线PQ到达点Q,相对于从点P沿直线 PM到达点M来说,此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲. 一般地,直线斜率为k,|k|越大,直线相对于x轴倾斜程度越大;反之 |k|越小,直线相对于x轴倾斜程度越小.

名师点拨 若kAB=kAC,此时直线AB与直线AC的倾斜角相同,即三点 A,B,C共线,因此可以利用斜率解决三点共线问题;但kAB=kCD只能说 明直线AB与直线CD倾斜角相同,不能说明A,B,C,D四点共线,因此 要用斜率证明点共线问题,线段(或两条直线)必须有公共点才行.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型一

概念辨析题

【例1】 下列四个命题: ①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角,是这条直线的倾斜 角; ②直线l的倾斜角要么是锐角,要么是钝角; 2 -1 ; ③已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线l的斜率 k=

④若直线 l 的方程是 ax+By+c=0,则直线 l 的斜率 k=? .
其中正确命题的个数是(
A.3 B.2 C.1 D.0



2 -1

)

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解析:根据倾斜角定义知,①正确;倾斜角 θ 的范围为 0°≤θ<180°,故②不正确;当 x1=x2 时,直线 P1P2 的斜率 k 不存在, 不能用公式 k=
2 -1 2 -1

求解,故③不正确;当 B=0 时,直线斜率不存在,

故④不正确.故选 C.
答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 斜率与倾斜角是直线中最基本的概念,正确理解斜率与倾斜 角的概念是解答本题的基础,要注意直线的斜率与倾斜角的对应关 系,还有斜率公式是有使用范围的,直线与x轴垂直时斜率不存在.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练1】 对于下列命题: ①若θ是直线l的倾斜角,则0°≤θ<180°; ②若k是直线l的斜率,则k∈R; ③任一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:命题①②③正确,④错误. 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型二

求直线的斜率

【例2】 (1)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率; (2)求经过两点A(2,3),B(m,4)的直线的斜率. 分析:(1)利用过两点的直线的斜率公式计算;(2)对参数m进行分 类讨论,分情况求解.

解:(1)直线 AB 的斜率 kA = 直线 BC 的斜率 kBC= 直线 CA 的斜率 kCA=
-1-1 0-(-4) 2-(-1) 3-0

1-2 -4-3 -2 3

= 7;
1

1

= 4 = ?2; = 3 = 1.
4-3 -2

(2)当 m=2 时,直线 AB 的斜率不存在; 当 m≠2 时,直线 AB 的斜率 kA = =
1 . -2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 运用斜率公式求两点连线的斜率时,要注意其前提条件是 x1≠x2,若x1=x2,则直线斜率不存在.当所给两点的横坐标中含有字母 参数时,先要讨论两点的横坐标是否相等,再确定直线的斜率.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练2】 已知直线l经过两点A(2,-1),B(t,4),求直线l的斜率. 分析:点B的横坐标中含参数t,注意分类讨论.

解:(1)当 t=2 时,直线 l 与 x 轴垂直, 故直线 l 的斜率不存在. (2)当 t≠2 时,直线 l 的斜率 k=
4-(-1) -2

=

5 . -2

综上所述,当 t=2 时,直线 l 的斜率不存在; 当 t≠2 时,直线 l 的斜率 k=
5 . -2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型三

直线的倾斜角与斜率之间的关系

【例3】 当a为何值时,过点A(2a,3),B(2,-1)的直线的倾斜角是锐角? 钝角?直角? 分析:根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐 角,则k>0,若为钝角,则k<0,若为直角,则斜率不存在. 解:当过点A,B的直线的倾斜角是锐角时,kBA>0,根据斜率公式

得 kBA=

3+1 2-2

=

2 -1

> 0, 则a>1;
2 -1

同理,当倾斜角为钝角时,kBA<0,即

< 0, 则a<1.

当倾斜角为直角时,A,B两点的横坐标相等. 即2a=2,故a=1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 已知直线倾斜角范围求参数取值范围时,主要依据斜率与倾 斜角的关系,通过倾斜角范围,确定斜率的正、负,再求出参数的取 值范围.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练3】 已知直线l经过点P(5,10),Q(m,12),若l的倾斜角 θ≥90°,则实数m的取值范围是 .

解析:当 θ=90°时,直线 l 的斜率不存在,故 m=5;当 θ>90°时,倾斜角 为钝角,l 的斜率 围是 m≤5.
答案:m≤5
2 k<0,即 -5

< 0, 解得m<5.综上,m 的取值范

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型四

斜率公式的综合应用

【例4】 求证:A(1,5),B(0,2),C(-1,-1)三点共线. 分析:根据过同一点的两条直线,若它们的斜率相等,则两直线必 重合,从而证明三点共线.

证明:利用斜率公式计算出 AB 和 AC 两条直线的斜率,kA =
5-2 1-0

= 3, =

-1-5 -1-1

= 3.

因为kAB=kAC, 且直线AB和AC过同一点A, 所以A,B,C三点共线.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 通过本题可归纳出:若斜率kAB,kAC存在,则kAB=kAC?A,B,C三 点共线,当然也可以用|AB|+|BC|=|AC|来证.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练4】 若三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,求 实数a的值.

解:因为 A,B,C 三点在同一条直线上,所以 kAB=kBC,
7-2 5 -9-7 = , = 3- 3- -2-3 5 9+7 2 所以 = 5 , 解得a=2或 9. 3-

而 kA =

=

9+7 , 5

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型五

易错辨析

易错点:对直线倾斜角的范围理解不清致错 【例5】 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针 方向旋转30°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( ) A.α+30° B.α-150° C.150°-α D.当0°≤α<150°时为α+30°,当150°≤α<180°时为α-150° 错解:因为直线l按逆时针旋转,结合倾斜角的定义及旋转角的概念 可知l1的倾斜角为α+30°. 答案:A

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

错因分析:没有考虑到α+30°会超过180°,这样就不满足倾斜角的 范围了. 正解:要分类讨论,旋转30°后,看α+30°是否满足0°≤α+30°<180°. 若满足,则l1的倾斜角为α+30°;若不满足,则l1的倾斜角为α+30°180°=α-150°. 答案:D

1

2

3

4

5

6

1.若直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,直线l3的斜率不存在,并 且l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α1,α2,α3的大小关系是( ) A.α1<α2<α3 B.α3<α2<α1 C.α1<α3<α2 D.α2<α3<α1 解析:因为直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,所以 0°<α1<90°,90°<α2<180°.又因为直线l3的斜率不存在,所以α3=90°, 所以α1<α3<α2.故选C. 答案:C

1

2

3

4

5

6

2.过点P(-2,m)和点Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为( A.1 B.4 C.1或3 D.1或4

)

解析:由斜率公式,有 1=
答案:A

4- , 得m+2=4-m.解得 m=1. -(-2)

1

2

3

4

5

6

3.若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题中正确的是 ( ) A.若α1<α2,则两直线的斜率k1<k2 B.若α1=α2,则两直线的斜率k1=k2 C.若两直线的斜率k1<k2,则α1<α2 D.若两直线的斜率k1=k2,则α1=α2 解析:若0°<α1<90°,90°<α2<180°,显然α1<α2,但k1>0,k2<0,故A错;若 α1=α2=90°,则k1,k2均不存在,故B错;若k1<0,k2>0,则α1为钝角,α2为锐 角,必有α1>α2,故C错. 答案:D

1

2

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4.若直线l经过第二、四象限,则直线l倾斜角α的范围是 . 解析:如图,直线经过第二、四象限,可知直线l的倾斜角为钝角,其范 围是90°<α<180°.

答案:90°<α<180°

1

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4

5

6

5.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于

.

解析:由题意可得 kA =
答案:4

2 2-

= =

2-4 2

= ?1?a=4.

内部文件,请勿外传

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1

2

3

4

5

6

6.已知点A(3,4),在坐标轴上有一点B,使直线AB的斜率等于2,把直线 方程写成一次函数形式,并求出点B的坐标. 解:设所求直线方程为y=kx+B,因为k=2,A(3,4)在直线上,所以 4=2×3+B,解得B=-2. 所以直线方程为y=2x-2. 若B在x轴上,则可设B(x0,0),代入直线方程解得x0=1,即B(1,0); 若B在y轴上,则可设B(0,y0),代入直线方程解得y0=-2,即B(0,-2).

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