0906-江苏东海高级中学04-05年上学期高三期末综合检测数学

2004-2005 学年度江苏东海高级中学

期末综合检测高三数学试卷
一.选择题: 1. 若集合 A={x C 7 ≤21},则组成集合 A 的元素个数有 A.1 个 B. 3 个 C. 6 个 D. 7 个
X

(

)

2.已知命题 P:函数 y= loga (ax ? 2a)(a ? 0, a ? 1) 的图象必过定点(-1,1); 命题 q:若函数 y=f(x-3)的图象关于原点对称,则函数 f(x)关于点(3,0)对称;那么 ( ) A. 且 q”为真 “p B. “p 或 q”为假 C. p 真 q 假 D.p 假 q 真 3. 定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x+a)的值域为 ( ) A.[2a,a+b] B. [a,b] C. [0,b-a] D.[-a,a+b] 4.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8 的值为 ( ) A.90 B. 100 C. 180 D. 200

A1

? 5. 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ?BAC ? 900 , 又BC1 ? AC ,过 C1 作 C1HB1 平面ABC ,
垂足为 H,则有 A. H 在直线 AC 上 C. H 在直线 BC 上 6. 改编) ( 设函数 f(x)=2sin( 的最小值为 A. 4 7.不等式 B. 2 C. 1 D. ( B. H 在直线 AB 上 D. H 在 ?ABC 内 ) A

C1

?x
2

?

?
5

) ,若对任意 x? R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, B x1 ? x2 则
( )

C

1 2

? x 2 ? 4x ≤
5 3

4 x ? 1 ? a 的 解 集 是 [-4,0], 则 a 的 取 值 范 围 是 3
( ) C.(- ?,?5 ) ? [ ,?? ) D.(- ?,0)

A. ?,?5 ] (-

B.[ ,?? )

5 3

8.(改编)已知 A(-2,0),B(0,2); C 是圆上 x2+y2-2x=0 上任意一点,则 ?ABC 的面 积的最大值是 ( ) A. 3+ 2 B. 3- 2 C. 6 D. 4

9.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、 两点, B 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 则

3 , 2

2 3 9 3 2 3 C. D. 3 2 27 10.已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD-A1B1C1D1,在棱 AB,BB1 以及 BC1 的中点处各有一
B.
1

a 的值为 b 3 A. 2





个小孔 E、F、G,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积为( A.



4 5

B.

7 8

C.

7 12
D B

D. C

11 12

A D1 A1

E G F C1 B1

11. ( 自 编 ) 已 知 x,y ? R , 且 x+2y ≥ 1, 则 二 次 函 数 式 u=x2+y2+4x-2y 的 最 小 值 为 。 ( ) A.-3 B.

12 5

C. 24

D. ?

24 5

12. (改编)一个机器猫每秒前进或后退一步,程序设计人员让机器猫以每前进 3 步,然后再 后退 2 步的规律移动;如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距离 为 1 个单位长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那么下 列结论中错误的是 ( ) A. P(3)=3 B. P(5)=1 C. P(101)=21 D. P(103)<P(104) 二.填空题: 13 .(改编)若向量 OA =(3,2),且 AB ? 1 ,则点 B 的轨迹方程是 14.(改编)函数 f(x)= loga x (a>0 且 a ? 1) ,若 f(x1)-f(x2)=2,则 f(x13)-f(x23)= 15. (改编)m 为大于 1 且小于 10 的正整数,若( x 3 ? 样条件的 m 有 个。 . .

1 m ) 的展开式中有不含 x 的项,满足这 x2

16.(自编)给出下列五个命题: ①有两个对角面是全等的矩形的四棱柱是长方体。 ②函数 y=sinx 在第一象限内是增函数。 -1 ③f(x)是单调函数,则 f(x)与 f (x)具有相同的单调性。 ④一个二面角的两个平面分别垂直于另一个二面角的两个平面, 则这两个二面角的平 面角互为补角。 ⑤当椭圆的离心率 e 越接近于 0 时,这个椭圆的形状就越接近于圆。 其中正确命题的序号为 。 三.解答题: 17. 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a). 求: (1).写出 f(a)的表达式; (2).试确定能使 f(a)=

1 的 a 的值,并求此时函数 y 的最大值. 2

2

18.从原点出发的某质点 M, 按向量 a =(0,1)移动的概率为 设可达到点(0,n)的概率为 Pn, 求: (1).求 P1 和 P2 的值. (2).求证:Pn+2=

2 1 ,按向量 b =(0,2)移动的概率为 , 3 3

1 2 Pn+ Pn+1. 3 3

(3).求 Pn 的表达式. 19. (改编)如图所示,PD 垂直正方形 ABCD 所在的平面,AB=2,E 是 PB 的中点,

cos(DP, AE) =

3 . 3
P

(1).建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标. (2).在平面 PAD 内求一点 F,使 EF ? 平面PCB .

E D C

A

B

20. 已知 x,y 为正实数,且满足关系式 x2-2x+4y2=0,求 x ? y 的最大值. 21.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 ? , ? (? ? ? ), 函数 f(x)= (1). 求 f( ? )和f ( ? ) 的值。 (2) 。证明:f(x)在[ ? , ? ] 上是增函数。 (3) 。对任意正数 x1、x2,求证: f (

4x ? t . x2 ?1

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? 2? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2

22. (改编)设函数 f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为 d 的等差数列, n}是公比为 q (q ? R 且 q ? 1) {b 的等比数列,已知 a1=f(d-1), a3=f(d+1), b1=f(q+1), b3=f(q-1). (1).求数列{an},{bn}的通项公式。 (2) 。设数列{cn}的 前 n 项和为 Sn,若对任意自然数 n 均有
3

c S c1 c 2 c3 ? ? ? ? ? ? ? n ? a n ?1 成立,求 lim 2 n ?1 的值。 b1 b2 b3 bn n ?? S 2 n

参考答案: 1C 2C 3B 4C 5B 6B 7A 8A 9A 10D 2 2 13. (x-3) +(y-2) =1 14。6 15 1 16 ③⑤ 17 解析: (1).y=2(cosx- ) 2 -

11D

a 2

a 2 ? 4a ? 2 . 2

? ?1 ? cos x ? 1,

?1, (a ? ?2) ? 2 ? a ? 4a ? 2 ? f ( a ) ? ?? , (?2 ? a ? 2), 2 ? ?1 ? 4a, (a ? 2). ?
a 2 ? 4a ? 2 1 1 ? 得 a2+4a-3=0, 无解;当-2<a<2 时,由 ? 2 2 2 1 1 解之得 a=-1 或 a=-3(舍去);当 a≥2 时,由 1-4a= 得 a= (舍去).综上所述 a=-1,此时有 2 8 1 1 y=2(cosx+ ) 2 ? ,当 cosx=1 时,即 x=2k ? (k ? Z ) 时,y 有最大值为 5. 2 2 2 2 1 7 18.解析: (1). P1= , P2 ? ( ) 2 ? ? . 3 3 3 9
(2).当 a≤-2 时,f(a)=1,从而 f(a)= (2).证明:到达点(0,n+2)有两种情况:从点(0,n)按向量 b ? (0,2) 移动;从点(0,n+1) 按向

1 2 2 1与 Pn?1 ? ,所以 Pn?2 ? Pn ? Pn?1 . 3 3 3 3 1 1 1 (3).由(2)得 Pn+2-Pn+1= ? ( Pn ?1 ? Pn ), 故数列{Pn+1-Pn}是以 P2-P1= 为首项, ? 为 3 9 3 1 1 1 公比的等比数列,故 Pn+1-Pn= ? (? ) n?1 ? (? ) n?1 , 9 3 3 1 1 于是 Pn-P1=( Pn ? Pn?1 ) ? ? ? ? ? ( P2 ? P ) ? ? [1 ? (? ) n?1 ] 1 12 3 3 1 1 ? Pn ? ? ? (? ) n . 4 4 3
量 a =(0,1)移动,概率分别为 Pn ? 19.解析: (1)以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立 直角坐标系,则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) 设 P(0,0,2m) ,则 E(1,1,m) ,

? AE ? (?1,1, m), DP ? (0,0,2m),
? c o sDP, AE) ? ( 2m 2 1 ? 1 ? m 2 ? 2m ? 3 , 得 m=1. 3

? 点 E 的坐标是(1,1,1).
4

(2). ? F ? 平面 PAD, ? 可设 F(x,0,z),

? EF ? ( x ? 1,?1, z ? 1) . ? EF ? 平面PCB ? EF ? CB ? ( x ? 1,?1, z ? 1) ? (2,0,0) ? x ? 1.
又由 EF ? PC ? ( x ? 1,?1, z ? 1) ? (0,2,?2) ? 0 ? z ? 0. 所以点 F 的坐标是(1,0,0),即点 F 是 AD 的中点。 20.解: ?4y2=-x2+2x≥0,?0≤x≤2. ? x 2 ? y 2 ? ? 令 s=x y ,则 s= x 2 ? y 2 ? ?
2 2

1 4 1 3 x ? x . 4 2

1 4 1 3 x ? x ,(0≤x≤2). 4 2 3 3 2 / / S = ? x 3 ? x . 由 S =0,得 x=0,或 x= 2 2 3 3 3 27 / / x ? (0, ) 时, S >0; x ? ( ,2) 时, S <0. ?当 x= 时,S= ; 2 2 2 64 3 3 3 . 即当 x= 时, x ? y 的最大值为 8 2 t 21.解析: 。 (1),由根与系数的关系得, ? ? ? ? , ?? ? ?1. 2
? f (? ) ? 4? ? t 4? ? 2(? ? ? ) 2 8 1 ? ? ? ? ? (t ? t 2 ? 16 ). 2 2 2 ? ?1 ? ? ?? ? t ? t ? 16 2

同法得 f( ? ) ? (2).证明:?f/(x)=

1 ( t 2 ? 16 ? t ). 2

4( x 2 ? 1) ? (4 x ? t )2 x ? 2(2 x 2 ? tx ? 2) ? , 而当 x ?[? , ? ] 时, ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

2x2-tx-2=2(x- ? )( x ? ? ) ? 0, 故当 x ?[? , ? ] 时, f/(x)≥0, ? 函数 f(x)在[ ? , ? ] 上是增函数。 (3) 。证明:

x1? ? x 2 ? x (? ? ? ) x ? ? x2 ? x (? ? ? ) ?? ? 2 ? 0, 1 ?? ? 1 ? 0, x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2

?? ?

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? ? ? , 同理 ? ? 1 ??. x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? ? x 2? x ? ? x 2? ) ? f ( ? ), 故 ? f ( ? ) ? ? f ( 1 ) ? ? f (? ). x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1? ? x 2 ? ) ? f ( ? ). 两式相加得: x1 ? x 2 x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ), x1 ? x 2 x1 ? x 2
5

? f (? ) ? f (

又 f( ? ) ? f (

? [ f ( ? ) ? f (? )] ? f (

即 f(

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ). x1 ? x 2 x1 ? x 2
且 f( ? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f (? ) ,

而由(1) ? ) ? ?2 ? , f ( ? ) ? ?2? ,f(

?

f(

x1? ? x 2 ? x ? ? x 2? )? f( 1 ) ? 2? ? ? . x1 ? x 2 x1 ? x 2

22. 解析: (1) ?{an}是公差为 d 的等差数列, ? a3-a1=2d, 即 f(d+1)-f(d-1)=2d, ? d2-(d-2)2=2d,解得 d=2, ? a1=f(d-1)=f(1)=0, ?an=2(n-1). 又?

b3 f (q ? 1) ? q 2 ,? ? q2 , b1 f (q ? 1)

?

( q ? 2) 2 ? q 2 , ? q 2 ? q ? 2或q 2 ? 2 ? q . 2 q

而 q 2 ? q ? 2 无实根,故舍去。 由 q 2 ? 2 ? q 得 q=-2 或 q=1.

? q ? 1,? q ? ?2.

?b1 ? f (q ? 1) ? f (?1) ? 4.

?bn ? 4 ? (?2) n ?1 , 即 bn=(-2)n+1.
(2).令 x n ?

cn , 则 x1=a2=2. bn

又? n ? 2 时, xn ? a n?1 ? a n ? 2,

? xn ? 2(n ? N ),?cn ? 2bn .
Sn= 2(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ) ? 2 ?

4[1 ? (?2) n ] 8 ? [1 ? (?2) n ] . 1 ? (?2) 3

? lim
n ??

S 2 n ?1 1 ? (?2) 2 n ?1 ? lim ? lim 2n S 2n n ? ? 1 ? ( ?2) n ??

1 (? ) 2 n ? 2 2 ? ?2. 1 2n (? ) ? 1 2

6


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