2014浙江卷(理科数学)精准解析


2014·浙江卷(理科数学) 1.[2014· 浙江卷] 设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=(

)

A.? B.{2} C.{5} D.{2,5} 1.B [解析] ?UA={x∈N|2≤x< 5}={2},故选 B. 2. 、[2014· 浙江卷] 已知 i 是虚数单位,a,b∈R,得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 ? ? ?a -b =0, ?a=1, ? ?a=-1, 2 2 2 2.A [解析] 由 a,b∈R,(a+bi) =a -b +2abi=2i, 得? 所以? 或? 故选 A. ?2ab=2, ?b=1 ?b=-1. ? ? ? 3.[2014· 浙江卷] 几何体的三视图(单位:cm)如图 11 所示,则此几何体的表面积是( )

图 11 A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2 3.D [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其直观图如图,

1 所以该几何体的表面积为 2(4×3+6×3+6×4)+2× ×3×4+4×3+3×5-3×3=138(cm2),故选 D. 2 4.[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( ) π π A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 4 4 π π C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 12 12 π π 4.C [解析] y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ?= 2cos?3?x- ??,所以将函数 y= 2cos 3x 的图像向右平 4? ? ? ? 12?? π 个单位可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,故选 C. 12 5.[2014· 浙江卷] 在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 n 3 0 2 1 1 2 0 3 5.C [解析] 含 xmyn 项的系数为 f(m,n)=Cm 6 C4,故原式=C6C4+C6C4+C6C4+C6C4=120,故选 C. 3 2 6.[2014· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( ) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 ? ?-1+a-b+c=-8+4a-2b+c, 6.C [解析] 由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得? ? ?-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c ? ? ?-7+3a-b=0, ? ?a=6, ? ?? 则 f(x)=x3+6x2+11x+c,而 0<f(-1)≤3,故 0<-6+c≤3, ?19-5a+b=0 ?b=11, ? ? ∴6<c≤9,故选 C. 7. 、[2014· 浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是( ) 移

A

B

C

D

图 12 图 12 7.D [解析] 只有选项 D 符合,此时 0<a<1,幂函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且当 x∈(0,1)时,f(x) 的图像在直线 y=x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数,故选 D. ? ? ?x,x≥y, ?y,x≥y, 8.[2014· 浙江卷] 记 max{x,y}=? min{x,y}=? 设 a,b 为平面向量,则( ) ?y,x<y, ?x,x<y. ? ? A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 8.D [解析] 对于 A,当 a=0,b≠0 时,不等式不成立;对于 B,当 a=b≠0 时,不等式不成立; 对于 C, D,设=a,=b,构造平行四边形 OACB,根据平行四边形法则,∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于 90°, 根据余弦定理,max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 成立,故选 D.

9. 、[2014· 浙江卷] 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒 中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξ i(i=1,2); (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2). 则( ) A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) 1 3 2 3 1 3 C2 3 C1 2 C2 3 3C3 3 1 2 9.A [解析] 方法一:不妨取 m=n=3,此时,p1= × + × = ,p2= 2× + 2 × + 2× = ,则 6 2 6 2 4 C6 3 C6 3 C6 3 3 1 3 3 3 C2 C1 C2 3 3C3 3 p1>p2;E(ξ1)=1× +2× = ,E(ξ2)=1× 2+2× 2 +3× 2=2,则 E(ξ1)<E(ξ2).故选 A. 6 6 2 C6 C6 C6 1 2m+n m 2 n 1 C2 3 C1 2 C2 1 m mCm n 方法二:p1= × + × = ,p2= 2 × + 2 × + 2 × = m+n 2 m+n 2 2(m+n) Cm+n 3 Cm+n 3 Cm+n 3 3m2-3m+4mn+n2-n , 3(m+n)(m+n-1) mn+n(n-1) 则 p1-p2= >0; 6(m+n)(m+n-1) 2m+n n m E(ξ1)=1× +2× = , m+n m+n m+n 1 C2 C1 C2 n mCn m E(ξ2)=1× 2 +2× 2 +3× 2 = Cm+n Cm+n Cm+n 3m2-3m+4mn+n2-n , (m+n)(m+n-1) -m2+m-mn E(ξ1)-E(ξ2)= <0,故选 A. (m+n)(m+n-1) 1 i 10.[2014· 浙江卷] 设函数 f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x)= |sin 2π x|,ai= ,i=0,1,2,?,99.记 Ik 3 99 =|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+?+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则( ) A.I1<I2<I3 B.I2<I1<I3 C.I1<I3<I2 D.I3<I2<I1

i ?2 ?i-1?2? 2i-1 1 10.B [解析] 对于 I1,由于?? - = 2 (i=1,2,?,99),故 I1= 2(1+3+5+?+2×99- 99 ? ? 99 99 99 ? ? ?? 2 2 50(98+0) i - 1 i i - 992 2 i ? ? +? 1? ?= 2 2|100-2i|(i=1, 1)= 2=1; 对于 I2, 由于 2? - 2, ?, 99), 故 I2= 2×2× - 99 99 2 ?99 99 ?99? ? 99 ? ? 99 2 100×98 99 -1 = = <1. 992 992 1? 0? 2? 1? 1 ? ? ? I3= sin ? ?2π ×99?-sin ?2π ×99?+sin?2π ×99?-sin ?2π ×99?+?+ 3 99 98 2π × ?-sin?2π × ?= sin? 99? 99? ? ? 25 74? 4 1? ? ? 2sin? ?2π ×99?-2sin?2π ×99?≈3>1.故 I2<I1<I3,故选 B. 3? 11.[2014· 浙江卷] 若某程序框图如图 13 所示,当输入 50 时,则该程序运行后输出的结果是________.

图 13 11.6 [解析] 第一次运行,S=1,i=2;第二次运行,S=4,i=3;第三次运行,S=11,i=4;第四次运 行,S=26,i=5;第五次运行,S=57,i=6,此时 S>n,输出 i=6. 1 12.[2014· 浙江卷] 随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则 D(ξ)=________. 5 2 12. [解析] 设 P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=y, 5 3 4 x= , ? 5 ?x+y=5, 1 3 1 2 则? ? 所以 D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = . 5 5 5 5 1 ?x+2y=1 ? y= , 5 ?x+2y-4≤0,

? ? ?

13.

[2014· 浙江卷] 当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是

?

? ?x≥1

________. 3 1, ? 13.? ? 2? 3 1, ?.当 a≤0 [解析] 实数 x,y 满足的可行域如图中阴影部分所示,图中 A(1,0),B(2,1),C? ? 2? 3 时,0≤y≤ ,1≤x≤2,所以 1≤ax+y≤4 不可能恒成立;当 a>0 时,借助图像得,当直线 z=ax+y 过点 A 时 z 2 1≤a≤4,

? ?1≤2a+1≤4, 3 3 1, ? . 取得最小值,当直线 z=ax+y 过点 B 或 C 时 z 取得最大值,故? 解得 1≤a≤ .故 a∈? ? 2? 2 3 1 ≤ a + ≤ 4 , ? ? 2

14.[2014· 浙江卷] 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,

每人 2 张,不同的获奖情况有________种.(用数字作答) 2 14.60 [解析] 分两种情况:一种是有一人获得两张奖券,一人获得一张奖券,有 C2 3A4=36 种;另一种是 三人各获得一张奖券,有 A3 4=24 种.故共有 60 种获奖情况. 2 ? ?x +x,x<0, 15.[2014· 浙江卷] 设函数 f(x)=? 2 ?-x , x≥0. ? 若 f[f(a)]≤2,则实数 a 的取值范围是________. 15.(-∞, 2] [解析] 函数 f(x)的图像如图所示,令 t=f(a),则 f(t)≤2,由图像知 t≥-2,所以 f(a)≥-2, 则 a≤ 2.

x2 y2 16.[2014· 浙江卷] 设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A, a b B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 5 b 16. [解析] 双曲线的渐近线为 y=± x,渐近线与直线 x-3y+m=0 2 a

? -am , bm ?,B? -am , -bm ? .设 AB 的中点为 D,由|PA|=|PB|知 AB 与 DP 垂直,则 的交点为 A? ? ? ? ?a+3b a+3b? ?a-3b a-3b? -a2m -3b2m ? ?,k =-3,解得 a2=4b2,故该双曲线的离心率是 5. , D? ? 2 ?(a+3b)(a-3b) (a+3b)(a-3b)? DP 17.[2014· 浙江卷] 如图 14,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙 面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的 仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则 tan θ 的最大值是________.(仰角 θ 为直线 AP 与 平面 ABC 所成角)

图 14

5 17.

3 9

[解析] 由勾股定理得 BC=20 m.如图,过 P 点作 PD⊥BC 于 D,连接 AD, 则由点 A 观察点 P 的

PD 仰角θ =∠PAD, tan θ = .设 PD=x, 则 DC= 3x, BD=20- 3x, 在 Rt△ABD 中, AD= 152+(20- 3x)2 AD = 625-40 3x+3x2, 所以 tan θ = x 625-40 3x+3x
2



1 625 40 3 - +3 x2 x



5 3 ≤ ,故 tan θ 的最大值为 9 1 20 3? 27 625? - + ?x 625 ? 25
2

1

5 3 . 9

18. [2014· 浙江卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3,cos2A-cos2B = 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积. 5 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 3 1 3 1 18. 解: (1)由题意得 - = sin 2A- sin 2B, 即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B, 2 2 2 2 2 2 2 2 π π sin?2A- ?=sin?2B- ?. 6? 6? ? ? π π 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π ),得 2A- +2B- =π , 6 6 2π π 即 A+B= ,所以 C= . 3 3 4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A= , = ,得 a= . 5 sin A sin C 5 4+3 3 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A= ,故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= . 5 10 8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S= acsin B= . 2 25 19.[2014· 浙江卷] 已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3?an=( 2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且 a1=2,b3= 6+b2. (1)求 an 与 bn. 1 1 (2)设 cn= - (n∈N*).记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. an bn (i)求 Sn; (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 Sk≥Sn. 19.解:(1)由题意 a1a2a3?an=( 2)bn,b3-b2=6, 知 a3=( 2)b3-b2=8. 又由 a1=2,得公比 q=2(q=-2 舍去),所以数列{an}的通项为 an=2n(n∈N*). n(n+1) + . 所以,a1a2a3?an=2 =( 2)n(n 1) 2 故数列{bn}的通项为 bn=n(n+1)(n∈N*). 1 1 1 1 1 (2)(i)由(1)知 cn= - = n-?n-n+1?(n∈N*). an bn 2 ? ? 1 1 * 所以 Sn= - n(n∈N ). n+1 2 (ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0, 1) ? 1 ?n(n+ 当 n≥5 时,cn= -1 , n 2 ? ? n(n+1) n(n+1) (n+1)(n+2) (n+1)(n-2) 而 - = >0, + + 2n 2n 1 2n 1 n(n+1) 5×(5+1) 得 ≤ <1, 2n 25 所以,当 n≥5 时,cn<0. 综上,若对任意 n∈N*恒有 Sk≥Sn,则 k=4. 20. 、[2014· 浙江卷] 如图 15,在四棱锥 A BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB =CD=2,DE=BE=1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面 ACD; (2)求二面角 B AD E 的大小.

图 15

20.解:(1)证明:在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC= 2, 由 AC= 2,AB=2, 得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE, 所以 AC⊥DE.又 DE⊥DC,从而 DE⊥平面 ACD. (2)方法一: 过 B 作 BF⊥AD,与 AD 交于点 F,过点 F 作 FG∥DE,与 AE 交于点 G,连接 BG.由(1)知 DE⊥AD,则 FG ⊥AD.所以∠BFG 是二面角 B AD E 的平面角. 在直角梯形 BCDE 中,由 CD2=BC2+BD2, 得 BD⊥BC.

又平面 ABC⊥平面 BCDE,得 BD⊥平面 ABC,从而 BD⊥AB.由 AC⊥平面 BCDE,得 AC⊥CD. 在 Rt△ACD 中,由 DC=2,AC= 2,得 AD= 6. 在 Rt△AED 中,由 ED=1,AD= 6,得 AE= 7. 2 3 2 2 2 在 Rt△ABD 中,由 BD= 2,AB=2,AD= 6,得 BF= ,AF= AD.从而 GF= ED= . 3 3 3 3 5 7 2 在△ABE,△ABG 中,利用余弦定理分别可得 cos∠BAE= ,BG= . 14 3 2 2 2 GF +BF -BG 3 在△BFG 中,cos∠BFG= = . 2 2BF·GF π π 所以,∠BFG= ,即二面角 B AD E 的大小是 . 6 6 方法二: 以 D 为原点,分别以射线 DE,DC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D xyz,如图所示.

由题意知各点坐标如下: D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0), A(0,2, 2),B(1,1,0). 设平面 ADE 的法向量为 m=(x1,y1,z1), 平面 ABD 的法向量为 n=(x2,y2,z2). 可算得 AD=(0,-2,- 2),AE=(1,-2,- 2),=(1,1,0).

x2 y2 21. 、[2014· 浙江卷] 如图 16,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P a b 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

?-2y1- 2z1=0, 由即? ?x1-2y1- 2z1=0, 可取 m=(0,1,- 2). ?-2y2- 2z2=0, 由即? ?x2+y2=0, 可取 n=(1,-1, 2). |m·n| 3 3 于是|cos〈m,n〉|= = = . |m|· |n| 3×2 2 由题意可知,所求二面角是锐角, π 故二面角 B AD E 的大小是 . 6

图 16 y=kx+m, ? ? 2 2 21.解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0),由?x y 消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2= ? ?a2+b2=1, 0. a2km b2m 由于 l 与 C 只有一个公共点,故 Δ=0,即 b2-m2+a2k2=0,解得点 P 的坐标为?-b2+a2k2,b2+a2k2?. ? ? 2 2 - a k b m ? , 2 2 2? 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P? 2 ?. b +a k ? ? b +a2k2 (2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离 d= - a2k b2k ? ? ? 2 2 2+ 2 2 2? b +a k ? ? b +a k , 2 1+k a2-b2 整理得 d= . b2 b2+a2+a2k2+ 2 k 2 a2-b2 a2-b2 b 因为 a2k2+ 2 ≥2ab,所以 ≤ =a-b, 2 k b2+a2+2ab 2 2 2 2 b b +a +a k + 2 k b 当且仅当 k2= 时等号成立. a 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b. 22. 、[2014· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a∈R). (1)若 f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为 M(a),m(a),求 M(a)-m(a); (2)设 b∈R,若[f(x)+b]2≤4 对 x∈[-1,1]恒成立,求 3a+b 的取值范围. 3 ? ?x +3x-3a,x≥a, 22.解:(1)因为 f(x)=? 3 ?x -3x+3a,x<a, ? 2 ? 3 x + 3 , x ≥ a, ? 所以 f′(x)=? 2 ?3x -3,x<a. ? 由于-1≤x≤1, (i)当 a≤-1 时,有 x≥a, 故 f(x)=x3+3x-3a, 此时 f(x)在(-1,1)上是增函数, 因此,M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a,故 M(a)-m(a)=(4-3a)-(-4-3a)=8.

(ii)当-1<a<1 时,若 x∈(a,1),则 f(x)=x3+3x-3a.在(a,1)上是增函数;若 x∈(-1,a), 则 f(x)=x3-3x+3a 在(-1,a)上是减函数.所以,M(a)=max{f(1),f(-1)},m(a)=f(a)=a3. 1 1 由于 f(1)-f(-1)=-6a+2,因此,当-1<a≤ 时,M(a)-m(a)=-a3-3a+4;当 <a<1 时,M(a)-m(a)= 3 3 -a3+3a+2. (iii)当 a≥1 时,有 x≤a,故 f(x)=x3-3x+3a,此时 f(x)在(-1,1)上是减函数,因此,M(a)=f(-1)=2+3a, m(a)=f(1)=-2+3a, 故 M(a)-m(a)=(2+3a)-(-2+3a)=4. 8,a≤-1,

? , ?-a -3a+4,-1<a≤1 3 综上,M(a)-m(a)=? 1 -a +3a+2, <a<1, 3 ? ?4,a≥1.
3 3

(2)令 h(x)=f(x)+b, ?x3+3x-3a+b,x≥a, ? 则 h(x)=? 3 ?x -3x+3a+b,x<a, ? 2 ? ?3x +3,x>a, h′(x)=? 2 ?3x -3,x<a. ? 因为[f(x)+b]2≤4 对 x∈[-1,1]恒成立, 即-2≤h(x)≤2 对 x∈[-1,1]恒成立, 所以由(1)知,(i)当 a≤-1 时,h(x)在(-1,1)上是增函数,h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(1)=4-3a+b,最 小值是 h(-1)=-4-3a+b,则-4-3a+b≥-2 且 4-3a+b≤2,矛盾. 1 (ii)当-1<a≤ 时,h(x)在[-1,1]上的最小值是 h(a)=a3+b,最大值是 h(1)=4-3a+b,所以 a3+b≥-2 3 1 且 4-3a+b≤2,从而-2-a3+3a≤3a+b≤6a-2 且 0≤a≤ . 3 1 ? 令 t(a)=-2-a3+3a,则 t′(a)=3-3a2>0,t(a)在? ?0,3?上是增函数,故 t(a)>t(0)=-2, 因此-2≤3a+b≤0. 1 (iii)当 <a<1 时,h(x)在[-1,1]上的最小值是 h(a)=a3+b,最大值是 h(-1)=3a+b+2,所以 a3+b≥-2 3 28 且 3a+b+2≤2,解得- <3a+b≤0; 27 (iv)当 a≥1 时,h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(-1)=2+3a+b,最小值是 h(1)=-2+3a+b,所以 3a+b+ 2≤2 且 3a+b-2≥-2,解得 3a+b=0. 综上,得 3a+b 的取值范围是-2≤3a+b≤0. 自选模块 1.[2014· 浙江卷] (1)解不等式 2|x-2|-|x+1|>3; (2)设正数 a,b,c 满足 abc=a+b+c,求证:ab+4bc+9ac≥36,并给出等号成立条件. 解:(1)当 x≤-1 时,2(2-x)+(x+1)>3,得 x<2,此时 x≤-1; 当-1<x≤2 时,2(2-x)-(x+1)>3,得 x<0,此时 -1<x<0; 当 x>2 时,2(x-2)-(x+1)>3,得 x>8,此时 x>8. 综上所述,原不等式的解集是(-∞,0)∪(8,+∞). 1 1 1 (2)证明:由 abc=a+b+c,得 + + =1. ab bc ca 由柯西不等式,得 1 1 1? 2 (ab+4bc+9ac)? ?ab+bc+ca?≥(1+2+3) , 所以 ab+4bc+9ac≥36,当且仅当 a=2,b=3,c=1 时,等号成立. π 2.[2014· 浙江卷] (1)在极坐标系 Ox 中,设集合 A={(ρ,θ)|0≤θ≤ ,0≤ρ ≤cos θ },求集合 A 所表示区 4 域的面积; (2)在直角坐标系 xOy 中,

, ?x=-4+tcosπ 4 直线 l:? (t 为参数), π ?y=tsin 4
? ?x=acos θ , 曲线 C:? (θ 为参数),其中 a>0. ?y=2sin θ ? 若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方,求 a 的取值范围. 解:(1)在 ρ=cos θ 两边同乘 ρ,得 ρ 2=ρcos θ . 化成直角坐标方程,得 x2+y2=x, 1 2 1 x- ? +y2= . 即? ? 2? 4 1 2 1 x- ? +y2= 所围成的区域,如图所示的 所以集合 A 所表示的区域为:由射线 y=x(x≥0),y=0(x≥0),圆? ? 2? 4 π 1 阴影部分,所求面积为 + . 16 8

(2)由题意知,直线 l 的普通方程为 x-y+4=0. 因为曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方,故对 θ∈R,有 acos θ -2sin θ +4>0 恒成立, 2 其中tan φ = ?恒成立, 即 a2+4cos(θ+φ)>-4? a? ? 所以 a2+4<4.又 a>0,得 0<a<2 3.


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