2013年山东省德州市乐陵一中高二数学必修五学案2.2《等差数列》(第1课时)

2.2 等差数列(第 1 课时) 主备人 刘玉龙 使用时间 09.17 **学习目标** 1.理解等差数列的概念,理解等差中项的意义; 2.掌握等差数列的通项公式; 3.能根据等差数列的定义判断或证明一个数列为等差数列. **要点精讲** 1.如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列
就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 表示.
2.在数列{an}中,若对任意 n ? N ? ,有 an ? an?1 ? d (n ? 1) ,则称数列{an} 为等差数
列.
3.由三个数 a, A, b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时, A 叫做 a 与 b 的

等差中项. A 为 a 与 b 的等差中项 ? a, A,b 组成等差数列 ? A ? a ? b 2

4.设等差数列{an}的首项是 a1 ,公差是 d ,则通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d .公式推导方

法为归纳法.对于任意 n, m ? N ? ,有 an

? am ? (n ? m)d ,公差 d

? an ? am n?m

(m ? n) .

**范例分析**

? ? 例 1.(1)在等差数列 an 中,已知 a15 ? 10, a45 ? 90 ,求 a60 ;

(2)在等差数列?an? 中,已知 a1 ? 21, an ? 3, a5 ? a6 ? 2 ,求 n .

例 2.已知数列?an? 的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、q 是常数,那么这个数列是否一定
是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?

例 3.已知 a2 , b2 , c2 成等差数列,求证: 1 , 1 , 1 也成等差数列. b?c c?a a?b

例 4.(1)在无穷等差数列?an? 中,已知首项是 a1 ,公差是 d .如果取出所有序号为 7 的

倍数的项,组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别

是多少?

(2)在等差数列?an? 中,

a1

?

?5, a4

?

?

1 2

,若在该数列的每相邻两项间插入一个数,使

之仍成等差数列,求新的等差数列的一个通项公式.

(3)两个等差数列 5,8,11,??? 和 3, 7,11,??? 都有100 项,它们有

个共同项,把

共同项从小到大排列成数列{cn},则通项公式 cn ?



(4)某资料室在计算机使用中,出现下表所示以一定规则排列的编码,且从左至右以及从 上到下都是无限的

1 1 1 1 1 1…

1 2 3 4 5 6…

1 3 5 7 9 11 …

1 4 7 10 13 16 …

1 5 9 13 17 21 …

1 6 11 16 21 26 …

…………………

此表中,主对角线上数列 1,2,5,10,17,…的通项公式为

;

编码 100 共出现



**规律总结**
1.可以把等差数列{an}的问题归结为两个基本量 a1 和 d 的问题; 2. a, A,b 成等差数列 ? A 为 a 与 b 的等差中项 ? A ? a ? b ;
2 3.判定一个数列是不是等差数列,就是看 an ? an?1 (n ? 1) 是不是一个与 n 无关的常数.

4.在等差数列?an? 中,若 d ? 0 ,则数列?an? 是递增数列;若 d ? 0 ,则数列?an? 是

递减数列;若 d ? 0 ,则数列?an? 是常数数列.
**基础训练** 一、选择题

1.等差数列{an}的前三项分别为 x ?1, x ?1, 2x ? 3 ,则这个数列的通项公式为 (



A、 an ? 2n ?1

B、 an ? 2n ?1

C、 an ? 2n ? 3

D、 an ? 2n ? 5

2.在 x 和 y ? x ? y ? 两数之间插入 n 个数,使它们与 x, y 组成等差数列,则该数列的公差

为( )

y? x
A.
n

y?x
B.
n ?1

y?x
C.
n ?1

y?x
D.
n? 2

3.等差数列{an}中,已知 a1

?

1 3

,

a2

? a5

? 4,an

? 33 ,则 n 为





A. 48

B. 49

C. 50

D. 51

4.已知无穷数列{ an }是各项均为正数的等差数列,则有 ( )

A. a4 ? a6 a6 a8

B. a4 ? a6 a6 a8

C. a4 ? a6 a6 a8

D. a4 ? a6 a6 a8

5.已知 lg a, lg b, lg c 与 lg a ? lg 2b, lg 2b ? lg 3c, lg 3c ? lg a 都是等差数列,则 a : b : c 等于

()
A、 9 : 6 : 4
二、填空题

B、 3 : 2 :1

C、 4 : 6 : 9

D、1: 2 : 3

6.在等差数列{an }中 a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7,则a9 =

.

7.已知数列 {an} 满足:

a1

? 14, an?1

?

an

?

2 3

(n ?

N*)

,则使

an

?

an?2

?

0

成立的

n

的值





8.已知

f (1) ? 2 ,

f (n ?1) ?

f (n) ?

1 2

(n

?

N

?

)

,则

f (101) ?



三、解答题

9.已知数列?an? 的通项公式是关于 n 的一次函数,且 a1 ? 2 , a17 ? 66 ,求 an .

10.在 ?ABC 中,角 A, B,C 成等差数列, sin2 A, sin2 B, sin2 C 也成等差数列,试判断这
个三角形的形状;

**能力提高**

11.已知等差数列的首项为 31,若此数列从第16 项开始小于1,则公差 d 的取值范围是( )

A.d ? ?2

B.? 15 ? d ? ?2 7

C.d ? ?2

D.? 15 ? d ? ?2 7

12.1934 年,东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆(sundaram)发现了“正方形筛子”:

4 7 10 13 16

7 12 17 22 27

10 17 24 31 38

13 22 31 40 49

16 27 38 49 60

(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点?每一列呢? (2)正方形筛子”中位于第 100 行的第 100 个数是多少?


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