广东省广州市执信中学2009-2010学年度高一级第二学期期中考试数学科试题答案

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20092009-2010 学年度第二学期

高一级数学科期中试题答案
一,选择题:BDAAB 二, 填空题: 11. BBDCA 12. -

1 ; 2

2 ; 3

13,y = sin( 2 x +

π
3

);

14. 1 < k < 3 ;

15.3;

三,解答题 16. 本题满分 12 分) ( (Ⅰ)若 a ⊥ b ,则 a b = (1, x ) (2 x + 3, x) = 1× (2 x + 3) + x ( x ) = 0 .………2 分 整理得 x 2 x 3 = 0 ,解得: x = 1 或 x = 3 .……………………………………5 分
2

(Ⅱ)若 a ‖ b ,则有 1× ( x ) x (2 x + 3) = 0 ,即 x (2 x + 4) = 0 . 解得: x = 0 或 x = 2 .

…………………7 分

………………………………………………8 分

当 x = 0 时, a = (1, 0) , b = (3, 0) ; ∴| a - b |=| (1, 0) (3, 0) |=| ( 2, 0) | =

(2) 2 + 02 = 2 .…………………10 分

当 x = 2 时, a = (1, 2) , b = (1, 2) ; ∴ | a - b |=| (1, 2) ( 1, 2) |=| (2, 4) | = 17. 本题满分 12 分) ( (Ⅰ) x + x 6 = 0 的解为 x1 = 3或x 2 = 2 ,
2

22 + (4) 2 = 2 5 . …………………12 分

sin α cos α tan α 2 = = ………………………4 分 2 2 2 2 sin α cos α 2 tan α 1 7

因为 α 是第三象限角,所以 tan α > 0 ,所以 tan α = 2 ………………………2 分

2 5 2 5 sin α sin α = sin α = =2 5 5 (Ⅱ)由已知: cos α ……………6 分 或 sin 2 α + cos 2 α = 1 cos α = 5 cos α = 5 5 5
因为 α 是第三象限角,所以 sin α < 0且 cos α < 0 ,

sin α =

2 5 5 , cos α = 5 5

……………7 分

cos(α +
因为 (α +

π
3

) = cos α cos

π
3

sin α sin

π
3

=

2 15 5 …………………10 分 10

π
3

)+(

π
6

α) =

π
2

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sin(

π

π π 2 15 5 π α ) = sin (α + ) = cos(α + ) = ………………………12 分 6 3 3 10 2

18. 本题满分 12 分) ( (Ⅰ)连接 D1O ,如图,∵ O , M 分别是 BD , B1 D1 的中点, BD1 D1 B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形,………………………2 分 ∴ D1O // BM .∵ D1O 平面 D1 AC , BM 平面 D1 AC , ∴ BM // 平面 D1 AC .………………………… 5 分 (Ⅱ)连接 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2 , BB1 = ∴ B1 D1 = 2 2 , OB1 = 2 , D1O = 2 , 则 OB1 + D1O = B1 D1 ,∴ OB1 ⊥ D1O .∴ BM ⊥ OB1 ……7 分
2 2 2

2,

∵在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, AC ⊥ BD , AC ⊥ D1 D , ∴ AC ⊥ 平面 BDD1 B1 ,………………………9 分 又 BM 平面 BDD1 B1 , ∴ AC ⊥ BM 又 AC ∩ OB1 = O ,∴ BM ⊥ 平面 AB1C . …………………………………………12 分 19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ f ( x ) = a b = sin 2 x cos + cos 2 x sin = sin( 2 x + ) ………………… 2 分

由题可知: sin( 2 × π + ) = 0 , ……………………………………… 3 分

3 8

3 ∴ π + = kπ (k ∈ Z ) , 4

…………………………………………4 分 ………………………………………… 5 分

∵ 0 < < π ,∴ =

π

4

(Ⅱ)列表 2 分,图像 2 分 (Ⅲ)单调增区间: [0,

π

8 π 5 单调减区间: [ , π ] 8 8

], [

5π ,π ] 8

………………………………………… 9 分 ………………………10 分

………………………………………… 11 分 ………………………………………… 12 分 联立方程得圆心坐标 (6,0) …… 1 分

函数的最大值是:1 函数的最小值是: 1 20. (本题满分 14 分)

(Ⅰ)AB 的中垂线方程为 y = x 4 ………… 1 分

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故圆的方程为 ( x 6) + y = 4 ………………………………………… 3 分
2 2

(Ⅱ)方法一 由直线 y = kx + 2 与圆相交,得圆心 C 到直线的距离小于半径



kx + 2 1+ k
2

<2

3 < k < 0 ………………………………………… 7 分 4

方法二: 方法二:联立方程组

12 4k y = kx + 2 x1 + x 2 = 2 2 (1 + k ) x + (4k 12) x + 36 = 0 1+ k 2 2 2 ( x 6) + y = 4 > 0
由 > 0 8k 6k > 0
2

3 <k<0 4

(Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , OM + ON = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) , PC = (6,2) 因为 OM + ON 与 PC 共线,所以

6( y1 + y 2 ) + 2( x1 + x 2 ) = 0 (3k + 1)( x1 + x 2 ) + 12 = 0 k =
由第(Ⅱ)问可知,直线不存在. 21. (本题满分 13 分) 证明:(I) 依题意,f (sin 2 ) = f (1)≥0,f (2 + cos π) = f (1)≤0,

3 4

π

∴ f (1) = 0 1 + b + c = 0 b + c = -1,…………………………… 3 分 (II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*) 2 ∵ f (2 + cos β )≤0 (2 + cos β ) -(c + 1) (2 + cos β ) + c≤0 (1 + cos β ) [c-(2 + cos β )]≥0,对任意 β 成立. ∵ 1 + cos β ≥0 c≥2 + cos β , ∴ c≥(2 + cos β )max = 3. (III) 由 (*) 得:f (sin α ) = sin 2α-(c + 1) sin α + c, 设 t = sin α ,则 g(t) = f (sin α ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1, 这是一开口向上的抛物线,对称轴为 t = 3+1 由 (II) 知:t≥ 2 = 2, ∴ ∴ ∴ ∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数. g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8, c=3 b = -c-1 = -4. c+1 2 ,

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