广东省顺德市勒流中学2014-2015学年高一第一学期第2次段考数学试题


2014~2015 学年度第一学期第 2 次段考 高一数学试题卷
命题人: 审题人: )

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x2 ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? (
A.

{2}

B.

{?2}

C. )

{?2, 2}

D. ?

2、函数 y ? ln( x ? 2) 的定义域是( A. (??, ??) B. (??, 2)

C. (0, 2)

D. (2, ??) ). y

3、在同一坐标系中,函数 y ? 2? x 与 y ? log 2 x 的图象是( y y y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

4、若 log2 a ? log2 b ? 0 ,则( A.

) C.

0 ? b ? a ?1

B. 0 ? a ? b ? 1

b ? a ?1
) . D.5

D. a ? b ? 1

5、已知函数 f ( x) ? ? A.1

? x ? 1, x ? 0
2 ?x , x ? 0

,则 f [ f (?2)] 的值为( C.4

B.2

x x 6、设 f ( x ) ? ( ) ? x ? 1, 用二分法求方程 ( ) ? x ? 1 ? 0 在 (1, 3) 内近似解的过程中,

1 2

1 2

f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (2) ? 0, f (3) ? 0, 则方程的根落在区间 (
A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (2, 3) D. (1.5,3)

)

7、下列函数中,是偶函数且在区间 (0, ? ?) 上单调递减的函数是( A. y ? x
1 2

) D. y ? x ? x

B. y ? ? | x |

C.

y ? log 1 x
3

2

8、下列各角中与 45 角终边相同的角是( A.- 45
?

?

) .
?

B. 225
x

?

C.- 315

D. 315 )

?

9、函数 y ? a 在上的最大值与最小值之和为 3,则 a =(

A

1 2

B

1 4

C

2

D

4


10、已知奇函数 f ( x) 在 x ? 0 时的图象如图所示,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 (

A. (1, 2) C. (?1, 1)

B. ( ?2, ?1) D. (?2, ?1) ? (1, 2)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

3 ,且 ? 是第二象限的角,则 cos ? 的值为______________; 5 12、已知函数 f ( x) ? x2 ? (m ? 2) x ? 3 是偶函数,则 m ? ;
11、已知 sin ? ? 13、二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在区间上的值域 ;

?log2 x, x ? 0 ? 14、若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 f (a) ? 0 ,则实数 a 的值是________ 1 ? ? 2
三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15、求值(每小题 6 分,共 12 分) (1) 81 ? (4 ) ? ( 8) ? 16
1 4 3 4 2 4 3 0.25



?2 0 (2) lg 5 ? lg 2 ? (? ) ? ( 2 ? 1) ? log 2 8

1 3

16、计算(每小题 6 分,共 12 分)

(1)已知角 ? 的终边过点 P(?1, 2) ,求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值; (2) sin
25 31 17 ? ? cos ? ? tan(? ? ) 6 3 4

17、 (本题满分 14 分如图是一个二次函数 y ? f ( x) 的图像 (1)写出这个二次函数的零点,并求这个二次函数的解 析式; (2)设函数 g ( x ) ?

y 4

f ( x) ? 2 x ,判断函数 g ( x) 在区间 x

-3

-1

0

1

x

(0,??) 上的单调性,并用单调性定义给予证明。

18 、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,函数

f ( x) ? x2 ? 2 x.
(1)试求函数 f ( x ) 的解析式; (2)试求函数 f ( x ) 在 x ? [0, 3] 上的值域.

19、(本题满分 14 分)为方便游客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车 的费用是每日 115 元. 根据经验, 若每辆自行车的日租金不超过 6 元, 则自行车可以全部租出; 若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.设每辆自行车的日租金 x (元)

(3 ? x ? 20, x ? N ? ) ,用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入
减去管理费用后的所得) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

题号 答案

1 B

2 D

3 A

4 B

5 D

6 A

7 B

8 C

9 C

10 D 20 、 (本题满分

14 分)已知函数 f ( x) ? log 1

1 ? kx 为奇函数. 2 x ?1

(I)求常数 k 的值; (Ⅱ)若 a ? b ? 1 ,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小;
x (Ⅲ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m ,且 g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点,求实数 m 的

1 2

取值范围.

高一数学参考答案

一、选择题:

二、填空题: 11、 ?

4 5

12、 -2

13、

??1, 3 ?
1 4 4

14、-1 或 1

15、 (1)原式= (3 ) ? ((2 ) ) ? ((2) ) ? (2 ) ----------------------------4 分 = 3 ? 2 ? 2 ? 2 ---------------------------5 分
3 2

1 4 4

3 2 4 2

3 4 2 3

=13-----------------------6 分 (2)原式= lg(5 ? 2) ? 32 ? 1 ? 3lg 2 ---------------------------10 分 =1-9+1+3----------------------------11 分 =-4-----------------------------------12 分

16、 (1)因为角 ? 的终边过点 P(?1, 2) 所以 P 到原点的距离

r ? (?1) 2 ? 2 2 ? 5 -------------------------2 分

? sin ? ?
tan ??

y 2 2 ? ? 5 r 5 5

cos ? ?

x ?1 5 ? ?? r 5 5

y 2 ? ? ?2 ----------------------------------6 分 x ?1

(2)原式= sin(4? ? = sin

?

?

) ? cos(10? ? ) ? tan(?4? ? ) ------------------------9 分 6 3 4

?

?

6 3 4 1 1 = ? ? 1 ? 0 -----------------------12 分 2 2

? cos

?

? tan

?

------------------------11 分

17、解: (1)函数的两个零点是-3、1-----------------2 分 设 f ( x) ? a( x ? 3)( x ? 1) -------------------3 分

时y ? 4 则有 由条件知 x ? ?1
a(?1 ? 3)(?1 ?1) ? 4
? a ? ?1

所以 f ( x) ? ?1( x ? 3)( x ?1) ? ? x2 ? 2 x ? 3 -----------------6 分 (2) g ( x ) ? ? x ?

3 ------------------------------7 分 x

设 ?x1 , x2 ? (0, ??)且x1 ? x2 则---------------------8 分

g ( x1 ) ? g ( x 2) ? ? x 1 ?

3 3 ? (? x ? ) --------------------------9 分 2 x1 x2 3 3 ? x1 x2 3( x2 ? x1 ) x1 x2 3 ) ------------------------11 分 x1 x2 3 ) ? 0 ----------12 分 x1 x2

= ( x2 ? x1 ) ?

= ( x2 ? x1 ) ?

= ( x2 ? x1 )(1 ?

? x1 , x2 ? (0, ??)且x1 ? x2 ,所以 ( x2 ? x1 ) ? 0, (1 ?
所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0即f ( x1 ) ? g ( x2 )

因此 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减----------------------14 分

18、解: (1)令 x<0,则﹣x>0, ∵x>0时,f(x)=x ﹣2x, ∴f(﹣x)=(﹣x) ﹣2(﹣x)=x +2x, 又 f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x)=﹣x ﹣2x. 当 x=0时,f(x)=x ﹣2x=0,
2 2 2 2 2

∴f(x)=
2

..............7分

(2)x∈时,f(x)=x ﹣2x, ∵对称轴方程为 x=1,抛物线开口向上, 2 ∴f(x)=x ﹣2x 在上的最小值和最大值分别为: f (x) (1) =1﹣2=﹣1, f (x) (3) =9﹣6=3. ∴函数 f (x) 在 x∈上的值域为.......14 min=f max=f 分

19、解: (1)当 3 ? x ? 6, x ? N * 时, y ? 50x ? 115 ………3 分 当 6 ? x ? 20, x ? N * 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)]x ? 115………6 分 故

(3 ? x ? 6, x ? N *) ?50x ? 115 y ? f ( x) ? ? ………7 分 2 ?? 3x ? 68x ? 115(6 ? x ? 20, x ? N *) (3 ? x ? 6) , (2)对于 f ( x) ? 50x ? 115 ∵ f ( x) 在 [3,6] 递增, ∴当 x ? 6 时, y max ? 185(元) ………9 分 34 2 811 2 对于 f ( x) ? ?3 x ? 68 x ? 115 ? ?3( x ? 3 ) ? 3 (6 ? x ? 20) 34 34 ∵ f ( x) 在 [6, ] 递增,在 [ ,20 ] 递减 3 3 ? 又 x ? N ,且 f (11) ? f (12) ………12 分
当 x ? 11 时, ymax ? 270 (元)

………13 分 ? 270 ? 185 ,∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多. ………14 分

20. 解: (I)∵ f ( x) ? log 1 ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , 即 log 1
2

1 ? kx 为奇函数 2 x ?1

………………………………………………………………(1 分) ………………………………………(2 分)

1 ? kx 1 ? kx x ?1 ? ? log 1 ? log 1 ? x ?1 2 x ?1 2 1 ? kx

∴ ∴

1 ? kx x ?1 ? ,即 1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2 ,整理得 k 2 ? 1 . ………………………(3 分) ? x ? 1 1 ? kx

k ? ?1 ( k ? 1 使 f ( x) 无意义而舍去)

…………………………………(4 分)

(Ⅱ) f ( x) ? log 1

1? x . 2 x ?1
……………………………………(5 分)

1? a 1? a 1? b f (a) ? f (b) ? log 1 ? log 1 ? log 1 a ? 1 1? b a ? 1 b ? 1 2 2 2 b ?1
? log 1
2

(1 ? a)(b ? 1) ab ? a ? b ? 1 ………………………………………(6 分) ? log 1 (a ? 1)(1 ? b) 2 ab ? a ? b ? 1

当 a ? b ? 1 时, ab ? a ? b ? 1 ? ab ? a ? b ? 1 ? 0 , ……………………………………(7 分) 所以 0 ?
ab ? a ? b ? 1 ab ? a ? b ? 1 ? log 1 1 ? 0 , ………………………(8 分) ? 1 ,从而 log 1 ab ? a ? b ? 1 2 ab ? a ? b ? 1 2

即 f (a) ? f (b) ? 0 . 所以 f (a) ? f (b) . ………………………………………………(9 分)

(Ⅲ)由(2)知, f ( x ) 在 (1, ??) 递增, …………………………………………(10 分)
x 所以 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m 在 ?3, 4? 递增.

1 2

…………………………………(11 分)

∵ g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点, ∴ g (3) ? log 1
2

1?1 1 3 9 ?( ) ?m ? ? ?m ? 0 3 ?1 2 8

…………………………………(12 分)

或 g (4) ? log 1

1? 4 1 4 5 1 ? ( ) ? m ? log 1 ? ? m ? 0 , 2 16 2 4 ?1 2 3

……………………(13 分)

∴ m?

9 1 5 或m ? ? log 1 . 8 16 2 3

……………………………………………(14 分)


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