2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示_图文

2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示

向量a与b的夹角是90°,则称向量a与b 垂直,记作a⊥b. 思考: 互相垂直的两个向量能否作为平 面内所有向量的一组基底?
b a

如图,向量i、j是两个互相垂直的单位向量,且 |OA|=3,|OB|=2 ,以向量i、j为基底,向量a如何 表示?

a=3i+2j

B a j
O i

P

A

λ2 a2

a

把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ 1a 1

F1 G

F2

正交分解

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基 底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?

4

3

2

( 2) P 3,

? 2j
j
-2

1

O i
-1 -2

??? ? ? ? OP ? 3i ? 2 j ? (3,2)

? 3i

2

4

6

-3

探索:用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并写出对应的坐标. ? ? ? y ??? ? ? ? b ? ?2i ? 3 j 5 B ? AB ? 2i ? 3 j 4 b ? ( ?2, 3) ? ? (2,3) a 3
2 1 ? -4 -3 ? ? ? c ? ?2i ? ? ?3? j -2 -1
O

A 2 3 4
x

?1 i -1

j

? ( ?2, ?3)

? c

-2

? ? d

? ? ? ? d ? 2i ? ? ?3? j ? (2, ?3)

y

yj
j O i

a

分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.

任作一个向量a, 由平面向量基本定理知,有且 x xi 只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j
把(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标, y叫做a在y轴上的坐标

a = ( x, y )
y yj j O i a

i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )

xi

x

y

向量a、b有什么关系? a=b

yj yj j O i

a

b

能说出向量b的坐标吗?

b=( x,y )
xi xi x

相等的向量坐标相同

y

a A (x,y)

如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位 置由a唯一确定。

y
j O i

设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标; x
反过来,点A的坐标(x,y)也就是 向量OA的坐标。

x

因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。

练习:在同一直角坐标系内以0为起点画出 下列向量.

? (1)a ? (1, 2)
y

? (2)b ? (?1, 2)
B(?1, 2)

解:

o

. A(1, 2) ? a x

y

.

? b

o

x

平面向量的坐标表示 注意: ? (1)与 a 相等的向量的坐标均为(x, y)

y

相等向量的坐标是相同的但起点、 j ? 终点的坐标可以不同 ? ? O x (3)两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) i ? ? 相等的充要条件:a ? b ? x ? x 且y ? y 2 1 2 ??? ? 1 ? (4)如图以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置 ? ? 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 (5)区别点的坐标和向量坐标 点的坐标是反映点的位置,它由由点的位置决定。向量的 坐标反映的是向量的大小和方向,其仅仅由大小和方向决 定,与绝对位置无关

? ? a

? a
A(x, y)

小结 平面向量的正交分解

平面向量的坐标表示


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