江西省宜春市上高二中2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 理

2017 届高二年级第一次月考数学(理科)试卷
一、选择题(10×5 分) 1.下列命题中,正确的是( ) A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 2. 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图 ?A ' B' C' 的面积为( A.



6 2 3 2 3 2 6 2 a a a a B. C. D. 8 4 8 16 3. 若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 ,与 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 的值
为( A. ? 3 ) B.1 C.0 或 ?

4、线 a、b 和平面 ? ,下面推论错误的是

3 2

D.1 或 ? 3

a ??? ??a ?b b ? ?? a ?b? C. ? ? a // ?或a ? ? b ? ??
A. A.2 B.1

B.

a ? ?? ?? b ?? a // b ? a // ? ? D. ? ? a // b b ? ??
) D. 2 3

5.圆 x 2 ? y 2 ? 4 截直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 所得的弦长是( C. 3 6.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的表面积 为( ) A. 6 ? 5 B. 6 ? 2 5 C. 8 ? 5 D. 8 ? 2 5

7.如右图,能推断这个几何体可能是三棱台的是( ) A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1Bl=1,AB=2,BlCl=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.AlBl=1,AB=2,B1Cl=1.5,BC=3,AlCl=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1 8. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N
2 2

两点,若 | MN |? 2 3 ,则 k 的取值范围是( A. [ ?

) D. [ ?

3 , 0] 4

B. [ ?

3 3 , ] 3 3

C. [? 3, 3]

2 , 0] 3

9、如下图,一个封闭的立方体,它的六个表面各标有 A,B,C,D,E,F 这六个字母之一,现放置 成如图的三种不同的位置,则字母 A,B,C 对面的字母分别为( )
-1-

A. D, E, F B. F, D, E C. E, F, D D. E, D, F 10.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,从两个角度观察得到的图形如图,则搭成该 几何体最少需要的小正方体的块数是( )块? A.8 B.7 C.6 D.5 二、填空题(5×5 分)
y 11.若实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 则 的最大值是 x



12.右图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方 体后,有下列命题: ①点 H 与点 C 重合; ②点 D 与点 M 与点 R 重合; ③点 B 与点 Q 重合; ④点 A 与点 S 重合. 其中正确命题的序号是__ 两组判断:第一组①a⊥b ②a∥b; . (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 第二组③c⊥d ④c∥d,分别从两组中各选一个论断, . 13.已知 a、b、c、d 是四条互不重合的直线,且 c、d 分别为 a、b 在平面α 上的射影,给出 使一个作条件,另一个作结论,写出一个正确的命题

x y 14.已知直线 l: ? ? 1 , M 是 l 上一动点,过 M 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为 A 、 4 3
B ,则在 A 、 B 连线上,且满足 AP ? 2 PB 的点 P 的轨迹方程是____________________.
15.正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动,并 且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为 .

三、解答题 16.(12 分)求与 x 轴切于点 (5,0) ,并且在 y 轴上截得弦长为 10 的圆的方程.

-2-

CD ? AE PD PA ? 平面 ABCD ABE P ?? ? ABCD AB ? BC AB AD , AC ? CD, ?ABC ? 60?

17.(12 分).在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DA ? DC ? 4, 与 B1C 所成角的余弦值.

DD1 ? 3 ,求异面直线 A1 B

18.(12 分)已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 (1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

19. (12 分) 如图所示,在棱长为 2cm 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,A1B1 的中点是 P,过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面(写出作法并证明截面形状) ,并求该截面的面积。

20.(13 分)如图,在四棱锥 .且 (1)证明: (2)证明: ,E 是 PC 的中点. ; ;

中,



-3-

21. (14 分)已知直线 l :y=k(x+2 2 )与圆 O:x +y =4 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,三 角形 ABO 的面积为 S. (1)试将 S 表示成 k 的函数,并求出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值.
2 2

-4-

2017 届高二年级第一次月考数学(理科)试卷答题卡 一、选择题(10×5=50 分) 题号 答案 二、填空题(5×5=25 分) 11、 14、 三、解答题 16、 (12 分) 12、 15、 13、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17、 (12 分)

18、 (12 分)

-5-

19、 (12 分)

20、 (13 分)

-6-

21、 (14 分)

-7-

-8-

AE ? ∵ A? C? C , P? A ∴ ? P PAC ABC A CD C ? D C A ?B D 6 ? A 0D E °B C

A? C

A

2017 届高二年级第一次月考数学(理科)试卷答案 1-5 CDDDA 11. 3 2-10 DCBDC 12. ②④
2

13. 若 a∥b,则 c∥d
2

14.3x+2y=4

15.

2+ 6

16.答案: ( x ? 5) ? ( y ? 5 2 ) ? 50 17、连接 A1 D , ? A1 D // B1C , ? ?BA1 D 为异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角. 连接 BD ,在△ A1 DB 中, A1 B ? A1 D ? 5, 则 cos ?BA1 D ?
2 2 2

BD ? 4 2 ,
12 分

A1 B ? A1 D ? BD 25 ? 25 ? 32 9 ? ? 2 ? A1 B ? A1 D 2?5?5 25 18.解:(1)证明:由直线 l 的方程可得, y ? 3 ? k ( x ? 4) ,则直线 l 恒通过点

(4,3) ,把 (4,3) 代入圆 C 的方程,得 (4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? 4 ,所以点 (4,3) 在圆的内部, 又因为直线 l 恒过点 (4,3) , 所以直线 l 与圆 C 总相交. (2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 | 3k ? 4 ? 4k ? 3 | | k ? 1 | d? ? 5 32 ? 4 2
L 2 L 2 2 2 2 L 2 ∴当 k ? ?1 时, ( ) min ? 4 ? Lmin ? 4 2
12 分 19. 解:取 AB、C1D1 的中点 M、N,连结 A1M、MC、CN、NA1。由于 A1 N PC1 MC ,所以四边 形 A1MCN 是平行四边形。 A1 N // PC1,A1M // BP,A1 N ? A1M ? A1,C1P ? PB ? P 又 ∵ ,
2 又设弦长为 L ,则 ( ) ? d ? r ,即 ( ) ? 4 ?

(k ? 1) 2 . 25

//

//

∴平面 A1MCN // 平面 PBC1 因此,过 A1 点作与截面 PBC1 平行的截面是平行四边形。 又连结 MN,作 A1 H ? MN 于 H,由于 A1M ? A1 N ? 5,MN ? 2 2 ,则 AH ? 3 。

?S?A1MN ?


1 ?2 2 ? 3 ? 6 2 S平行四边形A1MCN ? 2S?A1MN ? 2 6 (cm 2 )
. , . , ,可得 , 平面 .

12 分

20. (1) 而 平面

(Ⅱ)证明:由

-9-

PD AE ABE PA E AB ? ? ? ? PD AB AD AD ∵ PC ABCD ? ? , AE PD ?C ?A ∴ PCD AC AE ? CD PA CD PC

. 是 而 又 21. (14 分) [解析]:(1)? l : kx ? y ? 2 2 k ? 0,? d O ?l ?
?S ?
2 2k k 2 ?1 ? AB ? 2 4 ? ( 2 2k k 2 ?1 )2 ? 4 1? k 2 1? k 2

的中点, ,且 , 在底面 ,综上得 平面 底面

. ,所以 . 内的射影是 平面 . , , . 平面 .

由(1)知,

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1 AB ? d O ?l ? ,定义域: 0 ? d O ?l ? 2 ? ?1 ? k ? 1且k ? 0 . 2 1? k 2
? t 2 ? 3t ? 2 3 2 1 3 1 ? 4 2 ? 1 ? ? 2 ? 4 2 ? 2( ? ) 2 ? , t t t t 4 8

(2)设 k 2 ?1 ? t (t ? 1), 则 k 2 (1 ? k 2 ) ? (t ?1)(2 ? t ) ? ? t 2 ? 3t ? 2
?S ? 4 2 ?

1 3 4 3 1 ?当 ? , 即t ? 时,k ? ? , S max ? 4 2 ? ? 2 ,∴ S 的最大值为 2 ,取得最大值时 t 4 3 3 2 2

k= ?

3. 3

- 10 -


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