2013年广州市一模数学试题(文科,含答案)

试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。

2013.3

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:线性回归方程 y ? bx ? a 中系数计算公式

n
?

(

xi

?

x)( yi

?

y)

b ? i?1

,a ? y ? bx ,其中 x, y 表示样本均值.

n
?

( xi

?

x)2

i ?1

锥体的体积公式是V ? 1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知 i 是虚数单位,则复数1 ? 2 i 的虚部为

A. 2

B.1

C. ?1

D. ?2

2.设全集U ? ?1,2,3,4,5,6?,集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?2,4? ,则

A.U ? A B

B.U ? ??U A? B

C.U ? A ??U B?

D.U ? ??U A? ??U B?

? ? 3.直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? 1 2 ? y2 ? 1的位置关系是

A.相离 C.直线与圆相交且过圆心

B.相切 D.直线与圆相交但不过圆心

1

? ? ? ? 4.若函数 y ? f x 是函数 y ? 2x 的反函数,则 f 2 的值是

A. 4

B. 2

C.1

D. 0

? ? ? ? ? ? 5.已知平面向量 a ? ?2,m , b ? 1, 3 ,且 a ? b ? b ,则实数 m 的值为

A. ?2 3

B. 2 3

C. 4 3

D. 6 3

?x ? 2 y ? 1,

6.已知变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

1,

则z

?

x

?

2y 的最大值为

? ?

y

?

1

?

0.

2 1
正视图

1 侧视图

A. ?3

B. 0

C.1

7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是

A. 2

B. 1

C. 2 3

D. 3 D. 1
3

2
2 俯视图
图1

? ? ? ? 8. 已知函数 f x ? 2 sin 2x ,为了得到函数 g x ? sin 2x ? cos 2x 的图象,

只要将 y ? f ? x? 的图象

A.向右平移 ? 个单位长度 4

B.向左平移 ? 个单位长度 4

C.向右平移 ? 个单位长度 8

D.向左平移 ? 个单位长度 8

9.“ m ? 2 ”是“一元二次不等式 x2 ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.设函数 f ? ?x 的定义域为 D ,如果 ?x ? D,?y ? D ,使 f ? x? ? f ? y? ? C(C 2

? ? 为常数 )成立,则称函数 f x 在 D 上的均值为 C . 给出下列四个函数:① y ? x3 ;

②y

?

? ? ?

1 2

? ? ?

x

;③

y

?

ln

x ;④ y

?

2 sin

x

? 1,

则满足在其定义域上均值为1的函

数的个数是

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

(一)必做题(11~13 题)

11.函数 f ? x? ? 2 ? x ? ln ? x ? ?1 的定义域是

2

12.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资
料:
x 2 3 456 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

根据上表可得回归方程 y? ? 1.23x ? a? ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年的维

修费用约

万元(结果保留两位小数).

13.已知经过同一点的 n(n ?N * ,n ? 3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个

平面将空间分成 f ?n? 个部分,则 f ?3? ?

, f ?n? ?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,定点

A???

2,

3 2

?

? ??

,点

B

在直线

?

cos?

?

3? sin? ? 0 上运动,当线段 AB 最
B

短时,点 B 的极坐标为



C

D

15.(几何证明选讲选做题)

O

如图 2, AB 是 O 的直径, BC 是 O 的切线, AC 与 O 交于点 D ,

若 BC ? 3 , AD ? 16 ,则 AB 的长为



5

A 图2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知函数 f (x) ? Asin(?x ? ? ) (其中 x ?R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小 4
正周期为 8 .

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)若函数 f (x) 图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2, 4 ,O 为坐标原点,求cos ? POQ
的值.

3

17.(本小题满分 12 分) 沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收 获时,该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得
? ? ? ? 的所有数据按照区间 40,45?? , 45,50?? , 50,55?? , 55,60?? 进行分组,得到频率分布直 ? ? 方图如图 3.已知样本中产量在区间 45,50?? 上的果树株数是产量在区间 50,60?? 上的果

树株数的 4 倍. 3

(1)求 a , b 的值;

? ? (2)从样本中产量在区间 50,60?? 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 55,60??

上的果树至少有一株被抽中的概率.

频率

组距

a

0.06 b

0.02

O 40 45 50 55 60 产量/kg 图3

18.(本小题满分 14 分)

如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60? ,

AB ? 2AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.

P

(1)求证: PA // 平面 BMD ;

M

(2)求证: AD ? PB ;
D C
(3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD的距离.

A

B

图4

4

19.(本小题满分 14 分)
? ? ? ? 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 , Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn n ? 2 ,

? ? Tn 是数列

log 2

an

的前 n 项和.

? ? (1)求数列 an 的通项公式;

(2)求Tn ;

? (3)求满足 ?1
?

?

1 T2

? ?
?

? ???1

?

1 T3

? ???

?

? ? ???1 ?

1? Tn ???

?

1010 的最大正整数 n 的值. 2013

20.(本小题满分 14 分)
? ? 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1(?2, 0) ,F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭圆
C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的 切线分别为 l1,l2 , 且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个(不
必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

已知 n

?N * ,设函数

fn(x) ? 1?

x?

x2 2

?

x3 3

?

? x2n?1 , x ?R. 2n ?1

(1)求函数 y ? f2 (x) ?kx(k ?R )的单调区间;

(2)是否存在整数 t ,对于任意 n ?N * ,关于 x 的方程 fn (x) ? 0 在区间 ??t,t ? 1?? 上有唯 一实数解,若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由.

5

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C A D B C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

11. ?1,2?

12.12.38

13. 8 , n2 ? n ? 2

14.

???1,116?

? ? ?

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分.

15. 4



第14题的正确答案可以是: ???1,116?

? 2k? ??(k ?

?Z ).

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识,考查化归与转化的 数学思想方法,以及运算求解能力)

(1)解:∵ f (x) 的最大值为 2,且 A ? 0 ,

∴ A?2. ∵ f (x) 的最小正周期为 8 ,

……………1 分

∴T ? 2? ? 8 ,得? ? ? .

?

4

∴ f (x) ? 2sin(? x ? ? ) . 44

(2)解法

1:∵

f

(2)

?

2

sin

? ??

? 2

?

? 4

? ??

?

2 cos ? 4

?

2,

……………3 分 ……………4 分 ……………5 分

6

f

(4)

?

2 sin

??? ?

?

? 4

? ??

?

?2 sin

? 4

?

?

2,

……………6 分

∴ P(2, 2),Q(4, ? 2) .

……………7 分

∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

……………10 分

? ? ? ? ? ? 2

2

2

OP 2 ? OQ 2 ? PQ 2

∴ cos?POQ ?

?

6 ?32 ?23

? 3 .……12 分

2 OP OQ

2 6?3 2

3

解法

2:∵

f

(2)

?

2 sin

? ??

? 2

?

? 4

? ??

?

2 cos ? 4

?

2,

……………5 分

f

(4)

?

2 sin

? ??

?

?

? 4

? ??

?

?2 sin

? 4

?

?

2,

……………6 分

∴ P(2, 2),Q(4, ? 2) .

……………8 分

∴ OP ? (2, 2),OQ ? (4, ? 2) .

……………10 分

∴ cos ?POQ ? cos ? OP,OQ ?? OP ? OQ ? 6 ? 3 . ……………12 分 OP OQ 6 ? 3 2 3

解法 3:



f (2)

?

2

sin

? ??

? 2

?

? 4

? ??

?

2

cos

? 4

?

2 ,……………5 分

y P

f

(4)

?

2 sin

??? ?

?

? 4

? ??

?

?2 sin

? 4

?

?

2 ,……………6 分

O

Q1

P1

x

Q

∴ P(2, 2),Q(4, ? 2) .

……………7 分

作 PP1 ? x 轴, QQ1 ? x 轴,垂足分别为 P1,Q1 , ∴ OP ? 6, OP1 ? 2, PP1 ? 2, OQ ? 3 2 , OQ1 ? 4, QQ1 ? 2 . ………8 分 设 ?POP1 ? ? ,?QOQ1 ? ? ,

则sin ? ? 3 ,cos ? ? 6 ,sin ? ? 1 ,cos ? ? 2 2 . ……………10 分

3

3

3

3

∴ cos?POQ ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 3 .………12 分 3

7

17.(本小题满分12分) (本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力 和应用意识,以及或然与必然的数学思想)
? (1)解:样本中产量在区间 45,50?? 上的果树有 a ? 5 ? 20 ? 100a(株),…………1 分
样本中产量在区间 ?50,60?? 上的果树有 ?b ? 0.02? ? 5 ? 20 ? 100 ?b ? 0.02?(株),
……………2 分

? ? ? ? 依题意,有100a ? 4 ? 100 b ? 0.02 ,即 a ? 4 b ? 0.02 .①…………3 分

3

3

? ? 根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1, ② …………4 分

解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 .

……………6 分

? (2)解:样本中产量在区间 50,55?? 上的果树有 0.04 ? 5 ? 20 ? 4株,分别记为

A1, A2, A3 , A4 ,

……………… 7 分

? 产量在区间 55,60?? 上的果树有 0.02 ? 5 ? 20 ? 2株,分别记为 B1,B2 . … 8 分

? ? ? ? ? ? 从这 6 株果树中随机抽取两株共有 15 种情况: A1,A2 , A1,A3 , A1,A4

? A1,B1? ,? A1,B2 ? ,? A2,A3 ? ,? A2,A4 ? ,? A2,B1? ,? A2,B2 ? ,? A3,A4 ? ,? A3,B1 ? ,

? A3,B2 ? , ? A4,B1 ? ,? A4,B2 ? ,?B1,B2 ? .

……………10 分

? ? ? ? ? 其中产量在 55,60?? 上的果树至少有一株共有 9 种情况: A1,B1 , A1,B2 ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A2,B1 , A2,B2 , A3,B1 , A3,B2 , A4,B1 , A4,B2 , B1,B2 . ………11 分

? ? 记“从样本中产量在区间 50,60?? 上的果树随机抽取两株,产量在区间 55,60?? 上的

果树至少有一株被抽中”为事件 M ,则 P? M ? ? 9 ? 3 .
15 5

……………12 分

18.(本小题满分14分)

(本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识,考查数形结合、化归与转化

的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO ,

∵ ABCD 是平行四边形,

∴ O 是 AC 的中点.

……………1 分

8

∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO // AP .

……………2 分

∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD ,

∴ PA // 平面 BMD .

……………3 分

(2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ?平面 ABCD ,

∴ PD ? AD . (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ……………4 分

∵ ?BAD ? ?BCD ? 60? , AB ? 2AD ,

P

∴ BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2AB ? AD ? cos 60?

M

? AB2 ? AD2 ? 2AD2

? AB2 ? AD2 .

……………5 分

D

N

C

O

∴ AB2 ? AD2 ?BD2 .

A

B

∴ AD ? BD .

……………6 分

∵ PD BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD ,

∴ AD ? 平面 PBD .

……………7 分

∵ PB ?平面 PBD ,

∴ AD ? PB .

……………8 分

(3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN // PD 且 MN ? 1 PD . 2
∵ PD ?平面 ABCD, PD ? 2 ,

∴ MN ? 平面 ABCD, MN ? 1.

……………9 分

在 Rt△ PCD 中,CD ? AB ? PD ? 2 ,DM ? 1 PC ? 1 PD2 ? CD2 ? 2 ,

2

2

∵ BC // AD , AD ? PB ,

9

∴ BC ? PB .

在 Rt△ PBC 中, BM ? 1 PC ? 2 . 2
在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD .

在 Rt△ ABD中, BD ? AB ? sin 60? ? 2 ? 3 ? 3 . 2

在 Rt△ MOB 中, MO ? BM 2 ? OB2 ? 5 . 2

∴ SΔABD

?

1? 2

AD BD

?

3 2

, SΔMBD

?

1 ? BD MO 2

?

15 .…………11 分 4

设点 A 到平面 BMD 的距离为 h ,

∵VM ? ABD ? VA ? MBD ,(苏元高考吧:www.gaokao8.net)

∴ 1 MN 3

1

S ΔABD

?

h 3

S ΔMBD .

……………12 分

即 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? h ? 15 , 解得 h ? 2 5 .

3

23

4

5

……………13 分

∴点 A 到平面 BMD 的距离为 2 5 . 5

……………14 分

19.(本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的 数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)

(1) 解:∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn ,

? ? ∴ Sn?1 ? Sn ? 4 Sn ? Sn?1 .

……………1 分

∴ an?1 ? 4an .

……………2 分

∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 ,

∴ a2 ? 4a1 .

……………3 分

10

? ? ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列.

∴ an ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1 .

(2)

解:由(1)得:log 2

an

?

log 2

22n ?1

?

2n ? 1,

∴ Tn

?

log 2

a1

?

log 2

a2

?

?

log 2

an

? 1 ? 3 ? ? ?2n ? 1?

……………4 分 ……………5 分
……………6 分

n ?1 ? 2n ? 1?
? 2

……………7 分

? n2 .

(3)解:

? ?1 ? ?

1 ??

T2

? ?

???1

?

1? T3 ??? ?

? 1? ? ???1 ? Tn ???

? 1 ?? 1 ?

? 1?

?

?1 ?

?

22

? ?1 ??

?

32

? ?

?

?

?1 ?

?

n2

? ?

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1

?

?

?

?

22

32

42

n2 ? 1 ?
n2

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ?n ? 1? ?n ? 1?
? 22 ? 32 ? 42 ? ? n2

……………8 分 ……………9 分 ……………10 分

? n ? 1. 2n

……………11 分

令 n ? 1 ? 1010 ,解得: n ? 287 4 .

2n 2013

7

……………13 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 .

……………14 分

20.(本小题满分14分)

(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化

归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

? ? (1)

解法

1:设椭圆 C1 的方程为

x2 a2

?

y2 b2

?1

a

?

b

?

0

,

依题意:

? 22 32

? ?

a2

?

b2

? 1, 解得:

??a2 ? b2 ? 4.

??a2 ? 16, ???b2 ? 12.

……………2 分

11



椭圆

C1

的方程为

x2 16

?

y2 12

?1.

……………3 分

? ? 解法

2:设椭圆 C1 的方程为

x2 a2

?

y2 b2

?1

a

?

b

?

0



根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 ,

……………1 分

∵ c ? 2 , ∴ b2 ? a2 ? c2 ? 12 .

……………2 分



椭圆

C1

的方程为

x2 16

?

y2 12

?1.

……………3 分

(2)解法

1:设点

B( x1 ,

1 4

x12 )

, C(x2 ,

1 4

x22

)

,则

BC

?

(x2

?

x1 ,

1 4

( x22

?

x12

)) ,

BA

?

(2

?

x1

,3

?

1 4

x12

)



∵ A, B, C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net)

∴ BC // BA .

……………4 分

? ? ? ? ? ? ∴

x2 ? x1

? ?3 ?

?

1 4

x12

? ?

?

?

1 4

x22 ? x12

2 ? x1 ,

化简得:2(x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ①

……………5 分

由 x2 ? 4 y ,即 y ? 1 x2,得 y? ? 1 x .

4

2

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为

y

?

1 4

x12

?

x1 2

(x ?

x1 ) ,



y

?

x1 2

x

?

1 4

x12 .



……………7 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为

y

?

x2 2

x?

1 4

x22 .

③ ……………8 分

设点 P(x,

y) ,由②③得:

x1 2

x?

1 4

x12

?

x2 2

x?

1 4

x22 ,

而 x1 ? x2 ,则

x

?

1 2

( x1

?

x2 )

.

……………9 分

12

代入②得

y

?

1 4

x1 x2 ,

……………10 分

则 2x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1x2 代入 ① 得 4x ? 4y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为

y ? x ?3.

……………11 分

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上,
……………12 分
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,

∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点.

……………13 分

∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个.

……………14 分

解法 2:设点 B(x1, y1 ) , C(x2 , y2 ) , P(x0 , y0 ) ,

由 x2 ? 4 y ,即 y ? 1 x2,得 y? ? 1 x .

4

2

……………4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

y1

?

x1 2

(x ? x1) ,



y

?

x1 2

x

?

y1

?

1 2

x12 .

……………5 分



y1

?

1 4

x12





y

?

x1 2

x

?

y1

.

∵点 P(x0 , y0 ) 在切线 l1 上,



y0

?

x1 2

x0

?

y1 .



……………6 分

同理,

y0

?

x2 2

x0

?

y2 .



……………7 分

综合①、②得,点 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ) 的坐标都满足方程

y0

?

x 2

x0

?

y.

……8 分

∵经过 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的,

∴直线 L 的方程为

y0

?

x 2

x0

?

y,

……………9 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上,

∴ y0 ? x0 ? 3 .

……………10 分

∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

……………11 分

13

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,…12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,

∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点.

……………13 分

∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个.

……………14分

? ? 解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

? ? 由

?? ?

y

?

k

x?2

?

3,
消去

y

,得

x2

?

4kx

?

8k

? 12

?

0.

??x2 ? 4 y,

? ? ? ? 设 B x1, y1 ,C x2, y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k,x1x2 ? 8k ? 12 .

……………4分 ……………5分

由 x2 ? 4 y ,即 y ? 1 x2,得 y? ? 1 x .

4

2

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1

?

x1 2

(x

?

x1

)





y

?

x1 2

x?

y1

?

1 2

x12 .

……………7 分



y1

?

1 4

x12



∴y

?

x1 2

x

?

1 4

x12 .

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y

?

x2 2

x?

1 4

x22 .

……………8 分

?



?? ?

y

?

x1 2

x

?

1 4

x12

,
解得

? ?? ?

x

?

x1 ? x2 2

? 2k,

? ??

y

?

x2 2

x?

1 4

x22 ,

? ??

y

?

x1x2 4

?

2k ? 3.

∴ P ?2k,2k ? 3?.

……………10 分

∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,

∴点 P 在椭圆 C1

:

x2 16

y2 ?
12

? 1 上.

?2k ?2 ?2k ? 3?2



?

? 1.

16

12

14

……………11 分

化简得 7k 2 ? 12k ? 3 ? 0 .(*)

……………12 分

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ??3? ? 228 ? 0 ,

……………13 分

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个.

……………14 分

21.(本小题满分14分)

(本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基

础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象

概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

(1)解:∵

y

?

f2 (x) ? kx

?1?

x?

x2 2

?

x3 3

? kx,

……………1 分

∴ y? ? ?1? x ? x2 ? k ? ?(x2 ? x ? k ?1) .

……………2 分

方程 x2 ? x ? k ? 1 ? 0 的判别式 Δ ? ??1?2 ? 4 ?k ? 1? ? ?3 ? 4k .

当 k ? ? 3 时, Δ ? 0 , y? ? ?(x2 ? x ? k ?1) ? 0 , 4
故函数 y ? f2 (x) ?kx 在 R 上单调递减;

……………3 分

当k

?

? 3 时,方程 x2 4

?

x

?

k

?1 ?

0 的两个实根为 x1

?

1?

?3 ? 4k , 2

1 ? ?3 ? 4k

x2 ?

.
2

……………4 分

? ? ? ? ? ? 则 x ? ??,x1 时,y? ? 0 ;x ? x1,x2 时,y? ? 0 ;x ? x2,?? 时,y? ? 0 ; ? ? ? ? 故函数 y ? f2 (x) ?kx 的单调递减区间为 ??,x1 和 x2,?? ,

? ? 单调递增区间为 x1,x2 .

……………5 分

(2)解:存在 t ? 1,对于任意 n ?N * ,关于 x 的方程 fn (x) ? 0 在区间 ??t,t ? 1?? 上有唯
一实数解,理由如下:
当 n ? 1时, f1(x) ? 1? x ,令 f1(x) ? 1 ? x ? 0 ,解得 x ?1,

∴关于 x 的方程 f1(x) ? 0 有唯一实数解 x ?1 .

……………6 分

当n

?

2 时,由

fn ( x)

?1?

x

?

x2 2

?

x3 3

?

? x2n?1 , 2n ?1

得 fn?(x) ? ?1? x ? x2 ? ? x2n?3 ? x2n?2 .
15

……………7 分

若 x ? ?1 ,则 fn?(x) ? fn?(?1) ? ?(2n ?1) ? 0 ,

若 x ? 0 ,则 fn?(x) ? ?1 ?0 ,



x

?

?1 且

x

?

0 时,则

f

?
n

(

x)

?

?

x2n?1 ? 1
,
x ?1

……………8 分 ……………9 分

当 x ? ?1时, x ?1 ? 0, x2n?1 ?1 ? 0, fn?(x) ? 0 ,

当 x ? ?1 时, x ?1 ? 0, x2n?1 ?1 ? 0, fn?(x) ? 0 ,

∴ fn?(x) ? 0 ,故 fn (x) 在 (??, ??) 上单调递减.

……………10 分



fn (1)

?

(1 ?1)

?

(1 2

?

1) 3

?

(1 4

?

1) 5

?

? ( 1 ? 1 ) ? 0 , ………11 分 2n ? 2 2n ?1

fn (2)

?

(1 ?

2)

?

22 (
2

?

23 )
3

?

24 (
4

?

25 5

)

?

? ( 22n?2

?

22n?1 )

2n ? 2 2n ?1

? ?1? (1 ? 2)22 ? (1 ? 2)24 ? ? ( 1 ? 2 )22n?2

23

45

2n ? 2 2n ?1

? ?1? 1 22 ? 3 24 ? ?

2n ? 3

22n?2 ? 0 . …………12 分

2?3 4?5

(2n ? 2)(2n ?1)

∴方程 fn (x) ? 0 在?1,2? 上有唯一实数解.

……………13 分

当 x ? ???,1? 时,fn ? x? ? fn ?1? ? 0 ;当 x ? ?2,?? ? 时,fn ? x? ? fn ?2? ? 0 .

综上所述,对于任意 n ?N * ,关于 x 的方程 fn (x) ? 0 在区间 ??1,2?? 上有唯一实数解.

∴t ? 1.

……………14 分

16


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