上海市浦东新区2014届高三二模数学(理)试题

上海市浦东新区 2014 届高三二模

数学(理)试题
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 已知全集 U= ?1,2,3,4,5? ,若集合 A= ?2,3? ,则 ?U A =__ ?1, 4,5? ___ 2. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 9 16

4 y?? x 3

.

3.函数 f ?x ? ?

sin x 4 cos x 的最大值为__5_____ 1 3
1 . 3

4.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 和 l2 : 2x ? ? a ?1? y ? 3 ? 0 ? a ? R ? ,若 l1 ? l2 ,则 a ? 5. 函数 y ? f ? x? 的反函数为 y ? f
?1

? x ? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像过点 ? 2, ?2? ,那么函数

y ? f ?1 ? x ? ? 1的图像一定过点___ (?2,3) ___.
6. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? 4 , a2 ? a4 ? 10 ,则 ?an ? 的前 n 项的和

3 5 Sn ? __ n 2 ? n ___. 2 2
7.一个与球心距离为 3 的平面截球所得的圆的面积为 ? ,则球的体积为 __

32 ? __ . 3

8.(理) 一名工人维护甲、 乙两台独立的机床, 在一小时内, 甲、 乙需要维护的概率分别为 0.9、 0.8, 则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98
3 9.设 a ? R , (ax ? 1)8 的二项展开式中含 x 项的系数为 7,则 lim(a ? a ? L ? a ) ? __ ?
2 n n ??

1 __. 3

10.(理)在平面直角坐标系 xoy 中,若直线 l : ? 数)的右顶点,则常数 a =_3__.

?x ? t ? x ? 3cos ? ( t 为参数)过椭圆 C : ? ( ? 为参 y ? t ? a y ? 2sin ? ? ?

11.(理)已知随机变量 ? 的分布列如右表,若 E? ? 3 ,则 D? =__1 . x
P(? ? x)

1 n

2 0.2

3 0.3

4 m

B C 的周长 12.在 ?ABC 中, 角 B 所对的边长 b ? 6 , ?ABC 的面积为 15 ,外接圆半径 R ? 5 , 则 ?A
为_____ 6 ? 6 6 __ 13.抛物线 y 2 ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F,点 P 为该抛物线上的动点,又点 A(?m,0) ,则

PF PA



最小值为

2 2

.

14.(理)已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?1,2,3? , 值域为集合 ?1,2,3,4? 的非空真子集, 设点 A ?1, f (1) ? ,

uuu r uuu r uuu r B? 2, f (2) ? , C ? 3, f (3) ? , ?ABC 的外接圆圆心为 M,且 MA ? MC ? ?MB( ? ? R) ,则满足

条件的函数 f ( x ) 有_12_个. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ x ? 1 ”是“

1 ? 1 ”的( A ) x
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

16. (理)已知 z ? x ? yi , x, y ? R , i 是虚数单位.若复数 (A)0 (B)

z +i 是实数,则 z 的最小值为( D ) 1? i

5 2

(C ) 5

(D) 2

17.能够把椭圆

x2 + y 2 = 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”,下 4
5? x x x -x (C) f ( x ) ? arctan (D) f ( x) = e + e 5? x 4

列函数不是 椭圆的“可分函数”为( D ) ..
3 (A) f ( x) = 4 x + x (B) f ( x) ? ln

18. (理)方程 lg( x ? 100) ?
2

7 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为( B ) 2

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第 (2)小题满分 6 分. ( 理 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , A B?

AC ,

AA1 ? AB ? AC ? 1 ,?ABC ?
BC 的中点.

?
4

, D 、M 、 N 分别是 CC1 、 A1B1 、

(1)求异面直线 MN 与 AC 所成角的大小; (2)求点 M 到平面 ADN 之间的距离.

解: (1)设 AB 的中点为 E ,连接 EN ,则 EN // AC ,且 EN ?

1 AC ,所以 ?MNE 或其补角 2

即为异面直线 MN 与 AC 所成的角。…………………………………………3 分 连接 ME,在 Rt ?MEN 中, tan ?MNE ?

ME ? 2 ………………………………5 NE

分 所以异面直线 MN 与 AC 所成的角为 arctan 2 。 ……………………………………6 分 (2)

AB ? AC ? 1, ?ABC ?

?
4

, AB ? AC ,

E

以点 A 为坐标原点,分别以 AB 、 AC 、 AA1 所在直线为 x, y, z 轴,如 图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则:

1 1 1 1 M ( , 0,1) , N ( , , 0), D(0,1, ), ………………8 分 2 2 2 2
设平面 AND 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

?x ? y ? 0 ? ?n ? AN ? 0 ? ?? 则? z y? ?0 n ? AD ? 0 ? ? ? ? 2
所以平面 ADN 的一个法向量为 n ? (1, ?1, 2) . …10 分 又 AM ? ( , 0,1) ,

1 2

1 | ?2| | AM ? n | 5 6 ? 2 ? 所以点 M 到平面 OAD 的距离 d ? .………………………12 分 12 |n| 6
20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图,ABCD 是边长为 10 海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在

A 处同时出发,沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜索,且 ?PAQ ?

?
4
D Q C

(其中点 P 、 Q 分别在边 BC 、CD 上) ,搜索区域为平面四边形

APCQ 围成的海平面.设 ?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S .
(1)试建立 S 与 tan ? 的关系式,并指出 ? 的取值范围; (2)求 S 的最大值,并求此时 ? 的值. 解 : ( 1 ) A P
)

S ? S ABCD ? S?ABP ? S?ADQ
2分

?
B

……………………………………………………

? 100 ? 50 tan ? ? 50 tan( ? ? ) 4

?

……………………………………………4 分

1 ? tan ? ? ? ? ? 100 ? 50 ? tan ? ? ? , (0 ? ? ? ) …………………………………6 分 1 ? tan ? ? 4 ? (2)令 t ? 1 ? tan ? , t ? (1, 2) …………………………………………………………8 分

?1 ? (t ? 1)2 ? 2 2 S ? 100 ? 50 ? ? 100 ? 50(t ? ? 2) ? 200 ? 50(t ? ) ? t t t ? ?
t?

……………10 分

2 2 2 (当且仅当 t ? 时,即 t ? 2 ? ?1, 2 ? ,等号成立)…12 分 ? 2 t? ? 2 2, t t t
…………………………………………………………14 分

? 当 t ? 2 时,搜索区域面积 S 的最大值为 200 ?100 2 (平方海里)
此时, ? ? arctan( 2 ?1) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. (理)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意实数 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且

f (1) ? 1 .
(1)若对任意正整数 n ,有 an ? f ? (2)设对任意正整数 n ,有 bn ?

? 1 ? ? 1 ,求 a1 、 a2 的值,并证明 {an } 为等比数列; n ? ?2 ?

1 .若不等式 f ( n)

bn ?1 ? bn ? 2 ?
围.

? b2 n ?

6 log 2 ( x ? 1) 对任意不小于 2 的正整数 n 都成立,求实数 x 的取值范 35

解: (1)令 x1 ? x 2 ?

1 ?1? ?1? ,得 f (1) ? 1 ? f ? ? ? f ? ? , 2 ?2? ?2?

则 f ? ? ? 0 , a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 令 x1 ? x2 ? 则f?

?1? ?2?

1 2

…………………………………………………………1 分

1 1 ,得 f ( ) ? 1 ? 4 2

?1? f ? ?? ?4?

?1? f ? ?, ?4?

1 1 1 ?1? ? ? ? , a2 ? f ( 4 ) ? 1 ? 2 2 ?4?

……………………………………………………2 分

令 x1 ? x 2 ? 即 f?

1 2
n ?1

,得 f ?

1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? n ?1 ? ? 1 ? f ? n?1 ? ? f ? n?1 ? , n ?1 2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?
……………………………………………………4 分

? 1 n ?2

? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 f ? n ?1 ? , ? ?2 ?

则 f?

? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ? 2?1 ? f ? n?1 ?? , an ? 2an?1 n ? ?2 ? ? 2 ?? ?
1 ,首项 a1 ? 1 . 2
………………………6 分

所以,数列 {an } 是等比数列,公比 q ?

(2)令 x1 ? n, x2 ? 1 ,得 f (n ? 1) ? 1 ? f (1) ? f (n) ,即 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 则 { f (n)}是等差数列,公差为 2,首项 f (1) ? 1 , 故 f (n) ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , ………………………………………………8 分

bn ?

1 1 . …………………………………………………………………9 分 ? f ( n) 2 n ? 1
? b2 n ? 1 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 ,则 4n ? 1

设 g (n) ? bn ?1 ? bn ? 2 ?

g (n ? 1) ? g (n) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 0, 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 (4n ? 1)(4n ? 3)(2n ? 1)
1 1 12 ? ? ,…………………………11 分 5 7 35

所以 {g (n)}是递增数列, g min ? g (2) ? 从而 则?

6 12 log 2 ( x ? 1) ? ,即 log 2 ( x ? 1) ? 2 ………………………………………12 分 35 35
………………………………………………14 分

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? (?1,3) . ?x ?1 ? 4

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. (理)已知中心在原点 O ,左焦点为 F1 (?1,0) 的椭圆 C1 的左顶点为 A ,上顶点为 B , F 1 到直线

AB 的距离为

7 | OB | . 7

(1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 过点 P(3,0) 作直线 l ,使其交椭圆 C1 于 R 、 S 两点,交直线 x ? 1 于 Q 点. 问:是否存在这样 的直线 l ,使 | PQ | 是 | PR | 、 | PS | 的等比中项?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理 由.

x2 y 2 x2 y 2 (3) 若椭圆 C1 方程为: 2 ? 2 ? 1 ( m ? n ? 0 ) ,椭圆 C2 方程为: 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,且 m n m n

? ? 1) ,则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 ? 倍相似椭圆.已
知 C2 是椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆,若直线 y ? kx ? b 与两椭圆 C1 、C2 交于四点(依次为 P 、Q 、R 、S ), 且 PS ? RS ? 2QS ,试研究动点 E (k , b) 的轨迹方 程.

y S Rx Q O P x

解:(1)设椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2
x y ? ? 1 ………………………………………………1 分 ?a b

所以直线 AB 方程为:

∴ F1 (?1,0) 到直线 AB 距离为 d ?

| b ? ab | a ?b
2 2

?

7 b ? a2 ? b2 ? 7(a ?1)2 …… 2 分 7

2 2 又 b ? a ? 1,解得: a ? 2 , b ? 3 ………………………………………………3 分

故:椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………… 4 分 4 3

(2) 当直线 l 与 x 轴重合时, | PQ |? 2 ,而 | PR | ? | PS |? 1? 5 ? 5 ,所以 | PQ |2 ?| PR | ? | PS | 若存在直线 l ,使 | PQ | 是 | PR | 、 | PS | 的等比中项, 则可设直线 l 方程为: x ? my ? 3 ………………………………………………… 5 分 代人椭圆 C1 的方程,得: 3(my ? 3) ? 4 y ? 12 即: (3m ? 4) y ? 18my ? 15 ? 0
2 2 2 2

∴ ? ? (18m)2 ? 4 ?15(3m2 ? 4) ? 48(3m2 ? 5) 记 R( x1 , y1 ) , S ( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) ∵ | PQ | ?| PR | ? | PS | ,即
2

∴ y1 y2 ?

15 2 , y0 ? ? ……… 7 分 2 3m ? 4 m

y y | PR | | PQ | 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ y1 y2 ? y0 | PQ | | PS | y0 y2



15 4 16 4 3 ? 2 ,解得: m 2 ? ,符合 ? ? 0 ,所以 m ? ? …………… 9 分 2 3m ? 4 m 3 3

故存在直线 l ,使 | PQ | 是 | PR | 、 | PS | 的等比中项,其方程为

x??

4 3 3 y ? 3 ,即: y ? ? ( x ? 3) ………………………………… 10 分 3 4
x2 y 2 ? ? 1 ………………………………11 分 12 9

(3) 椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为:

设 Q 、 R 、 P 、 S 各点坐标依次为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 、 ( x4 , y4 ) 将 y ? kx ? b 代人椭圆 C1 方程,得: (3 ? 4k ) x ? 8kbx ? 4b ?12 ? 0
2 2 2

∴ ?1 ? (8kb) ? 4(3 ? 4k )(4b ?12) ? 48(4k ? 3 ? b ) ? 0
2 2 2 2 2

(*)

此时: x1 ? x2 ? ?

8kb 4b2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

4 3(4k 2 ? 3 ? b2 ) …………………………13 分 ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 3 ? 4k 2
将 y ? kx ? b 代人椭圆 C2 方程,得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 36 ? 0 ∴ x3 ? x4 ? ?

4 3(12k 2 ? 9 ? b2 ) 8kb 4b 2 ? 36 x x ? , ………14 分 ? | x ? x | ? 3 4 3 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,可得线段 PS 、 QR 中点相同,所以 | PQ |?| RS | 由 PS ? RS ? 2QS ? PQ ? QR ,所以 | PS |? 3 | QR | ,可得: | x3 ? x4 |? 3| x1 ? x2 |



4 3(12k 2 ? 9 ? b2 ) 4 3(4k 2 ? 3 ? b2 ) ? 12k 2 ? 9 ? 4b2 (满足(*)式). ? 3 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

4b 2 4k 2 ? ? 1. ……………………………………16 分 故:动点 E (k , b) 的轨迹方程为 9 3
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. (理)定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c . (1)已知函数 y ? 2 ? 1 的定义域为 a, b ,值域为 ?0, ? ,写出区间 a, b 长度的最大值与最 2
x

?

?

? 1? ? ?

?

?

小值. (2) 已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 D ? [?2, 2] ,满足 f M ? x ? ? ? 空真子集) . 集合 A ? ?1, 2? , B ? ? ?2, ?1? ,求 F ? x ? ? 总和.

? x, x ? M ( M 是 D 的非 ?? x, x ? M

f A B ? x? 的值域所在区间长度的 f A ? x? ? fB ? x? ? 3

1 2 3 4 ? ? ? ? 1 ,判断函数 f ( x) 在区间 (2,3) 上是否有零 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 点,并求不等式 f ( x) ? 0 解集区间的长度总和.
(3)定义函数 f ( x) ? 解: (1) 2 ? 1 ?
x

1 , 2
3 ,…………………1 分 2

解得 x ? ?1 或 x ? log 2

2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 , …………………2 分

画图可得:区间 a, b 长度的最大值为 log2 3 , 最小值为 log 2

?

?

3 .………………………………4 分 2

?x ,x? A B ? ?3 (2) F ? x ? ? ? ? x , x ? (?1,1) ? ? 2x ? 3
当 x? A

…………………………………………………………6 分

? 2 1? B , F ( x) ? ? ? , ? ? ? 3 3?
1 5

?1 2 ? , , ……………………………………………7 分 ? ?3 3 ? ?

当 x ? (?1,1) , F ( x ) ? ( ?1, ) , ……………………………………………………………8 分 所以 x ? [?2, 2] 时, F ( x) ? (?1, ) 所以值域区间长度总和为

1 5

?1 2 ? , ………………………………………………9 分 ? ?3 3? ?

(3)由于当 2 ? x ? 3 时,取 x ? 2.001 , f ?2.001 ?? 0 ,

23 。 ……………………………………………………………10 分 15
取 x ? 2.999 , f ?2.999? ? 0 ,

所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (2,3) 内有一个解 考虑函数 f ( x) ?

…………………………………12 分

1 2 3 4 ? ? ? ? 2 ,由于当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,故在区间 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 (??,1) 内,不存在使 f ( x) ? 0 的实数 x ;
对于集 {1, 2,3, 4} 中的任一个 k ,由于当 k ? 1 ? x ? k 时, 取 x ? k ? 0.001 , f ?x ? ? 0 ,取 x ? k ? 1 ? 0.001 , f ?x ? ? 0 又因为函数 y ? f ( x) 在区间 (1, 2), (2,3), (3, 4), (4, ??) 内单调递减, 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (1, 2), (2,3), (3, 4), (4, ??) 内各有一个解; 依次记这 4 个解为 x1 , x2 , x3 , x4 , 从而不等式 f ( x) ? 0 的解集是 E ? (1, x1 ) 和为 故得所有区间长度的总 (2, x2 ) (3, x3 ) (4, x4 ) ,

S ? ( x1 ?1) ? ( x2 ? 2) ? ( x3 ? 3) ? ( x4 ? 4) ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?10
………① ……………………………………………15 分 对 f ( x) ? 0 进行同分处理,分子记为 p ( x)

p( x) ? ( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 2( x ? 1)( x ? 3)( x ? 4) ? 3( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4) ? 4( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ?2( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) 如将 p ( x) 展开,其最高项系数为 ?2 ,设

p( x) ? ?2x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1x ? a0

……② …………③

又有 p( x) ? ?2( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 )( x ? x4 )

对比②③中 p ( x) 的 x3 系数,

2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? 4) ? 30
可得: S ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 ? 5 ……………………………………………18 分


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