2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积课件 理_图文

第1讲

空间几何体的三视图、直观图、 表面积与体积

最新考纲

1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的

结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物
体的结构;2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视 图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观 图; 3. 会用平行投影的方法画出简单空间图形的三视

图与直观图,了解空间图形的不同表示形式; 4. 了解
球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.

知识梳理 1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ,上、下底 多 面 体 面是 全等 且平行的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形, 侧面是有一 个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得 到,其上、下底面是 相似 多边形

(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边所在直线旋 转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在 旋 直线旋转得到. 转 (3)圆台可以由直角梯形绕

直角腰 所在直

体 线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋 转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面或圆面绕 线旋转得到

直径 所在直

2.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 正投影 得到,这种投影下与投影 面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是

完全相同的,三视图包括 正视图 、 侧视图 、 俯视图 .
3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′

轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2) 原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于 坐标轴 . 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变,

平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
4.柱、锥、台和球的侧面积和体积
面 圆柱 积 体 V= Sh 积 =π r2h

S 侧= 2πrh

圆锥

S 侧= πrl

1 1 2 1 Sh 3 V= =3π r h=3π
r2 l 2 -r2

圆台

S 侧=π (r1+r2)l

1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= 3 1 2 π (r2 1+r2+r1r2)h 3 V= V=

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

S 侧=

Ch

Sh
1 Sh 3

1 S 侧= 2Ch′
1 S 侧=2(C+C′)h′ S 球面= 4πR2

1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h 4 V=3π R3

5.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和 . (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩形 、 扇形 、 扇环;它们的表面积等于 侧面积 与

底面面积之和.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是 棱柱.( × )
(2) 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是 棱锥.( × ) (3)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( × ) (4)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × )

(5)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那
么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )

2.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)如图,网格纸 的各小格都是正方形,粗实线画出的 是一个几何体的三视图,则这个几何

体是( A.三棱锥
C.四棱锥 解析

) B.三棱柱
D.四棱柱

由题知,该几何体的三视图为一个三角形、两个四

边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B. 答案 B

3. 某几何体的三视图 ( 单位: cm) 如图所示,则该几何
体的表面积是( )

A.90 cm2 C.132 cm2

B.129 cm2 D.138 cm2

解析

由三视图画出几何体的直观图,如图所示,长方体的长、

宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm,
直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为3 cm,4 cm,5 cm, 所以表面积S=(4×6+3×6+3×4)×2-3×3+3×4+2××4×3 +5×3=138(cm2),选D.

答案 D

4.(2015· 全国 Ⅱ 卷 ) 一个正方体被一个 平面截去一部分后,剩余部分的三 视图如右图,则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为( 1 A. 8 1 C. 6 ) 1 B. 7 1 D. 5

解析

如图, 由题意知, 该几何体是正方

体 ABCD-A1B1C1D1 被过三点 A、B1、D1 的平面所截剩余部分, 截去的部分为三棱 锥 A-A1B1D1, 不妨设正方体的棱长为 1,

1 则三棱锥 A-A1B1D1 的体积为6, 又正方体的体积为 1, 5 1 则剩余部分的体积为6,故所求比值为5,选 D.
答案 D

5.(2015· 江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆 锥和底面半径为 2 、高为 8 的圆柱各一个 . 若将它们重新制

作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥
和圆柱各一个,则新的底面半径为________.
1 2 1 2 解析 设新的底面半径为 r, 由题意得 πr · 4+πr · 8= π 3 3 ×52×4+π×22×8,解得 r= 7.
答案 7

考点一 空间几何体的三视图与直观图 【例1】 (1)(2016· 南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧 视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图

是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视
图可能为( )

(2) 已知正△AOB 的边长为 a ,建立如图所示的直角坐标系
xOy,则它的直观图的面积是________.

解析

(1) 由已知条件得直观图如图所

示,PC⊥底面ABC,正视图是直角三角 形,中间的线是看不见的线PA形成的投

影,应为虚线,故选C.

(2)画出坐标系 x′O′y′,作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如 1 图).D′为 O′A′的中点.易知 D′B′= DB(D 为 OA 的中点), 2 1 2 2 3 2 6 2 ∴S△O′A′B′= × S△OAB= × a = a . 2 2 4 4 16

6 2 答案 (1)C (2) 16 a

规律方法

(1)三视图中,正视图和侧视图一样高,正

视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.即“长 对正,宽相等,高平齐 ”.(2) 解决有关 “ 斜二测画法 ”

问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运
用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴, 图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长 度的关系.

【训练1】 (1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可

以是(

)

A.棱柱

B.棱台

C.圆柱

D.圆台

(2)如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直

观图,其中O′A′=6 cm,C′D′=2 cm,则原图形是(

)

A.正方形
C.菱形

B.矩形
D.一般的平行四边形

解析

(1)(排除法)由正视图和侧视图可知,该几何体不

可能是圆柱,排除选项 C ;又由俯视图可知,该几何体 不可能是棱柱或棱台,排除选项A,B,故选D.
(2)如图,在原图形 OABC 中, 应有 OD=2O′D′=2×2 2=4 2 (cm),CD=C′D′=2 cm. ∴OC= OD2+CD2= (4 2)2+22=6 (cm), ∴OA=OC,故四边形 OABC 是菱形.

答案 (1)D (2)C

考点二 空间几何体的表面积 【例2】 (1)(2015· 安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四

面体的表面积是(

)

A.1+ 3 C.2+ 3

B.1+2 2 D.2 2

(2)(2016· 佳木斯名校联考)在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA= 3,则该三棱 锥外接球的表面积为( A.5π B. 2π ) C.20π D.4π

解析

(1)法一

由几何体的三视图

可知空间几何体的直观图如图所示, 其中侧面 ABD⊥底面 BCD,另两个 侧面 ABC,ACD 为等边三角形,则 1 3 有表面积 S 表=2× ×2×1+2× 2 4 ×( 2)2=2+ 3,故选 C.

法二

在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体

中,该四面体是如图所示的三棱锥 P-ABC, 1 3 表面积为2×1×2×2+ 4 ×( 2)2×2=2+ 3.

(2)取 PC 的中点 O,连接 OA、OB,∵PA⊥平面 ABC, AC?平面 ABC,∴PA⊥AC,∴△APC 为直角三角形, 1 ∴OA=2PC,又∵PA⊥BC,AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB,因此△PBC 是直角三角 1 形, ∴OB= PC, ∴O 是三棱锥 P-ABC 外接球的球心, 2 ∵Rt△PCA 中,AC= 2,PA= 3,∴PC= 5, 1 5 ∴三棱锥 P-ABC 外接球的半径为2PC= 2 , ∴该三棱锥外接球的表面积为
? 4π×? ?

5?2 ? =5π. 2?

答案 (1)C

(2)A

规律方法

(1)已知几何体的三视图求其表面积,一般

是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目 所给数据与几何体的表面积公式求其表面积.(2)多面体 的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注 意重合部分的处理.

【训练2】 (1)(2015· 全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后
与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示 .若该几何体的表面积为16+20π, 则r=( )

A.1

B.2

C.4

D.8

(2)(2015· 北京卷 ) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥

的表面积是(

)

A.2+ 5

B.4+ 5

C.2+2 5

D.5

解析

(1)由正视图与俯视图想象出其直观图,然后进行运算

求解.如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球 1 的半径为 r,圆柱的底面半径为 r,高为 2r,则表面积 S= × 2 4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又 S=16+20π, ∴(5π+4)r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选 B.

(2)该三棱锥的直观图如图所示:过 D 作 DE⊥BC,交 BC 于 E,连接 AE,则 BC=2,EC=1,AD=1,ED=2,CD=BD = 5,AE= 5. 1 1 1 S 表=S△BCD+S△ACD+S△ABD+S△ABC=2×2×2+2× 5×1+2 1 × 5×1+2×2× 5=2+2 5.

答案 (1)B (2)C

考点三 空间几何体的体积
[微题型1] 以三视图为载体求几何体的体积

【例3-1】 (1)(2015· 重庆卷)某几何体的三视图如图所示,
则该几何体的体积为( )

1 A.3+π

2 B.3+π

1 C.3+2π

2 D.3+2π

(2)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.8-2π π C.8- 2

B.8-π π D.8- 4

解析

(1)由三视图可知,这是一个三棱锥与半个圆柱的组合

体,其中半圆柱的底面半径为 1,高为 2,三棱锥的底面为一 个斜边长为 2 的等腰直角三角形,高为 1,所以该几何体的体
? 1 1 ?1 1 2 积 V=2π×1 ×2+3×?2×1×2?×1=π+3,选 A. ? ?

1 (2)直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 1 的 圆柱, 4 1 所以该几何体的体积为 2 -2×π×1 ×2× =8-π. 4
3 2

答案 (1)A (2)B

规律方法

求解以三视图为载体的空间几何体的体积

的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线

面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解.

[微题型2] 以空间几何体为载体求体积
【例 3-2】 (1)如图所示, 已知 E,F 分别是 棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1A,CC1 的中点,则四棱锥 C1-B1EDF 的 体积为________. (2)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC =2,则此棱锥的体积为( 2 A. 6 3 B. 6 ) 2 C. 3 2 D. 2

解析

(1)法一

连接A1C1,B1D1交于点O1,

连 接 B1D , EF , 过 O1 作 O1H ⊥ B1D 于 H.∵EF∥A1C1,且A1C1?平面B1EDF, EF?平面B1EDF.∴A1C1∥平面B1EDF. ∴ C1 到 平 面 B1EDF 的 距 离 就 是 A1C1 到 平 面 B1EDF的距离. ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF,且平面B1D1D∩

平面B1EDF=B1D,
∴O1H⊥平面B1EDF,即O1H为棱锥的高.

B1O1·DD1 6 ∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H= = 6 a. B1 D 1 1 1 1 1 ∴VC1-B1EDF=3S 四边形 B1EDF· O1H=3· EF· B1D· O1H=3· 2· 2· 6 1 3 2a· 3a· 6 a=6a . 法二 连接 EF,B1D.设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1,D 到平

面 C1EF 的距离为 h2,则 h1+h2=B1D1= 2a. 1 由题意得,VC1-B1EDF=VB1-C1EF+VD-C1EF= ·S△C1EF·(h1+h2) 3 1 3 =6a .

(2)由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC,O 是 SC 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高 的 2 倍,所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积 的 2 倍. 在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, 3 3 2 S△ABC= ×AB = , 4 4 高 OD= 1
2

? -? ?

6 3?2 ? = 3, 3?

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6 1 3 答案 (1) a (2)A 6

规律方法

(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体

等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中, 等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何 体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或 补形转化为规则几何体,再利用公式求解.

【训练3】 (1)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的 体积为( )

23 A. 3

47 B. 6

C.6

D.7

(2)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的体积为( 133π A. 8
解析

)

133π B. 6

133π C. 4

133π D. 2

(1)由三视图知这个多面体是正方体

截去两个全等的三棱锥后剩余的部分,其 直观图如图所示,结合题图中尺寸知,正 方体的体积为 23=8,一个三棱锥的体积为 1 1 1 1 23 × ×1×1×1= ,因此多面体的体积为 8-2× = , 3 2 6 6 3 故选 A.

(2)因为在直三棱柱中 AB=3, AC=4, AA1=12, AB⊥AC, 所以 BC=5, 且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径, 取 BC 中点 D,则 OD⊥底面 ABC,则 O 在侧面 BCC1B1 内,矩形 BCC1B1 的对角线长即为球的直径, 所以 2r= 122+52=13,
3 13 4 ?13?3 13 π 即 r= 2 .V=3π? 2 ? = 6 . ? ?

答案 (1)A (2)B

[思想方法] 1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质,并能灵活应用.

2.正棱锥问题归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形的
内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三 角形中解决. 3.求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法 (1) 转化与化归思想:计算旋转体的侧面积时,一般采用转

化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为
直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状 及平面图形面积的求法.

(2) 求体积的两种方法:①割补法:求一些不规则几何体的
体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解 决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法 .等体积法的 前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可 以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体

的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法
回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直 接计算得到高的数值.

[易错防范]
1. 台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与 底面平行. 2.同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同. 3. 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画

出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来 ,即
“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中 要特别注意其中的虚线. 4.对于求解简单的组合体的表面积,要注意各几何体 重叠部分的处理.


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