2018全国高中数学联赛模拟试题(九) 精品

2017 全国高中数学联赛模拟试题(九) 第一试 一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、已知 n、s 是整数.若不论 n 是什么整数,方程 x2?8nx+7s=0 没有整数解, 则所有这样的数 s 的集合是 (A)奇数集 (C)偶数集 (B)所有形如 6k+1 的数集 (D)所有形如 4k+3 的数集 2、某个货场有 1997 辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装 9 箱货物,每相 邻的 4 辆车装货总数为 34 箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是 (A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3、非常数数列{ai}满足 ai2?1 ? ai ai ?1 ? ai2 ? 0 ,且 ai ?1 ? ai ?1 ,i=0,1,2,…,n.对 于给定的自然数 n,a1=an+1=1,则 ? a i 等于 i ?0 n ?1 (A)2 (B)?1 (C)1 (D)0 4、已知?、?是方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 为实数)的两根,且?是虚数, ?? ? 是实数,则 ? ? ? ? ? 的值是 k ?1 ? ? ? 5985 k ?2 ? (A)1 (B)2 2 (C)0 2 2 (D) 3 i 2 2 2 5、已知 a+b+c=abc, A ? 的值是 (A)3 ?1 ? b ??1 ? c ? ? ?1 ? a ??1 ? c ? ? ?1 ? a ??1 ? b ? ,则 bc ac ab A (B)?3 (C)4 n (D)?4 n?n ? 1? , x1x2 … xn=n ! ,使 2 6、对 xi ∈ {1,2, … ,n} , i=1,2, … ,n ,有 ? xi ? i ?1 x1,x2,…,xn,一定是 1,2,…,n 的一个排列的最大数 n 是 (A)4 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分) 1、设点 P 是凸多边形 A1A2…An 内一点,点 P 到直线 A1A2 的距离为 h1,到直线 A2A3 的距离为 h2, …, 到直线 An-1An 的距离为 hn-1, 到直线 AnA1 的距离为 hn. 若 存在点 P 使 a a1 a 2 ? ? ? ? n (ai=AiAi+1,i=1,2,…,n?1,an=AnA1)取得最小 h1 h2 hn . 值,则此凸多边形一定符合条件 2、已知 a 为自然数,存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式,它 有两个小于 1 的不同正根.那么,a 的最小值是 3、已知 F ?a,? ? ? . a 2 ? 2a sin ? ? 2 ,a、?∈R,a≠0.那么,对于任意的 a、 a 2 ? 2a cos? ? 2 ?,F(a,?)的最大值和最小值分别是 . 4、已知 t>0, 关于 x 的方程为 x ? t ? x 2 ? 2 , 则这个方程有相异实根的个 数情况是 . 5、已知集合{1,2,3,…,3n?1,3n},可以分为 n 个互不相交的三元组{x,y,z}, 其中 x+y=3z,则满足上述要求的两个最小的正整数 n 是 n k . 6、任给一个自然数 k,一定存在整数 n,使得 x +x+1 被 x +x+1 整除,则这样 的有序实数对(n,k)是(对于给定的 k) . 三、 (20 分) 过正方体的某条对角线的截面面积为 S,试求 S 最大 S 最小 之值. 四、 (20 分) 数列{an}定义如下:a1=3,an= 3an ?1 (n≥2) .试求 an(n≥2)的末位数. 五、 (20 分) 已知 a、b、c∈R+,且 a+b+c=1. 证明: 13 ≤a2+b2+c2+4abc<1. 27 第二试 一、 (50 分) 已知△ABC 中,内心为 I,外接圆为⊙O,点 B 关于⊙O 的对径点为 K, 在 AB 的延长线上取点 N,CB 的延长线上取 M,使得 MC=NA=s,s 为△ABC 的半周长.证明:IK⊥MN. 二、 (50 分) M 是平面上所有点(x,y)的集合,其中 x、y 均是整数,且 1≤x≤12,1 ≤y≤13.证明:不少于 49 个点的 M 的每一个子集,必包含一个矩形的 4 个顶点,且此矩形的边平行于坐标轴. 三、 (50 分) 实系数多项式 f(x)=x3+ax2+bx+c 满足 b<0,ab=9c.试判别此多项式 是否有三个不同的实根,说明理由. 参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 二、填空题: 1、该凸多边形存在内切圆; 3、 2 ? 3 , 2 ? 3 ; 5、5,8; 2、5; 4、9; 6、(k,k)或(3m+2,2)(m∈N+) . 三、 2 3 . 3 四、7. 五、证略. 第二试 一、证略; 二、证略. 三、 有.

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