【创新设计】2013届高考数学 2-1-2参数方程和普通方程的互化课件 新人教版A选修4-4_图文

第2课时 参数方程和普通方程的互化
【课标要求】

1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法. 3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. 【核心扫描】 1.对参数方程化为普通方程的考查是热点.

2.本课内容常与方程、三角函数结合起来命题.(难点)

自学导引
1.参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般 消去参数 而从参数方程得到普通方程. 地,可以通过_________ 2.普通方程转化为参数方程 x=f(t) , 如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如_______ y= f ( t ) , 把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系_______
? ?x= f( t) 那么? 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方 ? ?y= g( t)

取值范围 保持一致. 程的互化中,必须使 x,y 的_________

试一试:将下列参数方程化为普通方程:
? ?x= 3+ cos (1)? ? ?y= 2- sin

θ , (θ 为参数); θ 为参数,π ≤t≤2π ).

? ?x= 2cos t, (2)? (t ? ?y= 2sin t

提示

? ?cos (1)由已知 ? ? ?sin

θ=x-3 ,由三角恒等式 cos2θ + sin2 θ= 2-y

θ=1,可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程.
(2)∵ π≤ t≤ 2π, ∴- 2≤ x≤ 2,- 2≤ y≤ 0, ∴普通方程是 x2+ y2= 4(- 2≤ x≤ 2,- 2≤ y≤ 0),即下半圆.

名师点睛
1.参数方程和普通方程的互化

参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒
等式消参法消去参数方程中的参数即可,通过曲线的 普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲 线上任一点M的坐标x,y和参数的关系,根据实际问 题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直 线的斜率、截距等作为参数.

2.同一道题参数的选择往往不是唯一的,适当地选择参 数,可以简化解题的过程,降低计算量,提高准确 率.求轨迹方程与求轨迹有所不同,求轨迹方程只需

求出方程即可,而求轨迹往往是先求出轨迹方程,然
后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形. 3.参数方程与普通方程的等价性

把参数方程化为普通方程后,很容易改变了变量的取
值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因 此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.

【思维导图】

题型一

把参数方程化为普通方程

【例1】 将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的 曲线.
? ?x= 1- 3t, (1)? (t ? ?y= 4t

为参数); 为参数, 0≤t≤π ); (θ 为参数 );

? ?x= 1+ 4cos t, (2)? (t ? ? y=- 2+ 4sin t
2 ? ?x= 2+ sin θ , (3)? ? ? y=- 1+ cos 2θ

[思维启迪] 解答本题只要消去参数,建立关于x、y的二元
方程即可.
1- x 解 (1)由已知 t= ,代入 y= 4t 中,得 3 4x+ 3y- 4= 0,它就是所求的普通方程,它表示的是一条直线. (2)∵ 0≤ t≤π ,- 1≤ cos t≤ 1, 0≤ sin t≤ 1. ∴- 3≤ x≤ 5,- 2≤ y≤ 2, (x- 1)2+ (y+ 2)2= 16cos2t+ 16sin2t= 16. ∴ (x- 1)2+ (y+ 2)2= 16(- 3≤ x≤ 5,- 2≤ y≤ 2), 它表示的曲线是以 (1,- 2)为圆心,半径为 4 的上半圆. (3)由 y=- 1+ cos 2θ 可得 y=- 2sin2θ ,把 sin2θ = x- 2 代入 y=- 2sin2θ 可得 y=- 2(x- 2),即 2x+ y- 4= 0, 又∵ 2≤ x= 2+ sin2θ ≤ 3, ∴所求的方程是 2x+ y- 4= 0(2≤ x≤ 3),它表示的是一条线段.

【反思感悟】 (1)将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常 用的消元法有代入消元法、 加减消元法. 如果参数方程是分式方程, 在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形.另外,熟悉一些常 见的恒等式至关重要,如 sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2
?1- k2 ? ? ? ? ?2 ? 2k ?2 =4,? 2 ? =1 2 ? +? 1 + k 1 + k ? ? ? ?

等.

(2)把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而 使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证 普通方程与参数方程的等价性.

【变式1】 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示 什么曲线.
? ?x= 1- t (1)? (t ? ?y= 1+ 2 t

为参数).

2 ? ?x=- 4t (2)? (t≥0,t 为参数). ? ?y= t+ 1



(1)由 x=1- t≤1 有 t= 1- x,

代入 y= 1+ 2 t得到 y= 3- 2x. 又因为 x≤1,所以参数方程等价于普通方程 y= 3- 2x(x≤ 1). 这是以 (1, 2)为端点的一条射线 (包括端点).

x=-4t2 (2) y=t+1

① ②

由②解出 t=y-1,代入①中, 得 x=-4(y-1)2(y≥1), 1 2 即(y-1) =- x(y≥1). 4 方程表示的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于 x 轴,开 口向左的抛物线的一部分.

题型二

把普通方程化成参数方程

【例2】 求方程4x2+y2=16的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数;
(2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x= 2t(t为参数),如何求曲线的参数方程? [思维启迪] 解答本题(1)可以直接把y=4sin θ代入已知方 程,解方程求出x即可;(2)可以把y=t,x=2t代入即可. 解 (1)把y=4sin θ代入方程, 得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ, ∴x=±2cos θ.由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ,

因此4x2+y2=16的参数方程是

? ?x= 2cos ? ? ?y= 4sin

θ (θ 为参数). θ

(2)将 y=t 代入椭圆方程 4x2+ y2= 16,得 4x2+t2= 16, 2 16 - t 则 x2= . 4 16-t2 ∴ x= ± . 2 因此,椭圆 4x2+y2= 16 的参数方程是
2 2 ? ? 16 - t 16 - t ?x= ?x=- 2 和? 2 (t 为参数). ? ? ? ?y= t ?y= t

同理将 x= 2t 代入椭圆 4x2+ y2=16,得椭圆的参数方程为 ? ? ?x= 2t ?x= 2t ? 和? 2 2 (t 为参数 ). ? ? ?y= 4 1- t ?y=- 4 1- t

【反思感悟】 (1)将普通方程化为参数方程的一般方法:
? ?x=f(t) 把x=f(t)代入F(x,y)=0 已知? ――――――――――――――――→ ? ?F(x,y)=0 ? ?x=f(t) y=φ(t)―→? . ? y = φ ( t ) ?

(2)将曲线的普通方程化为参数方程时,选取的参数不
同,同一条曲线的参数方程会有不同的形式,有的复杂, 有的简单,选取什么参数好,要根据具体的问题而定,参 数可以有具体的实际意义,也可没有具体意义.

【变式2】 与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为(t为参 数)
? ?x= sin t A.? 2 ? ?y= cos t ? ?x= C.? ? ?y= t ? ?x= cos t B.? 2 ? ?y= sin t ? ?x= tan t D.? 2 ? ?y= 1- tan t

(

).

1-t

解析

A化为普通方程为

x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1]. B化为普通方程为

x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
C化为普通方程为 x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].

D化为普通方程为
x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1]. 答案 D

题型三
【例3】

参数方程的综合性问题
α, (t 为参数),

? ?x= 1+ tcos ? (2010· 课标全国)已知直线 C1: ? ?y= tsin α

? ?x= cos C2:? ? ?y= sin

θ , (θ 为参数). θ

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中
点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什 么曲线.

[思维启迪] ①将参数方程化为普通方程,解方程组求交 点.②由C1的普通方程求出点A的坐标,利用中点坐标公

式求出P的坐标可得参数方程,再化为普通方程可知曲线
类型.
解 π (1)当 α= 时, C1 的普通方程为 3

y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2= 1.
? ?y= 3( x- 1), 联立方程组? 2 2 ? ?x + y = 1,

解得 C1 与

?1 C2 的交点为(1,0),? ,- ?2

3? ?. 2?

(2)C1 的普通方程为 xsin α -ycos α -sin α =0. A 点坐标为 (sin2α ,-cos α sin α ), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 2 ? ?x=2sin α , ? (α 为参数). ?y=-1sin α cos α ? 2 ? 1?2 2 1 P 点轨迹的普通方程为?x- ? +y = . 4? 16 ? ?1 ? 1 ? ? 故 P 点轨迹是圆心为 , 0 ,半径为 的圆. 4 ?4 ?

【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力,考 查利用参数表示动点轨迹方程的运算能力.

【变式3】

? ?x= cos α , (2010· 陕西高考)方程为? ? ?y= 1+ sin α

(α 为参数), 以原

点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐 标方程为 ρsin θ =1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标 为________.

解析 圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1, 直线 l 的直角坐标方程为 y=1. 2 2 ? ?x +( y- 1) = 1, ? ?x=- 1, ? ?x= 1, ? ?? 或? ? ? ? ?y= 1 ?y= 1 ?y= 1. ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).

答案

(-1,1),(1,1)

高考在线——参数方程与普通方程互化的应用
点击1 参数方程与普通方程的互化 【例1】
? ?x= cos α (2010· 陕西高考)参数方程? ? ?y= 1+ sin

α

(α 为参数)

化成普通方程为________.

解析

? ?x= cos α ∵? ? ? y= 1+ sin

α

,cos2α+sin2α=1,

∴x2+(y-1)2=1.

答案

x2+(y-1)2=1

【例2】

(2009· 江苏高考)已知曲线 C 的参数方程为 1 ? x = t - , ? t ? (t 为参数,t>0).求曲线 C 的普通方程. ? ? ?y=3?t+1 ? ? t? ?

1 解 因为 x =t+ -2, t 1 y 2 所以 x +2=t+ = , t 3 故曲线 C 的普通方程为: 3x2-y+6=0.
2

点击2 参数方程的应用
【 例 3】
(2010· 安徽高考)设曲线 C

? ?x= 2+ 3cos θ 的参数方程为? ? ?y=- 1+ 3sin θ

(θ 为参数),直线 l 的方程为 x-3y+2=0,则曲线 C 上到直 7 10 线 l 距离为 的点的个数为 ( ). 10 ? ?x- 2= 3cos θ 解析 由题意,曲线 C 可变形为:? , ? ?y+ 1= 3sin θ
即 (x- 2)2+ (y+ 1)2= 9, ∴曲线 C 是以点 M(2,- 1)为圆心, 3 为半径的圆, M 到 l 的 |2+ 3+ 2| 7 10 7 10 7 10 距离 d(M, l)= 2 2 = 10 ,且 10 <r= 3<2× 10 ,所 1 +3 7 10 以曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数为 2,故 B 正确. 10

答案

B


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