【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习:第八章 立体几何(含答案解析)

第八章 第一节 立体几何 空间几何体的结构特征 1.简单几何体 (1)简单旋转体的结构特征: ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到; ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到; ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到, 也可由平行于 圆锥底面的平面截圆锥得到; ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到. (2)简单多面体的结构特征: ①棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是全等的多边形; ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共点的三角形; ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形. 2.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ),z′ 轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. [小题体验] 1.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是________(填序号). ①棱柱的侧棱长都相等;②四棱锥有四个顶点;③三棱台的上、下底面是相似三角形; ④有的棱台的侧棱长都相等. 解析:根据棱锥顶点的定义可知,四棱锥仅有一个顶点,故②说法不正确,由棱柱、棱 台的结构,知①③④说法正确. 答案:② 2.如图, 正方形 OABC 的边长为 1 cm, 它是水平放置的一个平面图 形用斜二测画法得到的直观图,则原图形的周长是________ cm. 解析:将直观图还原为平面图形,如图所示. 可知周长为 8 cm. 答案:8 3.(2016· 金陵中学检测)下列结论正确的是________(填序号). ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥; ②以三角形的一条边所在直线为轴,旋转一周得到的几何体叫圆锥; ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥; ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 解析: 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时, 尽管各 面都是三角形,但它不是三棱锥,故①错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋 转轴不是直角边所在直线,则所得的几何体就不是圆锥,故②错误;正六棱锥的侧棱长必然 要大于底面边长,故③错误;由圆锥母线的定义,知④正确. 答案:④ 1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”: “三变”坐标轴的夹角改变,与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变. “三不变”平行性不改变,与 x,z 轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变. [小题纠偏] 1.下列说法正确的是________(填序号). ①有 2 个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台; ②多面体至少有 3 个面; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形. 解析:①说法错误,反例如图 1;一个多面体至少有 4 个面,如三棱锥有 4 个面,不存 在有 3 个面的多面体,所以②说法错误;③说法错误,反例如图 2,上、下底面是全等的菱 形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的定义,知④说法正确. 答案:④ 2.下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是________(填序号). ①正三角形的直观图是正三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③矩形的直观图是矩形; ④圆的直观图是圆. 解析: 直观图改变了原图中角的大小及图形的形状, 所以①③④都不正确, 易知②正确. 答案:② 3.如图所示的正方形 ABCD 用斜二测画法得到的直观图是一个平行四边 形,平行四边形中有一条边的边长为 4,则此正方形的面积是________. 解析:由题意,可知在直观图(图略)中,若边长为 4 的边与 x′轴平行,则 原正方形的边长为 4,此时正方形的面积为 16;若边长为 4 的边与 y′轴平行,则原正方形的 边长为 8,此时正方形的面积为 64. 答案:16 或 64 考点一 空间几何体的结构特征 基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是________. 解析:截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体. 答案:球体 2.下列说法中正确的个数是________. ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥; ②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体是圆台; ③圆锥、圆台的底面都是圆; ④分别以矩形的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆 柱. 解析:①中,若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴,得到的是由两个底面重合的圆 锥组成的旋转体,故①说法正确;②中,必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转 轴才能得到圆台,若以其余三边所在直线为旋转轴,则不能得到圆台,故②说法错误;显然 ③④说法正确. 答案:3 3.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是________(填序号). 解析:①②③中底面图形的边数与侧面的个数不一致,故不能围成棱柱.④经过折叠可 以围成一个棱柱. 答案:④ [谨记通法] 解决与空间几何体结构特征有关问题 3 个技巧 (1)把握几何体的结构特征,要多观察实物,提高空间想象能力; (2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型; (3)通过反例对结构特征进行辨析. 考点二 空间几何体的直观图 重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 如图, △A′B′C′是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直 图,将其恢复成原图形. 解:(1)画出直角坐标系 xOy,在 x 轴上取 OA=O′A′,即 CA C′A′;(2)在图①中,过 B′作 B

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