中山市实验高中2011届高三12月月考试题(文科)

中山市实验高中 2010——2011 年高三 12 月月考 文科数学试题
参考公式: 棱锥的体积公式 V=
1 3

sh,其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高
n(ad ? bc )
2

独立性检测中,随机变量 k ?
2

? a ? b ? ?c ? d ? ? a ? c ? ?b ? d ?
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

分类变量 X 与 Y 有关系的可信度表:
P ?K
k
2

? k?

? ?
1? i i

一、选择题 1.在复平面内,复数 z A.第一象限 2.函数 f ( x ) ? A. ? ? ? , 0 ?
?
?

( i 是虚数单位)对应的点位于( C.第三象限 ) C. ( 0 , )
2 1



B.第二象限

D.第四象限

lg (1 ? 2 x ) 的定义域为(

B. ? ? , 0 ) (
?

D. ? ? , (
?

1 2



3、已知向量 a ? (1, x ) , b ? ( ? 1, x ) ,若 a 与 b 垂直,则 | a | 等于 A . 1 B . 2 C . 4 D .
2

?

?

4.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级 职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取 容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 ? 5、函数 y ? 2 sin ( 2 x ? ) 是: ( )
2

A . 周期为 ? 的奇函数 B.周期为 ? 的偶函数 C. 周期为 2 ? 的奇函数 D.周期为 2 ? 的偶函数 6.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60, 得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ( ) A.57.2, 3.6 B.57.2, 56.4 C.62.8, 63.6 D.62.8, 3.6 7.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;② 至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是 奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( ) A.① B.② ④ C.③ D.① ③ 8.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5 x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的:
2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x 2 ? ( ? ? , 0) ,当 x1 ? x 2 时,都有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ”的函数是(


2

A. f ( x ) ? ? x ? 1

B. f ( x ) ? x ? 1

C. f ( x ) ? 2

x

D. f ( x ) ? ln ? ? x ?

10、若两个分类变量 x 和 y 的列联表为: y1 x1 x2 合计 10 20 30 y2 45 30 75 合计 55 50 105

则 x 与 y 之间有关系的可能性为( ) A.0.1% B.99.9% C.97.5% D.0.25% 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.设函数 f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? a ) 为奇函数,则 a ?
2



12.在边长为 a 的正方形 ABCD 内任取一点 P,则 P 到点 A 的距离大于 a 的概率是 13. 阅读下边的程序框图, 若输入的 n 是 100, 则输出的变量 S 和 T 的值依次是___和________

o

C

B A

(14 题)

(13 题) (二)选做题:考生从以下两题中选做一题,两题均做的,按第一题给分 14.《几何证明选讲》选做题)如上图,点 A , B , C 是圆 O 上的点, 且 A B ? 4, ? A C B ? 4 5 , (
0

则圆 O 的面积等于



15. ( 《坐标系与参数方程》选做题)已知直线的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 ,则
? x ? sin ? ? co s ? ? y ? 1 ? sin 2 ?

它与曲线 ?

( ? 为参数)的交点的直角坐标是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。

16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? m sin x ? cos x ( x ? R ) 的图象经过点 ?
?π ? , 1? . ?2 ?

(Ⅰ)求 y ? f ( x ) 的解析式,并求函数的最小正周期和最值. (Ⅱ) f ( 若
) ? 2si n 12

?

A, 其中 A 是面积为

3 3 2

的锐角 ? A B C 的内角, A B ? 2 , A C 且 求

和 B C 的长.

17. (本小题满分 12 分)围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进 出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度 为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙总费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并 求出最小总费用.

18. (本小题满分 14 分)某校高三数学竞赛初赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的 成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示.若 130~140 分数段的人数为 2 人. (Ⅰ)估计这所学校成绩在 90~140 分之间学生的参赛人数; (Ⅱ)估计参赛学生成绩的中位数; (Ⅲ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二 组、?、第五组)中任意选出两人,形成帮扶学习小组.若选出的两人成绩之差大于 20,则 称这两人为“黄金搭档组”,试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.

19. (本小题满分 14 分)如图,矩形 A B C D 中, A D ? 平面 ABE
A E ? E B ? B C ? 2,
F 为 C E 上的点,且 B F ? 平面 A C E , D
C

BD ? AC ? G.

(1)求证: A E ? 平面 B C E ;
G

(2)求证: A E // 平面 B F D ; (3)求三棱锥 E ? A D C 的体积.

A

F B

E

20. (本小题满分 14 分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60, 且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公 an 及前 n 项和 Sn; 1 * (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N ),且 b1=3,求数列{ }的前 n 项和 Tn. bn

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间;

1 3

3 2 x ? a x ? b x ,且 f ? ( ? 1) ? 0

(3)令 a=-1,设函数 f(x)在 x1 、 x 2 ? x1 ? x 2 ? 处取得极值,记点 M ? x1 , f ( x1 ) ? ,
N ? x2 , f

? x 2 ? ? . 证明:线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M、N 的公共点.

来源:高考资源网]

17. (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,

则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.
360 x

由已知 xa=360,得 a=



所以 y=225x+

360 x

2

-360(x>0).

(2)∵x>0,∴225x+

360 x

2

≥2

225 ? 360

2

=10 800.

∴y=225x+

360 x

2

-360≥10 440.

当且仅当 225x= 是 10 440 元.

360 x

2

时,等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用

19. (1)证明:∵ A D ? 平面 A B E , A D // B C ,∴ B C ? 平面 A B E ,∴ A E ? B C . ??2 分 又 ∵ B F ? 平面 A C E , ∴ B F ? A E , ∵ B C ? B F ? B ,∴ A E ? 平 面 B C E ??????????4 分 (2)证明:连结 G F ,∵ B F ? 平面 A C E , ∴ B F ? C E ∵ B E ? B C , ∴ F 为 E C 的中点;∵ 矩形 A B C D 中, G 为 A C 中点, ∴ G F // A E . ?? ???????????????7 分 ∵ A E ? 面 B F D, G F ? 面 B F D , ∴ A E // 平面 B F D . ??8 分

(3)解:取 A B 中点 O ,连结 O E ,∵ A E ? E B ,∴ O E ? A B ∵ A D ? 平面 A B E ,∴ O E ? A D ∴OE ? 平 面 ADC ??10 分 ∵ A E ? 平面 B C E ,∴ A E ? E B ,∴ A B ?
AE ? BE
2 2

? 2 2 ?11 分

∴OE ?
V E ? ADC ?

1 2 1 3

AB ?

2 ,故三棱锥 E ? A D C 的体积为: 1 3 ? 1 2 ? 2? 2 2 ? 2 ? 4 3

S △ AdC ? O E ?

?13 分

21. (Ⅰ)依题意,得 f '( x ) ? x ? 2 a x ? b
2

由 f '( ? 1) ? 1 ? 2 a ? b ? 0 得 b ? 2 a ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ?
2

1 3

x ? a x ? ( 2 a ? 1) x
3 2

故 f '( x ) ? x ? 2 a x ? 2 a ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2 a ? 1) 令 f '* ( x ) ? 0 ,则 x ? ? 1 或 x ? 1 ? 2 a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2 a ? ? 1 当 x 变化时, f '( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:
( ? ? ,1 ? 2 a )
+

x
f '( x )

( ? 2 a , ? 1)


(?1 ? ? )
+

f (x)

单调递增

单调递减

单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? ,1 ? 2 a ) 和 ( ? 1, ? ? ) ,单调减区间为 (1 ? 2 a , ? 1)

(Ⅲ)当 a ? ? 1 时,得 f ( x ) ?
3

1 3

x ? x ? 3x
3 2

由 f '( x ) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ? 1, x 2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , ? 1) 和 (3, ? ? ) ,单调减区间为 ( ? 1, 3) 所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ? 1. x 2 ? 3 处取得极值。 故 M ( ? 1, ). N (3, ? 9 )
3 5

所以直线 M N 的方程为 y ? ?

8 3

x ?1

1 2 ? 2 y ? x ? x ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?

令 F ( x) ? x ? 3x ? x ? 3
3 2

易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ? 3 ? 0 , F ( x ) 的图像在 (0, 2 ) 内是一条连续不断的曲线, F ( x ) 而 故 在 (0, 2 ) 内存在零点 x 0 ,这表明线段 M N 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 另:也可由 x ? 3 x ? x ? 3 ? 0 解得 x1 ? ? 1, x 2 ? 1 . x 3 ? 3
3 2

? x1 ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? , ? y3 ? ? 9 ? y1 ? , ? y 2 ? ? 3 ? 3 ?

所以线段 M N 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 3

)


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