黑龙江省大庆铁人中学2015届高三上学期10月月考数学理试卷

黑龙江省大庆铁人中学 2015 届高三上学期 10 月月考 数学理试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( A.(1,4) B.(3,4) ) C.(1,3) )

D.(1,2)∪(3,4)

2.下列命题中是假命题的是(

A.?φ ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ )都不是偶函数 B.?a>0,f(x)=lnx-a 有零点 C.?α ,β ∈R,使 cos(α +β )=cosα +sinβ D.?m∈R,使 f(x)=(m-1)·xm -4m+3 是幂函数,且在(0,+∞)上递减 3.已知 a、b 为实数,则“2a>2b”是“lna>lnb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ) D.(2,3) → → ) ) D.既不充分也不必要条件
2

4.函数 f(x)=2x+x-4 的零点所在的区间为( A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) → →



5. 已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s 的值是( A. 0 B. 4 3 C.-3 D. 2 3

6.x= +b(

π 是函数 f(x)=asinx+bcosx 的一条对称轴, 且 f(x)的最大值为 2 2, 则函数 g(x)=asinx 4 ) B.最大值可能是 0 D.最小值不可能是-4

A.最大值是 2,最小值是-2 C.最大值是 4,最小值是 0





7. 已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量CD在AB方向上的投影 3 2 2 B. 3 5 3 2 2 D.- 3 5

A.

C.-

? ax ( x ? 1) ? 8. 已知 f(x)= ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 a ?(4 ? ) x ? 2 ( x ? 1) ? 2
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

9. 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,|φ |<

π )的图象如图所示,为了得到 2 )

g(x)=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象(
A.向右平移 π 个单位长度 6 π 个单位长度 6 B.向右平移

π 个单位长度 12 π 个单位长度 12

C.向左平移

D.向左平移

10. 一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40n mile 的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30min 后到达

B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向
是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2n mile B.10 3n mile ) D.20 3n mile )

C.20 2n mile

11.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 B.3 C.8 D.11

12. 函数 f ( x) ? 2sin ? x 与函数 f ( x) ? 3 x ? 1 的图象所有交点的横坐标之和为 A.8 B.9 C. 16 D.17

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13 设{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为 14 如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随 机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 _________ . 15.数列{an}通项公式 an=2n sin( 16. 给出下列四个命题: ①命题 ?x 2 ? 1, x ? 1 的否定是 ?x 2 ? 1, x ? 1 ;


2



π nπ )+ 3ncos ,前 n 项和为 Sn,则 S2015= 3 2

ax ?1 ②函数 f ( x) ? x (a ? 0且a ? 1) 在 R 上单调递减; a ?1
③设 f ( x) 是 R 上的任意函数, 则 f ( x) | f (? x) | 是奇函数, f ( x) + f (? x) 是偶函数; ④定义在 R 上的函数 f ? x ? 对于任意 x 的都有 f ( x ? 2) ? ? ⑤已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, 其中真命题的序号是

4 ,则 f ? x ? 为周期函数; f ( x)

1 2 ) ,则 f (4) 的值等于 2 2

(把所有真命题的序号都填上) 。

三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本题 10 分) 已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在闭区间[﹣ 18. (本题 12 分) 已知数列{an}的首项 a1=1,且满足 an+1= , ]上的最大值和最小值. )﹣ cos2x+ ,x∈R.

an
4an+1

(n∈N*).

1 (1)设 bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

an

(2)设 cn=bn·2n,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 19. (本题 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足( 2a-c) BA ? BC =c CB ? CA (1)求角 B 的大小; (2)若| BA ? BC |= 6,求△ABC 面积的最大值. 20. (本题 12 分)
1 数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,且 S n ? an ? 1 . 2 (1) 求数列 {an } 的通项公式;
2 an 3 ,数列 { 1 } 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . 4 16 bn ? bn ? 2 21. (本题 12 分)

(2) 记 bn ? log 3

1 a 设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. 3 2 (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间, 求实数 a 的取值范围. 22. (本题 12 分) 设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在, 求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由;

(3)证明:不等式 ?1 ?

?k
k ?1

n

2

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? ?1 2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) B.A.B.C.A.B. B.B.D.A.B.D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) ﹣ , ,-1008,④⑤

三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本题满分 10 分) 解: (1)由题意得,f(x)=cosx?( sinx = = = = 所以,f(x)的最小正周期 =π . cosx)

18(本题满分 12 分)

1 (1)b1= =1,an+1=

an
4an+1

a1



1

an+1

1 1 1 =4+ , - =4,

an an+1 an

∴bn+1-bn=4. 数列{bn}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 1 =bn=1+4(n-1)=4n-3, 1 (n∈N*). 4n-3

an

∴数列{an}的通项公式为 an=

(2)Sn=21+5×22+9×23+?+(4n-3)·2n,① 2Sn=22+5×23+9×24+?+(4n-3)·2n+1,② ②-①并化简得 Sn=(4n-7)·2n+1+14. 19. (本题满分 12 分) (1)由题意得( 2a-c)cosB=bcosC. 根据正弦定理有( 2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 所以 2sinAcosB=sin(C+B),即 2sinAcosB=sinA. 2 , 2

因为 sinA>0,所以 cosB=

又 B∈(0,π ),所以 B= → →

π . 4 →

(2)因为|BA-BC|= 6,所以|CA|= 6, 即 b= 6, 根据余弦定理及基本不等式得

6=a2+c2- 2ac≥2ac- 2ac=(2- 2)ac(当且仅当 a=c 时取等号),即 ac≤3(2+ 2). 1 3 故△ABC 的面积 S= acsinB≤ 2 20. (本题满分 12 分) (1)由题
1 S n ? an ? 1 2 1 1 1 ①-②可得 an ?1 ? an ?1 ? an ? 0 ,则 an ?1 ? an . 3 2 2
1 S n ?1 ? an ?1 ? 1 2

2+1 2

①,

②,

当 n ? 1 时 S1 ? 1 a1 ? 1 ,则 a1 ? 2 ,则 {an } 是以 2 为首项, 1 为公比的等比数列,
2
3
3

3

因此 an ? a1 ? q n ?1 ? 2 ? ( 1 ) n ?1 ? 2 . 3 3 3n (2) bn ? log 3 所以
2 an ? log 3 3?2 n ? ?2n , 4

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ), bn ? bn ? 2 2n ? 2(n ? 2) 4 n(n ? 2) 8 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? )? 8 1 3 2 4 n ?1 n ?1 n n ? 2 8 2 n ? 1 n ? 2 16 21. (本题满分 12 分)

(1)f ′(x)=x -ax+b, ?f 0 由题意得? ?f ′ =1 0 =0 ?c=1 ,即? ?b=0

2

.

(2)由(1)得,f ′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0, 当 x∈(0,a)时,f ′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立,

2 即 x∈(-2,-1)时,a<(x+ )max=-2 2即可,

x

所以满足要求 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 22. (本题满分 12 分) 1)由已知得: f ?( x) ?
1 1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x

∴ f ?(0) ?

?1 ? 0 ?
1

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0 1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)由已知得: g ?( x) ?
1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?
1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ?
1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? 当 x ? ?0, ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,

∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ?


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