湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文

宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期高二年级期中考试试卷 数学(文) 试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数 z=2-i,则 z ? z 的值为( A.5 2.已知 a = p
- 2

). D. 3

B. 5 , b = ln

C.3

1 , c = ln p ,则 p
C. c ? b ? a D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

3.已知向量 a = (2,4), b = (- 1,1) ,则 2a - b = A. ? 5, 7 ? B. ? 5,9 ? C. ? 3,7 ? D. ? 3,9 ?

r

r

r

r

4.有下列关于三角函数的命题

P 1 : ?x ? R, x ? k? ?
P2 : 函数y ? sin( x ?

?
2

(k ? Z) ,若 sin 2 x ? 0 ,则 tan x ? 0 ;
P 3 : ?x0 ? R, 2cos x0 ? 3 ;

3? ) 与 函 数 y ?c ox s 的图象相同; 2

P4 : 函数y ?| cos x | ( x ? R ) 的最小正周期为 2? .其中真命题是

A. P1 , P4

B. P2 , P4

C. P2 , P3

D. P1 , P2

5 . 三 棱 锥 A - BCD 的 顶 点 坐 标 依 次 为 (2,0,0), (1, 2,0), (0, 2, 2), (2, 2, 2) , 则 三 棱 锥

A - BCD 的体积为 4 A. 4 B. 3

C.

8 3

D. 8

6.某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x( C)之间的关系,随机统计了四个工作日的用 电量与当天平均气温,并制作了对照表: 气温( C) 用电量(度)
o

o

18 24

13 34

10 38

-1 64
o

? ? ?2 x ? a ,当气温为-4 C 时,预测用电量约为 由表中数据得到线性回归方程 y

A. 68 度

B.52 度

C.12 度

D.28 度

7.从半径为 r 的圆内接正方形的 4 个顶点及圆心 5 个点中任取 2 个点,则这两个点间的距离 小于或等于半径的概率为

-1-

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

ì ? 0 #x 2 ? ? ? 8.已知平面直角坐标系 xoy 上的区域 D 由不等式 í 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D 上任 ? x # y 2 ? ? ? ? 2 uuur uur 一点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z = OM ?OA 的最大值为
A.3
2

B.4
2

C. 3 2

D. 4 2

9. 已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A? ?m,0? , 若圆 C 上存在点 P , B ? m,0? ? m ? 0? , 使得 ?APB ? 90 ,则 m 的最大值为
?

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

10.函数 f ( x) ? x cos x 2 在区间[0,3]上的零点的个数为 A.2
2 2

B.3

C.4

D.5

11.过双曲线

x y a2 2 2 F ( ? c ,0) ( c ? 0) 的左焦点 作圆 的切线,切点 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? y ? a 2 b2 4 为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心率等于
A. 10 B.

10 5

C.

10 2

D. 2

12. 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,若 f ( x ) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解 集为 N,当 x ? M I N 时,则函数 F ( x) ? x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 的最大值是 A.0 B. ?

5 16

C.

4 9

D.

1 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了 其中 60 株树木的底部周长(单位:cm) ,所得 数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图 如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 14.设 {an } 为等比数列,其中 a4 ? 2 , a5 ? 5 ,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出结果为
开始




s ? s ? lg an
n ? n ?1

s ? 0, n ? 1

n ? 9?




输出 s

结束

-2-

15.在 ?ABC 中, A ?

?
3

, AC ? 2 , BC ? 3 ,则 AB ?





16. 设 ? 是一个平面, ? 是平面 ? 上的一个图形,若在平面 ? 上存在一个定点 A 和一个定角

? (? ? (0, 2? ) ,使得 ? 上的任意一点以 A 为中心顺时针(或逆时针)旋转角 ? ,所得到的
图形与原图形 ? 重合,则称定点 A 为对称中心,? 为旋转角, ? 为旋转对称图形.若以下 4 个图形,从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形,它们都是旋转对称 图形,则它们的最小旋转角依次为 转角用 n 可以表示为 ▲ . ▲ ;若 ? 是一个正 n 边形,则其最小旋

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列,满足 a1 ? 3 , a4 ? 12 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 ,

b4 ? 20 ,且 ?bn ? an ? 是等比数列.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

18. (本题满分 12 分)某车间 20 名工人年龄数据如右表: (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; 年龄(岁) (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年 19 龄的茎叶图; 28 (3)求这 20 名工人年龄的方差. 29 30 31 32 40 19. (本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 合计 中, 侧棱垂直于底面,AB ? BC ,AA E、 1 ? AC ? 2 ,

工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

F 分别为 AC 1 1 、 BC 的中点.
(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (2)求证: C1F // 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积. 20. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xlnx.

A1

E B1

C1

A B F

C

-3-

(1)求 f(x)的最小值; (2)若对所有 x≥1 都有 f(x)≥ax-1 成立,求实数 a 的取值范围.

x2 y 2 21. (本题满分 12 分)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1: 2 ? 2 ? 1 (a1>0,b1>0)和椭圆 a1 b1
C2:

?2 3 ? y 2 x2 ? 2 ? 1 (a2>b2>0)均过点 P ? 2 ? 3 ,1? ? ,且以 C1 的两个 a2 b2 ? ?

顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公 共点,且 OA + OB = AB ?证明你的结论.

uur

uu u r

uu u r

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB=2AE,

AC 与 DE 交于点 F,求

?CDF的周长 ?AEF的周长

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 2 在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρ cos θ =sin θ 与 ρ cos θ =1.以极点为 平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 与 C2 交点的 直角坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

4 | +|x ? a|(a >0) . a

(1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

-4-

宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期 高二年级期中考试试卷 数学(文) 答案 命题人:胡安林 审核人: 考试时间:2015 年 4 月 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.A 5.B 9. B 2.D 6.A 10.C 3.A 7.B 11.C 4.D 8.B 12.D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.24 14. 4 15.1 16.

2? 2? ? 2? ? (说明前一个空 2 分,后一个空 3 分) ,, , ; n 3 2 5 3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列,……. 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d ? 分 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 q ?
3

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3. 3 3

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).……………………………………………………2

b4 ? a4 20 ? 12 ? ?8, b1 ? a1 4?3

解得 q=2. ……………………………………………………3 分 n-1 n-1 所以 bn-an=(b1-a1)q =2 . n-1 从而 bn=3n+2 (n=1,2,…).……………………………………………………6 分 n-1 (2)由(1)知 bn=3n+2 (n=1,2,…).

3 1 ? 2n n-1 n ( n ? 1) 1 ? ? 2n ? 1 . 数列{3n}的前 n 项和为 ,数列{2 }的前 n 项和为 2 1? 2 3 n 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n( n+1)+ 2 ? 1 .……………………………………………12 2
分 18. (本题满分 12 分)某车间 20 名工人年龄数据如右表:…… (1)由图可知,众数为 30.极差为:40-19=21. …………………………………………3 分 (2) 1 9 2 888999 3 000001111222 4 0 ……………………………………………………6 分 (3)根据表格可得:

-5-

x?
9分

19+28 ? 3+29 ? 3+30 ? 5+31? 4+32 ? 3+40 ? 30 , ……………………………………… 20
1 2 2 2 2 2 2 [(19-30) +3(28-30) +3(29-30) +5(30-30) +4(31-30) +3(32-30) 20
2

∴s =

2

+(41-30) ]=13.65. ……………………………………………………12 分

19. (本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,…… (1)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC.所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. ……………………………………………………4 分 (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 所以 FG∥AC,且 FG ?

1 AC . 2

因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. ……………………………………………………8 分 (3)解:因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 3 . 1 1 1 3 所以三棱锥 E-ABC 的体积 V ? S?ABC ? AA1 ? ? ? 3 ?1? 2 ? . 3 3 2 3
……………………………………………………12 分

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xlnx. (1)求…… 解: (1)定义域为 x ? 0 ……………………………………………………1 分

1 f '( x) ? 1 ? ln x ? 0 ? x ? ……………………………………………………3 分 e 1 f '( x) ? 0 ? x ? ; e 1 1 f ( x) 有极小值也是最小值为 f ( ) ? ? ……………………………………………………6 分 e e
(2) ?x ? 1, x ln x ? ax ? 1 ? 0

1 ……………………………………………………8 分 x 1 令 g ( x ) ? ln x ? ( x ? 1) x a ? ln x ?

-6-

g '( x ) ?

x ?1 ? 0 ,所以函数 g ( x) 单调递增, g ( x) 有最小值 g (1) ? 1 x2

……………………………………………………11 分 a ? 1 ……………………………………………………12 分

21. (本题满分 12 分)如图,O 为坐标…… 解:(1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而 a1=1,c2=1. 因为点 P ? 所以 (

?2 3 ? y2 2 ,1 在双曲线 x ? 2 ? 1 上, ? ? 3 ? b1 ? ?

2 3 2 1 ) ? 2 ? 1.故 b12 ? 3 .……………………………………………………3 分 3 b1

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1)2 ? ( ) ? (1 ? 1)2 ? 2 3 . 3 3 于是 a2 ? 3 , b22 ? a22 ? c22 ? 2 .
由椭圆的定义知 2a2 ? (

y2 y 2 x2 ? 1 , ? ? 1 .……………………………………6 分 故 C1,C2 的方程分别为 x ? 3 3 2
2

(2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x ?

2或

x?? 2. 当 x ? 2 时,易知 A( 2, 3) , B( 2, ? 3) , ??? ? ??? ? ??? ? 所以 | OA ? OB |? 2 2 , | AB |? 2 3 . ??? ? ??? ? ??? ? 此时, | OA ? OB |?| AB | . ??? ? ??? ? ??? ? 当 x ? ? 2 时,同理可知, | OA ? OB |?| AB | ..……………………………………8 分
②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? 2 y2 得(3-k )x -2kmx-m -3=0. ?1 ?x ? 3 ?
当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 从而 x1 +x2 ?

2km m2 ? 3 x x ? , 1 2 . 3? k2 k2 ?3
2 2

于是 y1y2=k x1x2+km(x1+x2)+m =

3k 2 ? 3m 2 . k2 ?3

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? y 2 x2 得(2k +3)x +4kmx+2m -6=0. ?1 ? ? 2 ?3
因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ =16k m -8(2k +3)(m -3) =0.
2 2 2 2

m2 ? 3 3k 2 ? 3m2 ?k 2 ? 3 ? ? 2 ? 0, k2 ?3 k2 ?3 k ?3 ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? 于是 OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ,
化简,得 2k =m -3,因此 OA ? OB ? x1 x2 +y1 y2 ?
2 2

??? ? ??? ?

-7-

2 2 即 ,故 |OA ? OB| ? AB . | OA ? OB|| ? OA ? OB| 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线..……………………………………12 分

? ??? ? ????

? ??? ? ????

??? ? ??? ?

??? ?

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB=2AE,

AC 与 DE 交于点 F,求

?CDF的周长 ?AEF的周长

答案:3.……………………………………10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 2 在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρ cos θ =sin θ 与 ρ cos θ =1.以极点为 平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 与 C2 交点的 直角坐标. 答案: (1, 2) .……………………………………10 分 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

4 | +|x ? a|(a >0) . a 4 4 4 |+|x ? a| ?| x ? ? ( x ? a) |? ? a ? 4 . a a a

(1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 解:(1)由 a>0,有 f ( x) ? |x ?

所以 f(x)≥4. ……………………………………4 分

4 | + | 3-a | . a 4 当 a ? 3 时, f ? 3?=a ? , a 3 ? a ? 4 由 f(3)<5 得 .……………………………………7 分 4 当 0<a<3 时,f(3)=6-a+ , a 1 ? 17 由 f(3)<5 得 ? a ? 3. 2 ? 1 ? 17 ? 综上,a 的取值范围是 ? ? 2 ,4? ? .……………………………………10 分 ? ?
(2) f ? 3?= | 3 ?

-8-


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