【名师导学】2015高考数学一轮总复习 圆锥曲线同步课件 理


2015’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习 同步测试卷

理科数学(十七)
(圆锥曲线 ) 时间:60分钟 总分:100分

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) x2 y2 1.已知方程 + =1 的图象是双曲线,则 2-m m-1 m 的取值范围是( D ) A.m<1 B.m>2 C.1<m<2 D.m>2 或 m<1

【解析】根据双曲线的定义可得(2-m)(m-1)<0, ∴m>2 或 m<1.

2.已知抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则 点 A 到抛物线焦点的距离为( D ) A. 10 B.4 C. 15 D. 5

x2 y2 3.已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线 方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准 线上,则双曲线的方程为( B ) x2 y2 A.36-108=1 x2 y2 C.108-36=1 x2 y2 B. 9 -27=1 x2 y2 D.27- 9 =1

x2 y2 4 .平面直角坐标系中,双曲线方程为 m2 - n2 = 1(m,n>0),A,C 是双曲线的两焦点,B 是双曲线上 ?sin A-sin C? 1 ? 的点,在△ABC 中,? ? ?=2,则双曲线的离 sin B ? ? 心率为( B ) 1 A.2 B.2 C.3 D.4

2m 1 【解析】由正弦定理及双曲线的定义得:2c =2? e=2.

x2 y2 5.已知双曲线 m- 7 =1,直线 l 过其左焦点 F1, 交双曲线左支于 A,B 两点,且|AB|=4,F2 为双曲线 的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为( B ) A.8 B.9 C.16 D.20

【解析】由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB| =4,则|AF2|+|BF2|=16. 据双曲线定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|, 所以 4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12, 即 a=3,所以 m=a2=9.

y2 以这四个交点为顶点的四边形 2 =1 的渐近线与椭圆有四个交点, 的面积为 16,则椭圆的方程为( D ) x2 y2 x 2 y2 A. 8 + 2 =1 B.12+ 6 =1 x 2 y2 x 2 y2 C.16+ 4 =1 D.20+ 5 =1

x 2 y2 3 x2 6. 已知椭圆 C: 双曲线 2 - a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,

x 2 y2 3 【解析】 双曲线 2 - 2 =1 的渐近线方程为 y=± x, 由 e= 2 可 x 2 y2 得 a=2b,椭圆方程为4b2+b2=1,而渐近线与椭圆的四个交点为 顶点的四边形为正方形,设在第一象限的小正方形边长为 m,则 2 2 2 2 m2=4?m=2,从而点(2,2)在椭圆上,即:4b2+b2=1?b2=5, x 2 y2 2 于是 a =20,椭圆方程为20+ 5 =1,答案应选 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将各小题的结果填在题中横线上.) ? 7.过抛物线 x2=2 3y 上一点 P(x0,y0)(? ?x0?<1)作 抛物线的切线 l,切线 l 的倾斜角为 θ,则 θ 的取值范 x2 y2 8.直线 x+2y-2=0 经过椭圆a2+b2=1(a>b>0) 2 5 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为______ . 5
? ? ? ? 5? ? 0, ? U? , ? ? ? 围是__________________ . ? 6? ? 6 ?

【解析】易得椭圆的一个焦点为(2,0),一个顶点 为(0,1),所以 c=2,b=1,a= 22+1= 5, c 2 5 ∴e=a= 5 .

9.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该 → +FB → +FC → =0, → |+|FB → |+|FC → 抛物线上三点, 若FA 则|FA |=______ 6 .

【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又 2p=4,p=2, → =(x1-1,y1),FB → =(x2-1,y2), F(1,0),则FA → =(x3-1,y3),∵FA → +FB → +FC → =0, FC ∴x1-1+x2-1+x3-1=0.∴x1+x2+x3=3, 3p → → → 故|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+ 2 =3+3=6.

x2 y2 10.设 F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 a2 右焦点,若在直线 x= c (c= a2-b2)上存在点 P,使 线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范 围 是______________.
?a2 ? ? P c ,y?,则线段 ? ?

? 3 ? ,1 ? ? ? ? 3 ?

【解析】设
? b2 y? 标为?2c,2?, ? ?

F1P 的中点 Q 的坐

直线 F1P 的斜率 kF1P=

cy , a + c2
2

cy cy 2 QF2 的斜率存在时,kQF2= 2 2= 2 2(b - a -3c b -2 c 2c2≠0), 2 2 2 2 ( a + c )( 2 c - b ) 2 由 kF1P· kQF2=-1 得 y = c2 ≥0, 3 2 2 2 2 2 1 ∴2c -b =3c -a >0 即 e >3,故 3 <e<1. 当 QF2 的斜率不存在时,y=0,F2 为 PF1 的中点, a2 3 3 由 c -c=2c,得 e= 3 ,故 3 ≤e<1.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 50 分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.)

11.(16 分)2012 年 12 月底山西发生苯胺泄露事故,经测算 需在浊漳河 CD 段通过建坝 P 对排放的部分污染物进行拦截.如 图,A、B 为两大水库,已知 A、B、C、D 构成一个曲边梯形, 曲边 CD 是以 O(O 为坐标原点)为中心,以 A、B 为焦点的椭圆的 一部分,直边 AB=80 km,直边 AD=BC=18 km.据测算,坝 P 对水库 A 的“污染度”与 P 到 A 的距离成反比,比例系数为 9; 坝 P 对水库 B 的“污染度”与 P 到 B 的距离也成反比, 比例系数 为 4.设坝 P 对 A、B 两水库的“污染度”之和为“总污染度”, 记为 S,坝 P 到水库 A 的距离为 t km. (1)求曲边 CD 所在椭圆的方程; (2)求“总污染度”S 与距离 t 的函数关系式,并求函数的定 义域; (3)当处理中心坝 P 到水库 A 的距离为多少时, “总污染度” 最小?

x2 y 2 【解析】 (1)设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b> 0),由题意 c=40, Rt△ABD 中 BD= AB2+AD2=82,AD+BD= 2a,∴a=50, x2 y2 又 c=40,∴b=30.∴椭圆方程为502+302=1. (2)由图知,当 P 与 D 重合时,tmin=18,由(1)知 tmax=82. 9 由椭圆的定义知,BP=2a-t=100-t,∴S= t + 4 ,t∈[18,82]. 100-t

9 4 (3)S′=-t2+ ,t∈[18,82].令 S′=0, (100-t)2 得 9(100-t)2=4t2, ∴3(100-t)=± 2t,∴t=60 或 t=300(舍). 当 t∈[18,60]时,S′<0,函数 S(t)单调递减; 当 t∈[60,82]时,S′>0,函数 S(t)单调递增. 9 4 ∴函数 S= t + ,t∈[18,82]在 t=60 时,取 100-t 到最小值,即当坝 P 建在离水库 A 的距离为 60 km 处 时,“总污染度”最小.

12.(16 分)双曲线 C 的中心在原点,它的一条渐 近线的方程为 2x-y=0, 且该双曲线经过点 P(2, 4 2). (1)求双曲线 C 的方程及其离心率; (2)直线 l:y=kx+m(k>0)与双曲线 C 交于 A(xA, yA),B(xB,yB)两点,其中 0<yB<yA,直线 l 与 y 轴的交 → =2MB → .试求满足上述条件的最小正整 点为 M,且AM 数 k.

y2 x2 【解析】(1)据题意可设双曲线 C 为a2-b2=1, (4 2)2 4 a ∴b=2, -b2=1,∴a=4,b=2, a2 y2 x2 5 ∴双曲线 C 为16- 4 =1,e= 2 .

→ =2MB → 可知 xA+2xB=0, (2)由AM ?y=kx+m 由 ? y2 x 2 ?16- 4 =1 ?(k2-4)x2+2kmx+m2-16=0(k≠2). ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同两点, ∴Δ>0,即 4k2+m2-16>0. 2km ? x + x = ? A B 4-k2, ? 16k2-64 2 2 m -16 ∴m = 又 ∵? , 9k2-4 xAxB= 2 , ? k -4

? ?xA+2xB=0,
? ? 2 ? ?

4? ∴(k -4) k -9? ?>0, ? 2 ∴0<k<3或 k>2, ∴满足条件的最小正整数 k=3.
2

13.(18 分)如图,已知抛物线 C1:x2=2py 的焦点 1 2 在抛物线 C2:y=2x +1 上,点 P 是抛物线 C1 上的动 点. (1)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (2)过点 P 作抛物线 C2 的两条切线,M、N 分别为 两个切点,设点 P 到直线 MN 的距离为 d,求 d 的最 小值.

【解析】(1)C1 的焦点为 =2.

? p? p F?0,2?,所以2=0+1,p ? ?

故 C1 的方程为 x2=4y,其准线方程为 y=-1. ? ? ? ? 1 2 1 2 2 (2)设 P(2t,t ),M?x1,2x1 +1?,N?x2,2x2 +1?, ? ? ? ? ?1 2 ? 则直线 PM 的方程为 y-?2x1 +1?=x1(x-x1), ? ? 1 2 2 所以 t =2tx1-2x1 +1,即 x12-4tx1+2t2-2=0. 1 2 同理,直线 PN 的方程为 y=x2x-2x2 +1,x22- 4tx2+2t2-2=0.

?1 ? 1 2 2 ? ? x 1 +1-?2x2 +1? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? MN 的方程为 y-?2x1 +1?= (x - x 1 ), x1- x2 ? ? ?1 ? 1 2 ? 即 y-?2x1 +1? ?= (x1+x2)(x-x1). 2 ? ? ?x12-4tx1+2t2-2=0 1 2 2 ? 由 2 ,得 x + x = 4 t , x - 2 tx = 1 - t . 1 2 1 1 2 2 ?x2 -4tx2+2t -2=0 所以直线 MN 的方程为 y=2tx+2-t2. |4t2-t2+2-t2| (1+t2)2 于是 d= =2 . 1+4t2 1+4t2 1 9 1 2 令 s=1+4t (s≥1),则 d=2 s+ s +6≥2 6+6= 3(当 s= 3 时取等号). 所以,d 的最小值为 3.


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