【世纪金榜】2016届高三文科数学一轮复习题库大全专项强化训练(六)

专项强化训练(六)
概率与统计的综合问题 1.(2015·沈阳模拟)某校高二年级在数学必修模块考试后随机抽取 40 名学生的 成绩,按成绩共分为五组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100),得到的频率直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分 以上(含 90 分)的记为 A 级,成绩小于 90 分的记为 B 级. (1)如果用分层抽样的方法从成绩为 A 和 B 的学生中共选出 10 人,求成绩为 A 和 B 的学生各选出几人. (2)已知 a 是在(1)中选出的成绩为 B 的学生中的一个,若从选出的成绩为 B 的学 生中选出 2 人参加某问卷调查,求 a 被选中的概率.

【解析】(1)依题意,成绩为 A 级的学生人数是 40×(0.04+0.02)×5=12(人), 成绩为 B 级的学生人数是 40-12=28(人), 因为分层抽样的抽取比例为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故 成绩为 A 级的学生抽取出 12×错误!未找到引用源。=3(人), 成绩为 B 级的学生抽取出 28×错误!未找到引用源。=7(人). (2)将(1)中选取的成绩为 B 级的学生记作:a,b,c,d,e,f,g.则从这 7 人中选取 2 人的基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df, dg,ef,eg,fg 共 21 个.其中含 a 的基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,ag 共 6 个.记事

件 A=“学生 a 被选中”,则其概率 P(A)=错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。. 2.(2015·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝 500mL 以上为常喝, 体重超过 50kg 为肥胖. 常喝 肥胖
[来源:学.科.网]

不常喝 2 18

总计

不肥胖 总计

30

已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为错误!未找到引用 源。. (1)请将上面的列联表补充完整. (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关? 说明你的理由. (3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2 名女生),抽取 2 人参加电视节目,则正 好抽到一男一女的概率是多少? 参考数据: P(K2≥k) k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(参考公式:K2=错误!未找到引用源。,其中 n=a+b+c+d) 【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人,错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。,x=6.

常喝 肥胖 不肥胖 总计 (2)由已知数据可求得: 6 4 10

不常喝 2 18 20

总计 8 22 30

k=错误!未找到引用源。≈8.523>7.879,

[来源:学科网]

因此能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关. (3) 设 常 喝 碳 酸 饮 料 的 肥 胖 者 男 生 为 A,B,C,D, 女 生 为 E,F, 则 任 取 两 人 有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF, 共 15 种 .其中一男一女有 AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.故抽出一男一女的概率是 P=错误! 未找到引用源。 . 3.(2015·西安模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样, 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔偿金额(元)
学_科_网] [来源:

0 500

1 000 130

2 000 100

3 000 150

4 000 120

车辆数(辆)

(1)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率. (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中, 车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 【解析】(1)总车辆数 n=500+130+100+150+120=1000. 赔付金额 0,1000,2000,3000,4000 大于投保金额 2800 元有: 3000,4000 元,分别对应车辆数为 150,120. 所以赔付金额大于投保金额 2800 元的概率 P=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。=0.27.

(2)新司机总人数 m=1000×错误!未找到引用源。=100(人),赔付金额为 4000 元 的新司机为 120×错误! 未找到引用源。 =24(人),所以在投保中,赔付金额为 4000 元的新司机所占概率 P=错误! 未找到引用源。 =0.24.所以新司机获赔金额为 4000 元的概率为 0.24. 4.空气质量指数 PM2.5(单位:μ g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量, 这个值越高,代表空气污染越严重: PM2.5 0~35 日均浓度 空气质 一级 量级别 空气质 优 量类别 良 污染 污染 污染 污染 轻度 中度 重度 严重 二级 三级 四级 五级 六级 35~75
xx。k.Com] [来源:Z。

75~115

115~150

150~250

>250

某市 2013 年 3 月 8 日至 4 月 6 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测,获得 数据后整理得到如图条形图:

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率. (2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个,求至少有一天空气质量类 别为中度污染的概率. 【解析】(1)从空气质量条形图可知:这月 30 天中,空气质量为二级(即空气质量

为良)的天数为 16 天,所以该城市一个月内空气质量类别为良的概率为错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。. (2)样本中空气质量级别为三级的有 4 天,设其编号为 a,b,c,d;样本级别为四级 的有 2 天,设其编号为 e,f.则基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f), (b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共 15 个.其 中 至 少 有 一 天 空 气 质 量 类 别 为 中 度 污 染 的 情 况 有:(a,e),(b,e),(c,e),(d,e),(a,f),(b,f),(c,f),(d,f),(e,f)共 9 个,所以至 少有一天空气质量类别为中度污染的概率 为错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。. 5.2014 年春节期间,高速公路车辆剧增.高管局测控中心在一特定位置从七座以 下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电 子 测 速 调 查 , 将 它 们 的 车 速 (km/h) 分 成 六 段

[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110) 后得到如图的频率 分布直方图.

(1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的中位数. (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的 车辆数为 0 的概率. 【解析】 (1)测控中心在采样中,用到的是系统抽样方法.设中位数的估计值为 x,

则 0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-95)=0.5,解得 x=97.5,即中位数的估计 值为 97.5. ( 2 )从图中可知 ,车速在 [80,85)的车辆数为 m1=0.01 × 5×40=2( 辆 ),分别记为 B1,B2;车速在[85,90)的车辆数为 m2=0.02×5×40=4(辆),分别记为 A1,A2,A3,A4, 从这 6 辆车中随机抽取两辆共有 15 种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1), (A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1), (A4,B2),(B1,B2). 抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数为 0 的只有(B1,B2)一种,故所求的概率 P=错误!未找到引用源。. 6.已知函数 f(x)=ax+错误!未找到引用源。.
[来源:Z&xx&k.Com]

(1)从区间(-2,2)内任取一个实数 a,记 “函数 y=f(x)-2 在区间(0,+∞)上有两个 不同的零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率. (2)若连续掷两次正方体骰子得到的点数分别为 a 和 b,记“f(x)>b2 在 x∈(0, +∞)上恒成立”为事件 B,求事件 B 发生的概率. 【解析】 (1) 因为函数 y=f(x)-2 在区间 (0,+ ∞ ) 上有两个不同的零点 , 所以
?a ? 0, ? ? x1 ? x 2 ? 2 ? 0, a f(x)-2=0,即 ax2-2x+4=0 有两个不同的正根 x1 和 x2.所以 ? ? ? x x ? 4 >0, ? 1 2 a ?? ? 4 ? 16a ? 0, ?

解得:0<a<错误!未找到引用源。. 所以 P(A)=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (2)由已知:a>0,x>0,所以 f(x)≥2 错误!未找到引用源。,即 f(x)≥4 错误!未 找到引用源。,所以 f(x)的最小值为 4 错误!未找到引用源。.

因为 f(x)>b2 在 x∈(0,+∞)上恒成立,所以 4 错误!未找到引用源。>b2……(*) 当 a=1 时,b=1 适合;(*) 当 a=2,3,4,5 时,b=1,2 均适合;(*) 当 a=6 时,b=1,2,3 均适合;(*) 满足(*)的基本事件个数为 1+8+3=12. 而基本事件总数为 6×6=36,所以 P(B)=错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。.


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