【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第2章 2 导数的概念及其几何意义]

第二章

§2

一、选择题 1.(2013· 北师大附中期中)已知 f ′(x0)=a,则 lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0-3Δx? 的值为( 2Δx

)

A.-2a C.a [答案] B [解析] ∵f ′(x0)= lim
Δx→0

B.2a D.-a

f?x0+Δx?-f?x0? =a, Δx

∴ lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0-3Δx? 2Δx f?x0+Δx?-f?x0?+f?x0?-f?x0-3Δx? 2Δx

= lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? 3 f?x0-3Δx?-f?x0? 1 = lim + lim 2Δx→0 Δx 2Δx→0 -3Δx a 3a = + =2a,故选 B. 2 2 1 2.曲线 y= 上点(1,1)处的切线方程为( x A.x+y-2=0 C.x-2y+1=0 [答案] A 1 -1 -1 Δy f?1+Δx?-f?1? 1+Δx [解析] = = = Δx Δx Δx 1+Δx Δy Δx→0 时, 趋于-1,∴f′(1)-1,∴所求切线为 x+y-2=0. Δx 3.(2014· 枣阳一中,襄州一中,宜城一中,曾都一中期中联考)2014 年 8 月在南京举办 的青奥会的高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关 系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则瞬时速度为 0m/s 的时刻是( 65 A. s 98 98 C. s 65 [答案] A 65 B. s 49 49 D. s 65 ) ) B.x-y+2=0 D.2x-y+1=0

65 [解析] h′(t)=-9.8t+6.5,由 h′(t)=0 得 t= ,故选 A. 98 二、填空题 π 4.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角为 ,则 f′(x0)=________. 4 [答案] 1 π [解析] f′(x0)=tan =1. 4 1 5.抛物线 y= x2 在点(-2,1)处的切线方程为________;倾斜角为________. 4 [答案] x+y+1=0 135° [解析] f′(-2)=li m
Δx→0

Δy Δx

1 [?-2+Δx?2-?-2?2] 4 =li m Δx Δx→0 1 =li m (-1+ Δx)=-1. 4 Δx→0 则切线方程为 x+y+1=0,倾斜角为 135° . 三、解答题 1 6. 已知点 M(0, -1), 过点 M 的直线 l 与曲线 f(x)= x3-4x+4 在 x=2 处的切线平行. 求 3 直线 l 的方程. [分析] 由题意,要求直线 l 的方程,只需求其斜率即可,而直线 l 与曲线在 x=2 处的 切线平行,只要求出 f′(2)即可. 1 1 1 [解析] Δy= (2+Δx)3-4(2+Δx)+4-( ×23-4×2+4)= (Δx)3+2(Δx)2, 3 3 3 Δy 1 = (Δx)2+2Δx. Δx 3 Δy Δx 趋于 0 时, 趋于 0,所以 f′(2)=0. Δx 所以直线 l 的斜率为 0,其方程为 y=-1.

一、选择题 1.设函数 f(x)=ax+3,若 f′(1)=3,则 a 等于( A.2 C.3 [答案] C B.-2 D.-3 )

[解析] ∵f′(x)= lim
Δx→0

f?x+Δx?-f?x? Δx

= lim
Δx→0

a?x+Δx?+3-?ax+3? =a Δx

∴f′(1)=a=3. 2.如果函数 f(x)= x在点 x=x0 处的瞬时变化率是 3 A. 4 C.1 [答案] A [解析] = = x0+Δx- x0 Δy = Δx Δx Δx? x0+Δx+ x0? 1 x0+Δx+ x0 1 3 = 2 x0 3 2 3 x0=3, 1 B. 2 D.3 3 ,则 x0 的值是( 3 )

? x0+Δx- x0?? x0+Δx+ x0?



∴ x0=

3 3 ,∴x0= 2 4 f?x+1?-f?1? =3,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 2x

3.设 f(x)为可导函数,且满足条件lim
x→0

的切线的斜率为( 3 A. 2 C.6 [答案] C [解析] lim
x→0

) B.3 D.无法确定

f?x+1?-f?x? 1 f?x+1?-f?1? = lim 2x 2 x→0 x

1 = f′(1)=3,∴f′(1)=6.故选 C. 2 4.已知 y=f(x)的图像如右图所示,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( )

A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 [答案] B [解析] 由导数的几何意义知,f′(xA)、f′(xB)分别为 y=f(x)的图像在 A、B 两点处的 切线的斜率.根据图像,知 f′(xA)<f′(xB). 5.曲线 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 k,当 k=3 时,P 点坐标为( A.(-2,-8) C.(2,8) [答案] B
2 [解析] 设 P(x0,y0),则 f′(x0)=3x0 ,

)

B.(-1,-1)或(1,1) 1 1 D.(- ,- ) 2 8

3x2 0=3,得 x0=1 或 x0=-1, 所以坐标为 P(1,1)或 P(-1,-1). 二、填空题 6.如图, 函数 f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A, B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4), 则 lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? =________. Δx

[答案] -2 [解析] 由导数的概念和几何意义知, lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? 0-4 =f ′(1)=kAB= =-2. Δx 2-0

7.已知函数 f(x)=x3-3ax(a∈R),若直线 x+y+m=0 对任意的 m∈R 都不是曲线 y= f(x)的切线,则 a 的取值范围为________. 1 [答案] {a|a∈R,且 a< } 3 [解析] 由题意,得 f′(x)=3x2-3a=-1 无解, 1 即 3x2-3a+1=0 无解.故 Δ<0,解得 a< . 3 三、解答题 8.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ⊥l2.

(1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴围成的三角形的面积 [解析] (1)y′= lim
Δx→0

?x+Δx?2+?x+Δx?-2-x2-x+2 Δx

= lim
Δx→0

2xΔx+?Δx?2+Δx = lim (2x+Δx+1)=2x+1. Δx Δx→0

y′|x=1=2×1+1=3, ∴直线 l1 的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2. 1 2 因为 l1⊥l2,则有 2b+1=- ,b=- . 3 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 y=3x-3, ? ?x=6, ? (2)解方程组? 1 22 得? 5 ?y=-3x- 9 . ? ?y=-2. 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为( ,- ). 6 2 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(- ,0). 3 1 25 5 125 所以所求三角形的面积 S= × ×|- |= . 2 3 2 12 9.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切,求 a 的值. [解析] 设直线 l 和曲线 C 相切于点 P(x0,y0),则 f′(x0)= lim
Δx→0 2 ?x0+Δx?3-?x0+Δx?2+1-?x3 0-x0+1? Δx

1

=3x2 0-2x0. 由题意,知切线斜率 k=1,即 3x2 0-2x0=1, 1 1 23 解得 x0=- 或 x0=1.于是切点的坐标为(- , )或(1,1). 3 3 27 1 23 23 1 32 当切点为(- , )时, =- +a,于是 a= . 3 27 27 3 27 32 当切点为(1,1)时,1=1+a,于是 a=0(舍去).所以 a 的值为 . 27 10.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂.如果烟 花距地面的高度 hm 与时间 t s 之间的关系式为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,求烟花在 t=2s 时

的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况. [解析] 烟花在 t=2s 时的瞬时速度就是 h′(2). Δh h?2+Δt?-h?2? 因为 = =-4.9-4.9Δt, Δt Δt 所以 h′(2)= lim
Δt→0

Δh = lim (-4.9-4.9Δt)=-4.9, Δt Δt→0

即在 t=2s 时,烟花正以 4.9m/s 的速度下降. 如图所示,结合导数的几何意义,我们可以看出: 在 t=1.5s 附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为 0,达到最高点并 爆裂;在 0~1.5s 之间,曲线在任何点的切线斜率大于 0 且切线的倾斜程度越来越小,也就 是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空;在 1.5s 后,曲线在任何点的切线斜率 小于 0 且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落 地.


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