2018年高考数学(理)二轮复习练习:专题限时集训10 立体几何中的向量方法 Word版含答案

专题限时集训(十) 立体几何中的向量方法 (对应学生用书第 97 页) (限时:40 分钟) 题型 1 向量法求线面角 题型 2 向量法求二面角 题型 3 利用空间向量求解探索性问题 1 2,4 3 1.(2017·郑州二模)如图 10?9,三棱柱 ABC?A1B1C1 中,各棱长均相等.D,E,F 分别为棱 AB, BC,A1C1 的中点. 图 10?9 (1)证明:EF∥平面 A1CD; (2)若三棱柱 ABC?A1B1C1 为直棱柱,求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. [解] (1)证明:在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1,连接 ED,在△ABC 中, 1 因为 D,E 分别为棱 AB,BC 的中点,所以 DE∥AC,DE= AC. 2 1 又 F 为 A1C1 的中点,可得 A1F= A1C1,所以 A1F∥DE,A1F=DE, 2 因此四边形 A1FED 为平行四边形,所以 EF∥A1D, 又 EF?平面 A1CD,A1D? 平面 A1CD, 所以 EF∥平面 A1CD. (2)法一:(几何法)因为底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中 所以 CD⊥AB, 又 AA1⊥CD, AA1∩AB=A, 所以 CD⊥平面 A1ABB1. 如图在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥A1D,交直线 A1D 于点 G, 接 CG,则 BG⊥平面 A1CD,所以∠BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 成的角. 设三棱柱的棱长为 a,可得 A1D= 可得 BG= 5a , 5 5a ,由△A1AD∽△BGD, 2 连 所 点, 在 Rt△BCG 中,sin∠BCG= BG 5 = . BC 5 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 5 . 5 因为三 所 以 法二:(向量法)设 A1B1 的中点为 O,连接 OC1,OD, 棱柱 ABC?A1B1C1 为直棱柱,所以 OD⊥平面 A1B1C1, OD⊥OC1,OD⊥OA1.又△A1B1C1 为等边三角形,所以 OC1⊥A1B1. → → → 以 O 为坐标原点,OA1,OD,OC1的方向分别为 x 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 设三棱柱的棱长为 a,则 O(0,0,0),B?- ,a,0?, ? 2 ? y 轴,z O?xyz. ? a ? C?0,a, ? ? → ?a 3 ? 3 ? → ? a ?a ? ? → a?,A1?2,0,0?,D(0,a,0).所以BC=? ,0, a?,A1D=?-2,a,0?,DC ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?2 3 ? a?. 2 ? =?0,0, ? ? → ?n·A D=0 设平面 A CD 的法向量为 n=(x,y,z),由? → ?n·DC=0 1 1 , a ? ?-2x+ay=0 得? 3 ? ? 2 az=0 设 x=2, 解得 n=(2,1,0). . → |n·BC| a 5 设直线 BC 与平面 A1CD 所成的角为 θ ,则 sin θ = = = . 2 → 5 5· a |n|·|BC| 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 5 . 5 2.(2017·合肥二模)如图 10?10(1),在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,点 E 为 AD 的中点,沿 BE 将△ABE 折起至△PBE,如图 2 所示,点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上. 图 10?10(1) 图 10?10(2) (1)求证:BP⊥CE; (2)求二面角 B?PC?D 的余弦值. 【导学号:07804077】 [解] (1)证明:因为点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上,所以平面 PBE⊥平面 BCDE, 易知 BE⊥CE, 所以 CE⊥平面 PBE,而 BP? 平面 PBE, 所以 PB⊥CE. (2)以 O 为坐标原点,以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴,过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 1 ? ?1 3 ? ?1 轴,直线 PO 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 B? ,- ,0?,C? , ,0?, 2 ? ?2 2 ? ?2 ? ? D?- , ,0?,P?0,0, 1 3 ? 2 2 ? ? ? 2? ?. 2? → → ? 1 3 2? → ? 1 1 2? → 所以CD=(-1,0,0),CP=?- ,- , ?,PB=? ,- ,- ?,BC=(0,2,0). 2 2? 2 2 ? ? 2 ?2 设平面 PCD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), ?n ·→ CD=0 则有? → ?n ·CP=0 1 1 ?-x1=0 ,即? ?x1+3y1- 2z1=0 ,令 z1= 2, ? 2 ? 可得 n1=?0, , 2?. ? 3 ? 设平面 PBC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), → ?n ·PB =0 则? → ?n ·BC=0 2 2 , ?x2-y2- 2z2=0 即? ?2y2=0 令 z2= 2, 可得 n2=(2,0, 2). 所以 cos〈n1,n2〉= , n1·n2 33 = . |n1||n2| 11 33 . 11 考虑到二面角 B?PC?D 为钝角,则其余弦值为- 2π 3.(2017·郑州三模)如图 10?11,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠BCD= ,四边形 ACFE 为矩形, 3 且 CF⊥平面 ABCD,AD=CD=BC=CF. 图 10?11 (1)求证:EF⊥平面 BCF; (2)点 M 在线段 EF 上运动, 当点 M 在什么位置时, 平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大, 并求此时二面角的余弦值. [解] (1)证明:在梯形 ABCD 中,设 AD=CD=BC=1,

相关文档

2018年高考数学(理科)二轮复习 专题限时集训10 立体几何中的向量方法 Word版含答案
2018年高考数学二轮复习练习(江苏) 专题限时集训10 立体几何中的向量方法Word版 含答案
2018年高考数学理二轮复习练习:专题限时集训10 立体几何中的向量方法 含答案 精品
2018年高考数学(理)复习练习:专题限时集训10 立体几何中的向量方法含答案
高考数学二轮复习练习:专题限时集训10 立体几何中的向量方法 Word版含答案
2018年浙江高考数学二轮复习练习:专题限时集训10 立体几何中的向量方法 含答案 精品
专题5 第3讲用空间向量的方法解立体几何问题(理) Word版 含解析 2018年高考数学二轮复习课后强化训练
2018年高考数学二轮复习练习(江苏) 专题限时集训9 立体几何Word版 含答案
2018年浙江高考数学二轮复习练习:专题限时集训10 立体几何中的向量方法 Word版含答案
2018年江苏高考数学二轮复习练习:专题限时集训9 立体几何 Word版含答案
电脑版