【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第2章 3 计算导数]

第二章

§3

一、选择题 1.函数 y=lgx 在 x=1 处的瞬时变化率为( A.0 C.ln10 [答案] D [解析] y′= 1 1 1 ,∴函数在 x=1 处的瞬时变化率为 = . xln10 1×ln10 ln10 B.1 1 D. ln10 )

2.(2014· 新课标Ⅱ理,8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a =( ) A.0 C.2 [答案] D [解析] 1 ∵f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a- . x+1 B.1 D.3

∴f(0)=0,且 f′(0)=2.联立解得 a=3,故选 D. 3.(2014· 三峡名校联盟联考)曲线 y=x2 在点 P(1,1)处的切线方程为( A.y=2x C.y=2x+1 [答案] B [解析] y′=2x,∴y′|x=1=2, ∴切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 二、填空题 4 . 过 原 点作 曲线 y = ex 的 切 线 ,则 切 点的 坐 标为 ____________ ,切 线 的斜 率 为 ____________. [答案] (1,e) e [解析] ∵(ex)′=ex,设切点坐标为(x0,ex0),则过该切点的直线的斜率为 ex0, ∴直线方程为 y-ex0=ex0(x-x0). ∴y-ex0=ex0· x-x0· ex0. ∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程. ∴x0· ex0=ex0.∴x0=1. ∴切点为(1,e),斜率为 e. B.y=2x-1 D.y=-2x )

5.下列命题中,正确命题的个数为____________. ①若 f(x)= x,则 f′(0)=0; ②(logax)′=xlna(a>0,a≠1); ③加速度是动点位移 s(t)对时间 t 的导数; ④曲线 y=x2 在(0,0)处没有切线. [答案] 0 [解析] ①因为 f(x)= x, 当 x 趋于 0 时不存在极限, 所以 x=0 处不存在导数, 故错误; ②(logax)′= 1 ,(a>0,a≠1),故错误;③瞬时速度是位移 s(t)对时间 t 的导数,故错误; xlna

④曲线 y=x2 在(0,0)处的切线为直线 y=0,故错误. 三、解答题 6.求下列函数的导数 1 (1)y= 2; x 3 (2)y= x; (3)y=log2x. 1? -2 -3 [解析] (1)y′=? ?x2?′=(x )′=-2x 1 1 2 3 (2)y′=( x)′=(x )′= x- 3 3 3 1 (3)y′=(log2x)′= xln2

一、选择题 1.下列各式正确的是( )

A.(sina)′=cosa(a 为常数) B.(cosx)′=sinx C.(sinx)′=cosx 1 - - D.(x 5)′=- x 6 5 [答案] C [解析] 由导数的运算法则易得,注意 A 选项中的 a 为常数,所以(sina)′=0.故选 C. 2.(2013· 无锡模拟)曲线 y=x3+ax+1 的一条切线方程为 y=2x+1,则实数 a=( A.1 C.2 B.3 D.4 )

[答案] C [解析] 设切点为(x0,y0),
2 则 f ′(x0)=3x0 +a,

∴3x2 0+a=2 又∵切点既在曲线上,又在切线上,
3 ∴x0 +ax0+1=2x0+1





? ?x0=0, 由①②得? ? ?a=2.

3.函数 y= x在 x=1 处的导数是( 1 A.- 2 C.1 [答案] B

) 1 B. 2 D.-1

[解析] 首先,对 x=1 给定自变量 x 的一个改变量 Δx,得到相应函数值的改变量 Δy= 1+Δx-1 Δy 1 f(1+Δx)-f(1)= 1+Δx-1,再计算相应的平均变化率 = = Δx Δx 1+Δx+1 当 Δx 趋于 0 时,可以得出导数 y′= lim
Δx→0

1 1 = . 1+Δx+1 2 )

1 4.过曲线 y= 上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标是( x 1 ? A.? ?2,2? 1 ? C.? ?-2,-2? [答案] B 1? 1 [解析] y′=? ? x?′=-x2, 1 1 解得- 2=-4,解得 x=± , x 2 1 ? ? 1 ? 所以 P 点的坐标为? ?2,2?或?-2,-2?,故选 B. 1 ? ?1 ? B.? ?-2,-2?或?2,2? 1 ? D.? ?2,-2?

5.(2013· 嘉兴高二检测)已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相 a 垂直,则 为( b 2 A. 3 1 C. 3 ) 2 B.- 3 1 D.- 3

[答案] D [解析] 由导数的定义可得 y′=3x2, ∴y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1=3, a a 1 由条件知,3× =-1,∴ =- . b b 3 二、填空题 6.函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈ N*,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. [答案] 21 [解析] 函数 y=x2(x>0)在点(a1,a2 1)处(a1=16)即点(16,256)处的切线方程为 y-256=

32(x-16),令 y=0 得 a2=8;同理函数 y=x2(x>0)在点(a2,a2 2)处(a2=8)即点(8,64)处的切线 方程为 y-64=16(x-8),令 y=0 得 a3=4,依次同理求得 a4=2,a5=1. 所以 a1+a3+a5=21. 1 7.直线 y= x+b(b 是常数)是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 2 [答案] ln2-1 1 1 1 [解析] 对曲线对应的函数求导得 y′= ,令 = 得 x=2,故切点坐标是(2,ln2),代 x x 2 1 入直线方程,得 ln2= ×2+b,所以 b=ln2-1. 2 三、解答题 1 8.试比较曲线 y=x2 与 y= 在它们交点处的切线的倾斜角的大小. x y=x ? ? [解析] 解方程组? 1 ?y=x ?
2

? ?x=1 ,得? ,即两条曲线的交点坐标为(1,1). ?y=1 ?

对于函数 y=x2,y′=2x,所以曲线 y=x2 在交点(1,1)处的切线 l1 的斜率 k1=2;对于函 1 1 1 数 y= ,y′=- 2,所以曲线 y= 在交点(1,1)处的切线 l2 的斜率 k2=-1. x x x 由于 k1>0,k2<0,所以切线 l1 的倾斜角小于切线 l2 的倾斜角. 1 9.在曲线 y=f(x)= 2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135° . x [分析] 根据导数的几何意义先求出切点的横坐标,再代入方程求出纵坐标. [解析] 设切点坐标为 P(x0,y0), f′(x0)=-2x0 3=tan135° =-1,


1 - 即-2x0 3=-1,∴x0=2 . 3

2 代入曲线方程得 y0=2- , 3 1 2 ∴点 P 的坐标为(2 ,2- ). 3 3 10.试求过点 A(3,5)且与曲线 y=f(x)=x2 相切的直线方程. [分析] 本题的关键在于求切线的斜率,首先判断 A 是否在曲线上,若 A 在曲线上,则 A 可能为切点,否则 A 不是切点,则需要设出切点的坐标. [解析] 点 A 不在曲线 y=x2 上,应先求切点.设所求切线的切点为 P(x0,y0),因为 P 是曲线 y=x2 上一点,所以 y0=x2 y0)的切线斜率为 f′(x0)=2x0,而所求切线过 0.又过点 P(x0, y0-5 y0-5 点 A(3,5)和 P(x0,y0)两点,所以其斜率又应为 .所以 2x0= ,将它与 y0=x2 0联立,得 x0-3 x0-3 y =x , ? ?x0=1, ?x0=5, ?0 0 ? ? 所以? 或? 即切点为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线 ? y0-5 ? ? 2x0= , ?y0=1 ?y0=25, ? x0-3 ? 斜率 k1=2,相应切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1;当切点为(5,25)时,切线斜率 k2 =10,相应切线方程为 y-25=10(x-5),即 y=10x-25. 综上,所求切线方程为 y=2x-1 或 y=10x-25.
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