江苏省南京市金陵中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试数学试题(纯word,有答案)有附加题


金陵中学 2013-2014 学年度第一学期高三期中试卷 必做题

数学

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上. 1 1. 设集合 A={x|- <x<2} ,B={x|x2≤1} ,则 A∪B= ▲ . 2 2.复数 i2(1-2i)的实部是 ▲ . 3.命题“ ? x∈R,x2+ax+1<0” 的否定是 4.函数 f(x)= 1-log3x的定义域是 ▲ . ▲ . ▲ .

5.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则 a4+ a5+ a6 =

6.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,向量 c=2a+b.则向量 c 的模为 ▲ . x2 y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y= 3x 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程,则此双曲线的离心 a b 率为 ▲ .

8.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题:其中正确命题的序号是 ▲ . ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 α⊥β,则 l∥m; ③若 l∥m,则 α⊥β; ④若 l⊥m,则 α∥β. .

9. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、 n 作为点 P 的横、 纵坐标, 则点 P 在直线 x+y = 5 下方的概率为 ▲ π 10.已知 f(x)=3sin(2x- ),若存在 α∈(0,π ),使 f(α+x)= f(α-x)对一切实数 x 恒成立,则 α= 6 ▲ . ▲

11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x2+2x, 若 f(2-a2)>f(a), 则实数 a 的取值范围是 12.已知函数 f(x)= |lg(x-1)| 若 a≠b,f(a)= f(b) ,则 a+2b 的取值范围是 ▲
2 x





13..定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(-1,4]时,f(x)=x -2 ,则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个数 是___ ▲ .

4x+k?2x+1 14.已知函数 f(x)= x x ,若对任意的实数 x1,x2,x3,不等式 f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立,则实数 k 的取值范围是 ▲ . 4 +2 +1 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内 作答. ........ 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a=(2cosx , 2sinx) ,b=( 3cosx , cosx),设函数 f(x)=a?b- 3, 求: (2)若 f (

(1) f(x)的最小正周期和单调递增区间;

?

? ) ? f ( ? ) ? 6 , 且 α∈(2,π). 求 α. 2 6 2 12

?

?

?

π

1

16. (本题满分 14 分)

如图,四边形 ABCD 为平行四边形, 四边形 ADEF 是正方形, 且 BD⊥平面 CDE,

H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

17. (本题满分 14 分) 满足 bn =

已知等差数列{an}中,首项 a1=1,公差 d 为整数,且满足 a1+3<a3, a2+5> a4,数列{bn}

1 ,其前 n 项和为 Sn. an an+1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 S2 为 S1,Sm (m∈N )的等比中项,求正整数 m 的值. (3)对任意正整数 k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为 ck,求数列{cn}的前 n 项和 Tn


18.(本小题满分 16 分)

如图,某自来水公司要在公路两侧铺设水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线铺

设线路 l1, 在路南侧沿直线铺设线路 l2, 现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通. 已知 AB = 60m, BC = 80m, π 公路两侧铺设水管的费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分铺设水管的费用为每米 2 万元,设∠EFB= -α,矩形 2 区域内的铺设水管的总费用为 W. (1)求 W 关于 α 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角 α.
l1 A E D

公路

公路 l2

B

F

C

2

x2 y2 3 19. (本小题满分16分)已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率e= ,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、 a b 2 2 5 右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为 . 5 (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过原点且斜率为 的直线 l,与椭圆交于 E,F 点,试判断∠EF2F 是锐角、直角还是钝角,并写出理由; 2 (3)P 是椭圆上异于 A1,A2 的任一点,直线 PA1,PA2,分别交 x 轴于点 N,M,若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值.
y A1 T P F1 B1 O F2 M B2 G N x

A2

2 20. (本大题满分 16 分)已知函数 f(x)=a|x|+ x(a>0,a≠1) a (1)若 a>1,且关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (2)设函数 g(x)= f(-x),x∈[-2,+∞) , g ? x ? 满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

3

附加题
21【选做题】在下面 A,B,C,D 四个小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径,P 是⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分 别为 C,D,且 PC=PD, 求证: (1)l 是⊙O 的切线; (2)PB 平分∠ABD.

?0 -1? ?1 2? B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 M=? ?,N=? ?. 2 ?3 4? ?1 3 ? 0 对应的变换作用下得到 Q(0,1),求点 P 的坐标. (1)求矩阵 MN; (2)若点 P 在矩阵 MN 0 9 0 6 0 2 10 分) C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分
在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ( ? 为参数) , ? ? y ? 2sin ? ,

若以直角坐标系 xoy 的原点为极点,OX 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 π ρsin(θ+ )=0, 求与直线 l 垂直且与曲线 C 相切的直线 m 的极坐标方程. 4

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) ? 设 f(x)=x2 x+13,实数 a 满足| x-a|<1,求证:| f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

4

22. (本小题满分 10 分)

口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么 7 30



继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X, 若 P(X=2)= 求: (1)n 的值; (2)X 的概率分布与数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 设 P1,P2,…,Pj 为集合 P={1,2,…,i}的子集,其中 i,j 为正整数.记 aij 为满 足 P1∩P2∩…∩Pj=?的有序子集组(P1,P2,…,Pj)的个数. (1)求 a22 的值; (2)求 aij 的表达式.

5

参考答案
1. 【答】 {x|-1≤x<2} 2.【答】 (-1)

必做题
2

3.【答】 ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0

4.【答】 (0,3]

5.【答】16 6.答】2 3【解析】|c|2=(2a+b)2=4a2+4a· b+b2=4+4× 1× 2× cos60° +4=12,即|c|=2 3 7. 【答】2 【解析】由题意
b c b ? 3 ,∴ e ? ? ( )2 ? 1 ? 2 . a a a

8.【答】 ①③

1 9. 【答】 . 【解析】点 P 在直线 x+y = 5 下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概 6 6 1 率为 = . 6× 6 6 10.【答】

? 5?
3 , 6

11.【答】(-2,1)

12.【答】 2 2 ? 3 , 所以 f ( x )

x) ? f( x ? 5 ) 1 ? 6 13.答】 604 【解析】 由 f(

x ?5 ) ? f( x ? 5 ) 0 ? , 可知 f ( x ? 5) ? f ( x) ? 16 , 则 f(
2 x

是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 ( ?1, 9] 上,函数 f ( x) ? x ? 2 在 x ? (?1, 4] 区间内有 3 个零点,在

x ? (4,9] 区间内无零点, 故 f ( x ) 在一个周期上仅有 3 个零点, 由于区间 (3, 2013] 中包含 201 个周期, 又 x ? [0,3]
时也存在一个零点 x ? 2 ,故 f ( x ) 在 [0, 2013] 上的零点个数为 3 ? 201 ? 1 ? 604 . 14.【答】 [? , 4] . 【解析】 f ( x) ? 则 f (t ) ?

1 2

4 x ? k ? 2 x ? 1 2 x ? 2? x ? k x ?x ? x ,令 2 ? 2 ? t , 4x ? 2x ? 1 2 ? 2? x ? 1

t?k (k ? 1) ? 1? (t≥2) . t ?1 t ?1

原题等价为:对于 t≥2 , [2 f (t )]min≥ [ f (t )]max 恒成立,求实数 k 的取值范围. (1)当 k ? 1 时,显然成立; (2)当 k ? 1 时,

k ?2 k ?2 1 ≤f (t ) ? 1 ,由 2( )≥1 ,得 ? ≤k ? 1 ; 3 3 2 k ?2 k ?2 ,由 2 ?1 ,得 1 ? k≤4 . ≥ 3 3
1 2

(3)当 k ? 1 时, 1 ? f (t )≤

综上,实数 k 的取值范围为 [? , 4] . 15.解 f ( x) ? a? b ? 3 = 2 3 cos2 x ? 2sin x cos x ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ?

? ??

?
3

) -3 分

2? ? ? ---------------5 分 2 5? ? ? ? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k ? ? 12 12 2 3 2 5? ? , k? ? ](k ? Z ) ---------------8 分 ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? 12 12 ? ? ? ? (2)∵ f ( ? ) ? f ( ? ) ? 6 ,∴ 2sin ? ? 2cos ? ? 6 , 2 6 2 12
(1)函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ∴ 2 2 sin(? ?

?

4

) ? 6 …………………………………………………………11 分

6

∴ sin(? ? ∴? ?

?
4

)?


3 ? ? ? 3? ,∵ ? ? ( , ? ) ,∴ ? ? ? ( , ), 2 2 4 4 4

?
4

?

?
3

2? 7? 11? ,∴ ? ? 或 ---------------14 分 3 12 12

16.证明:⑴ G 是 AE , DF 的交点,∴ G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中点,

∴ ?EAB中, GH // AB , ∵ABCD 为平行四边形 ∴ GH // CD , ∴AB∥CD

---------------2 分

----------------------------------------------4 分 ∴ GH // 平面 CDE -------------------9 分 ------------------10 分 -------------------7 分

又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ⑵? BD ? 平面CDE ,

所以 BD ? ED ,

又因为四边形 AFED 为正方形,? ED ? AD ,

? AD ? BD ? D , ED ? 面ABCD ,- ----------------12 分

? ED ? 面AFED 面AFED ? 面ABCD . ----------------14 分
? a1 ? 3 ? a1 ? 2d , 3 5 17.解: (1)由题意,得 ? 解得 < d < . a ? d ? 5 ? a ? 3 d , 2 2 ? 1 1

……………………2 分

又 d∈Z,∴d = 2. (2)∵ bn ?

∴ a n =1+(n-1) ? 2=2n-1.

………………………4 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ………………………………..6 分 an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 n 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( …………………7 分 )? ? )] ? (1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∵ S1 ?

1 m 1 2 m ?2? ? 2 ? Sm S1 ,即 ? ? ? ? , S 2 ? , Sm ? , S 2 为 S 1 , S m ( m ? N )的等比中项,∴ S2 , 3 2m ? 1 3 5 2m ? 1 ?5?

2

解得 m =12. (3)对任意正整数 k, 2 ? 2n ? 1 ? 2 ,则 2
k 2k
k ?1

……………………………………….9 分

?

1 1 ? n ? 2 2 k ?1 ? , 2 2
…………………………………12 分
2n?1

而 k ? N ,由题意可知 ck ? 2

?

2 k ?1

? 2k ?1 ,
3

于是 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? ? ? ? ? ?cn ? (2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?2
1

) ? (20 ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?2n?1 )
………14 分

?

2 ? 22 n ?1 1 ? 2n 22 n ?1 ? 2 22 n ?1 ? 3 ? 2n ? 1 2 2 n ?1 ? 3 ? 2 n ? 1 n T ? ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? , 即 . n 3 1 ? 22 1? 2 3 3

18.解: (1)如图,过 E 作 EM ? BC ,垂足为 M,由题意得∠MEF=α, 故有 MF ? 60 tan ? , EF ?

60 , AE ? FC ? 80 ? 60 tan ? ,……………….3 分 cos ?

7

所以 W ? (80 ? 60 tan ? ) ?1 ?

60 ?2 cos ?

(2)W ? 80 ? 60

sin ? 1 sin ? ? 2 ? 120 . ? 80 ? 60 cos ? cos ? cos ? sin ? ? 2 设 f (? ) ? , cos ? cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? ? 则 f ?(? ) ? . ………………11 分 cos 2 ? cos 2 ?
令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2 sin ? ? 0 ,即 sin ? ?

π 4 120 , tan ? 0 ? ) ……..……………8 分 =80+ -60tanα(其中 0 ≤? ≤? 0 ? cosα 2 3

? 1 ,得 ? ? . 6 2
( ,?0 ) 6
单调递减 …………… 14 分

列表

?
f ?(? )
f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

?

?
6

时有 f (? )max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 60 3 .

答:铺设水管的最小费用为 80 ? 60 3 万元,相应的角 ? ? 3 , 2

?
6

. ………………… 16 分

19.解: (1)因为椭圆C的离心率e=

y A1 T P F1 B1 O F2 M B2 G N x

故设 a=2m,c= 3m,则 b=m. 直线 A2B2 方程为 bx-ay-ab=0, 即 mx-2my-2m =0. 所以 2m 2 2 5 = ,解得 m=1. 5 m2+4m2
2

A2

x2 所以 a=2,b=1,椭圆方程为 +y2=1. ………………… 5 分 4 x2 2 +y =1, 4 2 2 (2)由 得 E( 2, ),F(- 2,- ).……………………………….7 分 1 2 2 y= x, 2

? ? ?

2 2 → → 又 F2( 3,0),所以F2E=( 2- 3, ),F2F=(- 2- 3,- ), 2 2 2 2 1 → → 所以F2E· F2F=( 2- 3)× (- 2- 3)+ × (- )= >0. 2 2 2 所以∠EF2F 是锐角. (3)由(1)可知 A1(0,1) A2(0,-1),设 P(x0,y0), y0-1 x0 直线 PA1:y-1= x,令 y=0,得 xN=- ; x0 y0-1
8

………………… 10 分

y0+1 x0 直线 PA2:y+1= x,令 y=0,得 xM= ;……………………………………12 分 x0 y0+1 1 x0 x0 解法一:设圆 G 的圆心为( ( - ),h), 2 y0+1 y0-1 1 x0 x0 x0 2 1 x0 x0 2 1 x0 x0 2 则 r2=[ ( - )- ] +h2= ( + ) +h2.OG2= ( - ) +h2. 2 y0+1 y0-1 y0+1 4 y0+1 y0-1 4 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 1 x0 x0 2 x02 OT2=OG2-r2= ( - ) +h2- ( + ) -h2= .………….14 分 4 y0+1 y0-1 4 y0+1 y0-1 1-y02 而 x02 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OT2=4,所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. 4 …… 16 分

解法二:OM· ON=|(-

x0 x0 x02 x02 )· |= +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OM· ON=4. 2,而 4 y0-1 y0+1 1-y0 …………… 16 分

由切割线定理得 OT2=OM· ON=4.所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2.

x 20.解:(1)令 a ? t , x ? 0 ,因为 a ? 1 ,所以 t ? 1 ,所以关于 x 的方程 f ? x ? ? m 有两个不同的正数解等价于

关于 t 的方程 t ?

2 ? m 有相异的且均大于 1 的两根,即 关于 t 的方程 t 2 ? mt ? 2 ? 0 有相异的且均大于 1 的两 t

根,…………………………………………2 分

?? ? m2 ? 8 ? 0, ? ?m 所以 ? ? 1, ,…………………………………………………………………4 分 2 ? 2 ? ?1 ? m ? 2 ? 0
解得 2 2 ? m ? 3 ,故实数 m 的取值范围为区间 (2 2,3) .……………………………6 分 (2) g ( x) ? a| x| ? 2a x , x ?[?2, ??) ①当 a ? 1 时, a) x ? 0 时, a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ? [3, ??) ,

2? ax ? ?1 1 b) ?2 ? x ? 0 时, 2 ? a x ? 1 g ( x) ? a? x ? 2a x ,所以 g '( x) ? ?a ? x ln a ? 2a x ln a ? ln a ……8 分 ax a
2

ⅰ)当

1 1 ? 即 1 ? a ? 4 2 时,对 ?x ? (?2,0) , g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [ ?2, 0) 上递增, 2 a 2

所以 g ( x) ?[a2 ?

2 2 ,3) ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合…10 分 2 a a

ⅱ) 当

1 1 1 1 ? ? 0 ? 0, 当 即 a ? 4 2 时 , 由 g ' (x ) 得 x ? ? log a 2 , 且 当 ?2 ?x ? ? l o a 时 , g ' (x ) g 2 2 a 2 2 2

1 1 1 时 , g ' (x )? 0, 所 以 g ( x) 在 [?2, ? loga 2] 上 递 减 , 在 [? l o g 上 ? log ?x ? 0 ] 递增,所以 a 2 a 2, 0 2 2 2
? 1 ? g ( x) min ? g ? ? log a 2 ? ? 2 2 ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 2 2 与 a 无关,符合要求.………12 分 ? 2 ?
9

②当 0 ? a ? 1 时, a) x ? 0 时, 0 ? a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ? (0,3] b) ?2 ? x ? 0 时, 1 ? a x ?

1 , g ( x) ? a? x ? 2a x , 2 a
x

所以 g '( x) ? ?a ln a ? 2a ln a ? 所以 g ( x) ? (3, a 2 ?

?x

2? ax ? ?1
2

ax

ln a ? 0 , g ( x) 在 [ ?2, 0) 上递减,

2 2 ] ,综合 a) b) g ( x) 有最大值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合……15 分 2 a a

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ? 4 2 .………………………………………………16 分

参考答案

附加题

21【选做题】在下面 A,B,C,D 四个小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 证明: (1)连结 OP, 因为 AC⊥l,BD⊥l, 所以 AC//BD. 又 OA=OB,PC=PD, 所以 OP//BD,从而 OP⊥l. 因为 P 在⊙O 上, 所以 l 是⊙O 的切线. ...........5 分 (2)连结 AP, 因为 l 是⊙O 的切线,所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90° ,∠BAP+∠PBA=90° , 所以∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD. .........10 分

B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 解: (1)MN=?

?1 2? ?0 -1?=?2 ? ? ? ? ?3 4? ?1 3? ?4
解法一:

5?

(2)设 P(x,y),则

…………5 分 ?; 9? 2x+5y=0, ?2 5? ?x?=?0?,即? ? ? ? ?? ? ? ?4 9? ?y? ?1? ?4x+9y=1. …………10 分 5? 9 5? - x? ? ? 2?.所以? 2 2? ? ?=? ? ? ?y? -1? ? 2 -1?

?x=5, ? 5 解得? 2 即 P( ,-1). 2 ?y=-1, ?
解法二: 5 即 P( ,-1). 2 C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)

?2 因为? ?4

9 - 5?-1 ? ? ? =? 2 9? ? 2

? 5 ? ?0?=? 2 ?. ? ? ? ? ?1? ?-1?
…………10 分

10

解: l : y ? ? x, C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

设m: y ? x?b,

? 直线 m 与 C 相切,可得

| 2 ?b| · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 2,?b ? 2 或 b ? ?3 2 ,· 1?1

· · 10 分 ? 直线 m 的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或 ? cos? ? ? sin ? ? 3 2 ? 0 · D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 证: ? f ( x) ? x ? x ? 13 , ? | f ( x) ? f (a ) |?| x ? x ? a ? a | ? x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ,
2 2 2

又? x ? a ? 1 ? ( x ? a ) ? 2a ? 1 ? x ? a ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 2( a ? 1) .…………10 分 [必做题] 22.解: (1)由题知 P( X ? 2) ?
1 1 A3 ? An 3n 7 ? ? , 2 (n ? 3)(n ? 2) 30 An?3

即7n 2 ? 55n ? 42 ? 0,即(7n ? 6)(n ? 7) ? 0. 因为n ? N * , 所以n ? 7.????5分
(2)由题知,X 的可能取值为 1,2,3,4,所以
1 1 A7 A32 A7 7 7 7 P( X ? 1) ? 1 ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? ? , 3 30 120 A10 10 A10

P( X ? 4) ? 1 ?

7 7 7 1 ? ? ? , 10 30 120 120

所以,X 的概率分布表为

X P

1

2

3

4

7 10

7 30

7 120

1 120

7 7 7 1 11 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 10 30 120 120 8 11 答 X 的数学期望是 . 8
所以 E ( X ) ? 1 ?

…………10 分

11

23.解: (1)由题意得 P1,P2 为集合 P={1,2}的子集, 因为 P1∩P2=?, 所以集合 P={1,2}中的元素“1”共有如下 3 种情形: 1?P1,且 1? P2;1?P1,且 1? P2;1?P1,且 1?P2; 同理可得集合 P={1,2}中的元素“2”也有 3 种情形, 根据分步乘法原理得,a22=3× 3=9; (2)考虑 P={1,2,…,i}中的元素“1”,有如下情形: 1 不属于 P1,P2,…,Pj 中的任何一个,共 C j 种; 1 只属于 P1,P2,…,Pj 中的某一个,共 C j 种; 1 只属于 P1,P2,…,Pj 中的某两个,共 C j 种; …… 1 只属于 P1,P2,…,Pj 中的某(j-1)个,共 Cj j 1种,


…………4 分

0

1

2

根据分类加法原理得,元素“1”共有 C j +C j +C j +…+Cj j 1=2j-1 种情形,


0

1

2

…………8 分 同理可得,集合 P={1,2,…,i}中其它任一元素均有(2j-1)种情形, 根据分步乘法原理得,aij=(2j-1)i. …………10 分

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