高中数学第一章空间几何体1.1第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件新人教A版必修2_图文

第一章 §1.1

空间几何体的结构

第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标
1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的 结构和有关计算.

内容索引

问题导学 题型探究

达标检测

问题导学

知识点一 思考 答案

空间几何体的定义、分类及相关概念

构成空间几何体的基本元素是什么?常见的几何体可以分成 构成空间几何体的基本元素是:点、线、面.常见几何体可以

哪几类? 分为多面体和旋转体.

梳理 类别 多面体 成的几何体 旋转体 条 定直线 旋转所形成的封闭几何体

定义

由若干个平面多边形 围 由一个平面图形绕它所在平面内的一

图形

相关
概念

多边形 面:围成多面体的各个______ 公共边 棱:相邻两个面的_______ 顶点:棱与棱的公共点 轴:形成旋转体所绕的定直线

知识点二 名称 定义 有两个面互相平行, 四边 其余各面都是____

棱柱的结构特征 相关概念 底面(底):两个 互相 平行 的面 侧面:其余各面 侧棱:相邻侧面 公共边 的_______ 顶点:侧面与底 公共顶点 面的________ 分类 按底面多

图形及表示

形 ,并且每相邻两
棱柱 个四边形的公共边 都互相 平行 ,由这 些面所围成的多面 体叫做棱柱

边形的边
数分:三

如图可记作:棱柱
ABCDEF—

棱柱、四
棱柱、

A′B′C′D′E′F′

……

知识点三 名称 定义 有一个面是多边 ____ 形,其余各面都 棱 是有一个公共顶

棱锥的结构特征 相关概念 底面(底): 多边形 面 侧面:有公共顶点的 三角形面 各个________ 侧棱:相邻侧面的公 __ 分类 按底面多

图形及表示

边形的边
数分:三

锥 点的三角形,由 如图可记作:棱
这些面所围成的 锥S—ABCD

共边 _____
顶点:各侧面的公共 ____

棱锥、四
棱锥、

多面体叫做棱锥

顶点 _____

……

知识点四 1.棱台的结构特征 名称 定义 用一个____ 平行 于棱锥底面 __________ 棱 台 的平面去截

棱台的结构特征及棱柱、棱锥、棱台之间的关系 图形及表示 相关概念 分类

上底面:平行于棱锥底面 由三棱锥、四

的_____ 截面 侧面:其余各面

棱锥、五棱锥 截得的棱台分

底面 …… 下底面:原棱锥的_____ 如图可记作: 棱台ABCD— A′B′C′D′

棱锥,底面
与截面之间

侧棱:相邻侧面的公共边 别叫做三棱台、

的部分叫做
棱台

顶点:侧面与上(下)底面 四棱台、五棱
的公共顶点 台……

2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系

[思考辨析 判断正误] 1.棱柱的底面互相平行.( √ )

2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( × )
3.若一个平行六面体的两个对角面都是矩形,则这个平行六面体一定是

直平行六面体.( √ )
4.棱柱的各个侧面都是平行四边形.( √ )

5.棱柱的两个底面是全等的多边形.( √ )

题型探究

类型一

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

命题角度1 棱柱的结构特征 例1 下列关于棱柱的说法: (1)所有的面都是平行四边形; (2)每一个面都不会是三角形; (3)两底面平行,并且各侧棱也平行. (3) 其中正确说法的序号是_____. 解析 (1)错,底面可以不是平行四边形; (2)错,底面可以是三角形; (3)正确,由棱柱的定义可知.
解析 答案

反思与感悟 棱柱结构特征的辨析方法 (1)扣定义:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都 是四边形; ②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合, 给予排除.

跟踪训练1 下列说法正确的是

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.棱柱的侧棱总与底面垂直
D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形 √ 解析 选项A,B都不正确,反例如图所示, C错误,棱柱的侧棱可能与底面垂直,也可能不垂直. 根据棱柱的定义知D正确.

解析

答案

命题角度2 棱锥、棱台的结构特征
例2 (1)下列三种叙述,正确的有

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;

③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有

A.0个 √
解析

B.1个

C.2个

D.3个

①中的平面不一定平行于底面,故①错;

②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线 不能相交于一点,故②③错.故选A.
解析 答案

(2)下列说法中,正确的是

①棱锥的各个侧面都是三角形;
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;

③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② √ C.② D.③

解析 由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;
四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面作

底面的几何体都是三棱锥,故②正确;
棱锥的侧棱交于一点不平行,故③错.
解析 答案

反思与感悟 判断棱锥、棱台的方法

(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些

说法不正确.
(2)直接法 棱锥 定底面 看侧棱 只有一个面是多边形,此面即 为底面 相交于一点 棱台 两个互相平行的面,即为底面 延长后相交于一点

跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法:

①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
①② 其中正确说法的序号是______.

解析 ①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;

③错误,如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

解析

答案

类型二

多面体的识别和判断

例3 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?



是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底面,是互

相平行的,其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行,符合棱柱的定义.
解答

(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱 柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.



截面 BCNM 右上方部分是三棱柱 BB1M - CC1N ,左下方部分是四棱

柱ABMA1-DCND1.
解答

引申探究
把本例3的几何体换成如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,

H 是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面 EFGH ,把三棱柱分成两
部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表

示;如果不是,请说明理由.



截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱
解答

柱BEFC-B1HGC1.

反思与感悟

解答识别和判断多面体的题目的关键是正确掌握棱柱的

几何特征,在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何
体间的联系与区别,不要认为底面就是上下位置.

①③④⑤ 填序号) 跟踪训练3 如图所示,关于该几何体的正确说法有__________.(

①这是一个六面体;
②这是一个四棱台;

③这是一个四棱柱;
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;

⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

解析

答案

类型三

多面体的平面展开图

例4

在长方体 ABCD- A1B1C1D1中, AB=4 , BC=3 , BB1 =5,一只蚂

蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线.

解答

反思与感悟

(1)多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求

平面上两点间的最短距离问题,常见的解法是先把多面体侧面展开成 平面图形,再用平面几何的知识来求解. (2)解答展开与折叠问题,要结合多面体的定义和结构特征,发挥空间 想象能力,必要时可制作平面展开图进行实践.

跟踪训练4 如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?



①为五棱柱;

②为五棱锥;

③为三棱台.

解答

达标检测

1.下面多面体中,是棱柱的有

A.1个 C.3个

B.2个 D.4个



解析 根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.

1

2

3

4

5

解析

答案

2.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是

A.①是棱柱

C.③不是棱锥
解析

B.②不是棱锥 √

D.④是棱台

结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱

台,③不是棱锥,故B错误.
1 2 3 4 5

解析

答案

3.下列说法中正确的是 A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 √ C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
解析 棱柱的两底面互相平行,故A正确;

棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;
立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧

棱就不是棱柱的高,故C错;
由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行

四边形,也可以是其他多边形,故D错.
1 2 3 4 5

解析

答案

4.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这 个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)


解析 两个相同的图案一定不能相邻,故B,C,D错误,只有A正确.

1

2

3

4

5

解析

答案

5.一个棱柱有 10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长 12 cm. 为____

解析 因为棱柱有10个顶点,所以棱柱为五棱柱,共有五条侧棱,
60 所以侧棱长为 5 =12(cm).

1

2

3

4

5

解析

答案

1.棱柱、棱锥定义的关注点 (1)棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可: ①有两个平面(底面)互相平行; ②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行. (2)棱锥的定义有以下两个要点,缺一不可: ①有一个面(底面)是多边形; ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.

规律与方法

2.根据几何体的结构特点判定几何体的类型,首先要熟练掌握各几何体的 概念,把握好各类几何体的性质,其次要有一定的空间想象能力.


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