30东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--不等式的证明B

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 030A

不等式的证明(教案)A
一、知识梳理: 常用的不等式的证明方法: 1、比较法 比较法证明不等式的一般步骤:作差—变形—判断—结论;为了判断作差出的符号, 有时要把这个差变形为一个常数, 或者变形为一个常数与一个或者几个平方和的形式, 也可变形为几个因式的积的形式,以便判断其正负。 2、综合法:利用某些已经证明过的不等式(均值不等式)和不等式的性质,推出所 经证明的不等式,这个证明方法叫做综合法,利用某些已经证明过的不等式和不等式 的性质要注意它们各自成立的条件。 综合法证明不等式的逻辑关系:即从已知条件 A 出发,逐步推演不等式成立的必 要条件,推导出所经证明的结论 B。 3 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的 充分条件,把证明不等式转化为这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充 分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫分析法。 4、反证法:正难则反 先假设要证明的问题不成立,以此为出发点,结合已知的条件、应用公理,定义、定 理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成 立的事实等)矛盾结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种证明方法称 为反证法。 5、放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等 式,从而达到证明的目的,这种方法叫放缩法。 所谓的放缩技巧:即欲证 A≤B,欲寻找一个(或多个)中间变量 C,使得 A≤C≤B,由 “A 到 C 就是“放” ,则 B 到 C 就上“缩” 。 二、题型探究 探究一:比较法: 例 1:若水杯中 b 克糖水中含有 a 克糖,假如再加入 m 克糖,糖水会变得更甜,试将 这一事实用数学关系式表示出来,并加以证明。

探究二:分析法和综合法 例 2:已知正数 a,b,求证: +
b a b a

≥ a+ b

1

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 030A

探究三:放缩法: 例 3:求证:1+1×2+1×2×3+?+1×2×3…×n < 2
1 1 1

例 4:证明不等式:1+ + +?+
2 3

1

1

1 n

< 2 n (n∈ N ? )

探究五:反证法: 例 5:已知 a,b,c 都是小于 1 的正数,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 中至少 有一个不大于 。
4 1

三、方法提升 (1) 、分析法是求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明不等式 转化为判定这些充分条件是否具备的问题,即“执果索因” 。 (2) 、 综合法的证明过程有时正好是分析法的逆推, 所以常用分析法探索证明的途径, 然后用综合的形式写出证明过程,即: “由因导果” 。 (3) 、证明不等式的灵活多样,但比较法,综合法,分析法和数学归纳法仍是证明不 等式的最基本的方法, 要依据题设结论的结构特点、 内在联系, 选择适当的证明方法, 要熟悉各种证明方法的中推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。 四、反思感悟

五、课时作业 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.设 0<x<1,则 a= 2 x ,b=1+x,c=

1 中最大的一个是( 1? x

) D. 不能 )

A.a B.b C.c 确定 2.(2010 北京东城区一模,4)已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是(

2

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 030A

a a > 2 b b a a C. > 2 >a b b
A.a> 3.设 a>b>0,则下列关系式成立的是( A.aabb> (ab) C.aabb= (ab)
a ?b 2

a a > >a 2 b b a a D. >a> 2 b b
B. ) B.aabb< (ab)
a ?b 2 a ?b 2

a ?b 2

D.aabb 与 (ab) )

的大小不确

定 4.设 a,b∈R+,且 ab-a-b≥1,则有( A.a+b≥2( 2 +1) C.a+b< 2 +1 5.若 0<x<

B.a+b≤ 2 +1 D.a+b >2( 2 +1) ) C.a < b

? ,设 a=2-xsinx,b=cos2x,则下式正确的是( 2

A.a ≥ b B.a=b D.a>b 答案:D 6.设 a,b,c 为△ABC 的 3 条边,且 S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则( A.S≥2P B.P <S<2P C.S >P <2P 7.若 a,xy∈R+,且 x + A.2 2

) D.P ≤S

y ≤a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
B.

) D.1

2

C.2

答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.在△ABC 中,三边 a、b、c 的对角分别为 A、B、C,若 2b=a+c,则角 B 的范围是 ___________. 9.已知 ab+bc+ca=1,则当____________时,|a+b+c|取最小值_________________. 10.民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的 比应不小于 10%,并且这个比越大,采光条件越好,则同时增加相等的窗户面积与地 板面积,采光条件变_____________(填“好”或“坏” ). 三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分)

3

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 030A

11.已知函数 f(x)=x +ax+b,当 p、 q 满足 p+q=1 时, 试证明 pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对任意 实数 x、y 都成立的充要条件是:0≤p≤1.

2

12.若 a、b∈R+且 a+b=1,求证: a ?

1 1 ? b ? ≤2. 2 2

13.已知 a、b、x、y∈R+且 求证:

1 1 ? ,x>y. a b

x y . ? x?a y?b

14.给出不等式

x2 ?1? c x2 ? c



1? c (x∈R).经验证:当 c=1,2,3 时,对于 x 取一切实数, c

不等式都成立,试问 c 取任何正数时,不等式对任何实数 x 是否都成立,若成立,则 证明,若不成立,求 c 的取值范围.

4


相关文档

30东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--不等式的证明A
31东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--不等式的证明(学生版)
68东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(2)B
68东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(1)B
1东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--集合及其运算B
50东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--双曲线B
22东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--解三角形B
65东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-几何证明选讲B
47东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-圆的方程B
51东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--抛物线B
电脑版