江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编4:三角函数_图文

江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 4:三角函数
一、填空题 1 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试)已知 ? ? 0 ,函数 y ? 3sin(?? x ?
0

?
4

) 的周期比振幅小 1,则 ? ? ______.

2 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)) 已知 cos(75 ? ? ) ?

1 0 ,则 cos(30 ? 2? ) 的值为______. 3
4 1 , tan( A ? B) ? ? ,则 5 2
??? ? ??? ? ????

3 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)在 △ ABC 中,已知 cos A ?

tan C 的值是____.
4 . (徐州、 宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 已知 O 为 △ ABC 的外心,若 5OA ? 12OB ? 13OC ? 0 ,

则 ? C 等于_____.
5 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)若点 G 为 ?ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sin C 的最大

值为________.
6 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知 x , y 均为正数, ? ? ?

?? ? ? , ? ,且满足 ?4 2?

sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? x 10 ? , ,则 的值为______. ? 2 ? 2 2 2 x y y x y 3( x ? y )
7 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试)在△ABC 中,∠A=45 ,∠C=105 ,BC=
o o

2 ,则 AC 的长度为_______.

BC 8 ( .南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试) 在 ?ABC 中, 若 9cos 2 A ? 4cos 2 B ? 5 , 则 AC 的值为
9 . (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学 试卷) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上的部分图

.

y 5

象如图所示,则 f (2013) 的值为______.
10. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)每年的 1 月 1 日是元旦节,7

?1

O

5

11 x

月 1 日 是 建 党 节 , 而 2013 年 的 春 节 是 2 月 10 日 , 因 为

2sin11? sin 71? sin[( ______ )? ? 30? ] ? sin 2013? sin 210? ,新年将注定不平凡,

(第 9 题)

请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日.
11. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)在 ?ABC 中,角 A, B, C
A

所对边的长分别为 a, b, c ,且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A ,则 sin A ? ____.
12. (南京市、 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 如图,在△ABC 中,∠B=45°,D
B D (第 9 题) C

是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为________.
13. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试)函数 f ( x) ? 2 sin ? x ?

? ?

?? ? , x ? ?? ? ,0?的单调递增区间为____. 4?

14 .( 江 苏 省 泰 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 三 数 学 试 题 ) 已 知 六 个 点

A1 ( x1 ,1) , B1 ( x2 , ?1) , A2 ( x3 ,1) , B2 ( x4 , ?1) , A3 ( x5 ,1) , B3 ( x6 , ?1) ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ,

x6 ? x1 ? 5? )都在函数 f(x)=sin(x+

? )的图象 C 上,如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线 C 上, 3

则称此两点为“好点组”,则上述六点中好点组的个数为_____________(两点不计顺序) 15. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)如果函数 y=3sin(2x+?)(0<?<?)的图象关于点 ? ( ,0)中心对称,则?=_______. 3
16 . ( 江 苏 省 无 锡 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 设 函 数

f ( x) ? cos( 3 x?? )(? 0? ?? . 若 )
y - 3π 8 O -2 (第 5 题) 15π 8 x

f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则 ? ? ________.
17. (南京市、盐 城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)已知函数

f (x)=2sin(ω x+?)(?>0)的部分图象如图所示,则 ω =________.
18( .扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 设 ?,? ? ? ?,?? ,

且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为____. 2 2 13
19. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右

3

平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持不变),得函数 y ? f ( x) 的图 3 象,则 f ( x) 的一个解析式为____.
20. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C =______. 21. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3) 的

所有零点之和为____.
22. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是__________.

px p ( x ? 1) 的最小正周期为______. cos 2 2 24 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁) 2013 届高 三第二次调研考试数学试卷) 已知角 ? 的终边经过点 P (1,?1) ,点
23. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)函数 f ( x) ? cos

A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图象上的任意两点,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2

的最小值为

?

,则 f ( ) 的值是_____. 3 2

?

y ? sin(2 x ? ) 3 的图像向左平移 ? ?? ? 0 ? 25. (南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 将函数
个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则 ? 的最小值为
?

?

.

26. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试)已知 ? 为锐角, sin(? ? 15 ) ?

4 ? ,则 cos(2? ? 15 ) ? _________. 5

1) ,B,C 27. (扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A(?1,

是函数 y ? 1 ( x ? 0) 图象上的两点,且△ABC 为正三角形,则△ABC 的高为 x
28 .( 南

_.

京 市 、 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 一 次 模 拟 考 试 数 学 试 题 ) 若

x , y 满足

1 y e2 log 2 [4 cos ( xy ) ? ] ? ln y ? ? ln 4 cos 2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的值为
2

. O
(第 12 题)

29. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡

位置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最 远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的位移为________cm.
二、解答题

30. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次 模拟考试数学试卷)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tanα =2,cosβ =-

7 2 . 10

(1)求 cos2α 的值;

(2)求 2α -β 的值.

31. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)已知向量 m

1 ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函 2

数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A 、B 、C 的对边,且 a , b , c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f ( B ) ? 1 , 求

2

1 1 的值. ? tan A tan C

32. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.

(1)若 cos(A+)=sinA,求 A 的值;(2)若 cosA=,4b=c,求 sinB 的值.

33. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,

且 A , B , C 成等差数列.

3 , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
(1)若 BA?BC ?

??? ? ??? ?

34. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图,在 ?ABC 中, B ?

?
4

,角 A 的平分

线 AD 交 BC 于点 D ,设 ?BAD ? ? , sin ? ?

??? ? ??? ? 5 .(1)求 sin ?BAC 和 sin C ;(2)若 BA?BC ? 28 ,求 AC 的长. 5

35. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知 △ ABC 的面积为 S ,角 A, B, C 的对边分别为

??? ? ??? ? 3 a , b, c , AB?AC ? S . 2 cos A ⑴求 的值;⑵若 a , b, c 成等差数列,求 sin C 的值.

36. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ?

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

(1)求 sin(? ? ? ) 的值;

(2)求 cos ? 的值.

37. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)已知函数

?? ? f ( x) ? 4 sin x cos? x ? ? ? 3 . 3? ?

⑴求 f ( x) 的最小正周期;⑵求 f ( x) 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. ? 4 6?

38. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)在 ?ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且

cos C 2a ? c ? , cos B b

(1)求 B;

(2)若 tan( A ?

?
4

) ? 7 ,求 cos C 的值.

39 . ( 苏 北 三 市 ( 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 ) 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 考 试 数 学 试 卷 ) 在 △ ABC , 已 知 (sin A?s i n B?sin C ) ( s iB n? s i n C ?sin A) ? 3 s i n Bs i n C.

(1) 求角 A 值;(2)

求 3 sin B ? cos C 的最大值.

40 . ( 苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,( 其 中

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的周期为 ? ,且图像上有一个最低点为 M (

(1)求 f ( x) 的解析式;(2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

2? , ?3) 3

) 的最大值及对应 x 的值.

41. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)在△ABC 中,角 A , B , C 所

对的边分别为 a , b ,c.已知

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

(1)求角 B 的大小;(2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.

42. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试)已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 .

uuu r uuu r (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;(2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.

43. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ) ,函数

??

?

1 2

?? ?? ? f ( x) ? (m ? n) · m .
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期 T;(Ⅱ)若不等式 f(x)-t=0 在 x ? [

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

44( .南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小;(2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

45. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、

c,且 ccosB+bcosC=3acosB.

?? (1)求 cosB 的值;(2)若BA?BC=2,求 b 的最小值.

46. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .

??? ? ????

(1)求 tan 2 A 的值;(2)若 B ?

?
4

??? ? ??? ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S .

江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 4:三角函数

一、填空题 47 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知 ? ? 0 ,函数 y ? 3sin(?? x ?

?
4

) 的周期比振幅小 1,则

? ? ______.
【答案】1 ; 48 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)已知 cos(75 ? ? ) ?
0

1 0 ,则 cos(30 ? 2? ) 的值 3

为__________.
【答案】

7 9
4 1 , tan( A ? B) ? ? ,则 5 2

49 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)在 △ ABC 中,已知 cos A ?

tan C 的值是____.
【答案】

11 ; 2
??? ? ??? ? ????

50 ( .徐州、 宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 已知 O 为 △ ABC 的外心,若 5OA ? 12OB ? 13OC ? 0 ,

则 ? C 等于_____.
【答案】

3π ; 4

51 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)若点 G 为 ?ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sin C 的最

大值为________.
【答案】

3 5

52 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题) 已知 x , y 均为正数, ? ? ?

?? ? ? , ? ,且满 ?4 2?



sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? x 10 ? , ,则 的值为______. ? 2 ? 2 2 2 x y y x y 3( x ? y )

【答案】

3
o o

53 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)在△ABC 中,∠A=45 ,∠C=105 ,BC=

2 ,则 AC 的长度为

____________. 【答案】1

BC 54 ( .南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 在 ?ABC 中, 若 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 AC
的值为 .

2 【答案】 3
55 . ( 江 苏 省 泰 州 、 南 通 、 扬 州 、 宿 迁 、 淮 安 五 市 2013 届 高 三 第 三 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为______.

y 5

?1

O

5

11 x

(第 9 题)

【答案】 ? 5 3

2

56. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)每年的 1 月 1 日是元旦节,7 月 1 日是建党节,而 2013 年的春

节是 2 月 10 日,因为 2sin11? sin 71? sin[( ______ )? ? 30? ] ? sin 2013? sin 210? ,新年将注定不平凡,请在括号内 填写一个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日. 【答案】101; 本 题 的 一 般 结 论 是 4 sin x ? sin 60 0 ? x ? sin 60 0 ? x ? sin 3 x , 可 以 应 用 课 本 习 题 中 结 论

?

? ?

?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? 证得.
57. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,

且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A ,则 sin A ? ____. [来源:学,科,网 Z,X,X,K]

【答案】

5 5

58 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 如图 , 在△ABC 中 ,∠B=45°,D 是 BC 边上一

点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为________.
A

B

D (第 9 题)

C

【答案】

5 6 2

59. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)函数

?? ? f ( x) ? 2 sin? x ? ? , x ? ?? ? ,0?的单调递增 4? ?

区间为 ________.
【答案】 ? ?

? ? ? ,0 ? 4 ? ?

[来源:Z。xx。k.Com]

60 .( 江 苏 省 泰 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 三 数 学 试 题 ) 已 知 六 个 点

A1 ( x1 ,1) , B1 ( x2 , ?1) , A2 ( x3 ,1) , B2 ( x4 , ?1) , A3 ( x5 ,1) , B3 ( x6 , ?1)
( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 , x6 ? x1 ? 5? )都在函数 f(x)=sin(x+

? )的图象 C 上,如果这六个点中不同两点 3

的连线的中点仍在曲线 C 上,则称此两点为“好点组”,则上述六点中好点组的个数为_____________(两点 不计顺序) 【答案】11 61. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)如果函数 y=3sin(2x+?)(0<?<?)的图象关于点 ? ( ,0)中心对称,则?=_______. 3
【答案】 ; 62 . ( 江 苏 省 无 锡 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 设 函 数

? 3

f ( x) ? cos( 3 x?? )(? 0? ?? . 若 )

f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则 ? ? ________.[来源:学科网 ZXXK]
【答案】

? 6

63. (南京市、盐 城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)已知函数 f (x)=2sin(ω x+?)(?>0)的部分图象如图

所示,则 ω =________.
y - 3π 8 O -2 (第 5 题) 15π 8 x

【答案】

2 3

64 . ( 扬 州 、 南 通 、 泰 州 、 宿 迁 四 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 设 ?,? ? ? ?,?? , 且

sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为____. 2 2 13
【答案】 ? 16

65 3

65. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右

平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持不变),得函数 y ? f ( x) 的图 3 象,则 f ( x) 的一个解析式为____.
【答案】 y ? 2sin x ? π

?

3

?

66. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C =______. 【答案】 ?

1 ; 4

67. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3) 的

所有零点之和为____. 【答案】4

68. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是__________. 【答案】 ?

[来源:学科网 ZXXK]
px p ( x ? 1) 的最小正周期为______. cos 2 2

69. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)函数 f ( x) ? cos

【答案】2 70 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁) 2013 届高 三第二次调研考试数学试卷) 已知角 ? 的终边经过点 P (1,?1) ,点

A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图象上的任意两点,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2

的最小值为
【答案】 ?

?

,则 f ( ) 的值是_____. 3 2

?

2 2

y ? sin(2 x ? ) 3 的图像向左平移 ? ?? ? 0 ? 71. (南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 将函数
个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则 ? 的最小值为 .

?

?
【答案】 6 72 . ( 苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 ? 为 锐 角 , sin(? ? 15 ) ?
?

4 ,则 5

cos(2? ? 15? ) ? _________.
【答案】

17 2 50

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

1) ,B,C 73. (扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A(?1,

是函数 y ? 1 ( x ? 0) 图象上的两点,且△ABC 为正三角形, x 则△ABC 的高为____.[来源:Zxxk.Com] 【答案】2
74 .( 南 京 市 、 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 一 次 模 拟 考 试 数 学 试 题 ) 若

x , y 满足

log 2 [4 cos2 (xy ) ?

1 y e2 ] ? ln y ? ? ln 4 cos2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的值为

.

【答案】-1 75. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方

向,若振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的位移为 ________cm. O
(第 12 题)

答案:-1.5. 本题主要考查三角函数及其应用.考题取自教材的例题.教学中应关注课本,以及有关重要数学模型的应用, 讲评时还要强调单位书写等问题.
【答案】

10 ? S(t)= 3sin( ?t ? ) ,求 S(5)= -1.5 即可. 3 2
二、解答题 76. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次 模拟考试数学试卷)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tanα =2,cosβ =-

7 2 . 10

(1)求 cos2α 的值;
【答案】解(1)方法一:

(2)求 2α -β 的值.

sinα 因为 tanα =2,所以 =2,即 sinα =2cosα cosα 4 1 2 2 2 2 又 sin α +cos α =1,解得 sin α = ,cos α = 5 5 所以 cos2α =cos α -sin α =方法二: 因为 cos2α =cos α -sin α = cos α -sin α 1-tan α = 2 , 2 2 sin α +cos α tan α +1
2 2 2 2 2 2 2 2

3 5

1-2 3 又 tanα =2,所以 cos2α = 2 =2 +1 5 (2)方法一: π 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ). 2 3 π 4 又 cos2α =- <0,故 2α ∈( ,π ) ,sin2α = 5 2 5 7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ) 10 10 2 4 7 2 3 2 2 所以 sin(2α -β )=sin2α cosβ -cos2α sinβ = ×()-(- )× =5 10 5 10 2 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α -β =2 2 4 方法二: π 2tanα 4 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈(0, ),tan2α = =- . 2 2 1-tan α 3 从而 2α ∈( π ,π ) 2

7 2 2 π 由 cosβ =,β ∈(0,π ),得 sinβ = ,β ∈( ,π ), 10 10 2 1 因此 tanβ =7 4 1 - + 3 7 tan2α -tanβ 所以 tan(2α -β )= = =-1 1+tan2α tanβ 4 1 1+(- )×(- ) 3 7 π π π 又 2α -β ∈(- , ),所以 2α - β =2 2 4

77. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)已知向量 m

1 ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函 2

数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A 、B 、C 的对边,且 a , b , c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f ( B ) ? 1 , 求

2

1 1 的值. ? tan A tan C

【答案】解:(Ⅰ)

f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 2 2 2 6

故 f ( x) max ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z ,

∴取最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (Ⅱ) f ( B ) ? sin(2 B ?

?
3

, k ? Z}

?
6

) ? 1 ,? 0 ? B ?

?
2

,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

? 2B ?

?
6

?

?
2

,B ?

?
3

5? , 6

由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C

?

sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? 2 sin B sin B 3

78. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.

(1)若 cos(A+)=sinA,求 A 的值; (2)若 cosA=,4b=c,求 sinB 的值.
【答案】略 79. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,

且 A , B , C 成等差数列.

3 , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
(1)若 BA?BC ?
【答案】

??? ? ??? ?

80. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图,在 ?ABC 中, B ?

?
4

,角 A 的平分线

AD 交 BC 于点 D ,设 ?BAD ? ? , sin ? ?

5 . 5

(1)求 sin ?BAC 和 sin C ;(2)若 BA?BC ? 28 ,求 AC 的长.

??? ? ??? ?

A

B

D

C

【答案】

81. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知 △ ABC 的面积为 S ,角 A, B, C 的对边分别为

??? ? ??? ? 3 a , b, c , AB?AC ? S . 2 ⑴求 cos A 的值; ⑵若 a , b, c 成等差数列,求 sin C 的值. ??? ? ??? ? 3 3 1 4 【答案】⑴由 AB?AC ? S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,即 sin A ? cos A 2 2 2 3 9 代入 sin 2 A + cos2 A ? 1 ,化简整理得, cos2 A ? 25 3 4 由 sin A ? cos A ,知 cos A ? 0 ,所以 cos A ? 5 3 ⑵由 2b ? a + c 及正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C , 即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C ,
所以 2sin A cos C + 2cos A sin C ? sin A + sin C .①

3 4 4 及 sin A ? cos A ,得 sin A ? , 5 3 5 4 ? sin C 代入①,整理得 cos C ? . 8 代入 sin 2 C + cos2 C ? 1 ,整理得 65sin 2 C ? 8sin C ? 48 ? 0 , 12 4 解得 sin C ? 或 sin C ? ? . 13 5
由 cos A ?

因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ?

12 13
3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

82. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题) 已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ?

(1)求 sin(? ? ? ) 的值;

(2)求 cos ? 的值.[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

π π π 【答案】解:(1)∵ ? , ? ? (0, ) ,从而 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 1 π 又∵ tan(? ? ? ) ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? ? ? ? 0 3 2

∴ sin(? ? ? ) ? ?

10 10

3 10 . 10 3 4 ∵ ? 为锐角, sin ? ? ,∴ cos ? ? 5 5 ∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

(2)由(1)可得, cos(? ? ? ) ?

4 3 10 3 10 9 10 ? ? ? ? (? )? 5 10 5 10 50

83. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)已知函数

?? ? f ( x) ? 4 sin x cos? x ? ? ? 3 . 3? ?

⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. ? 4 6?

【答案】解:(Ⅰ) f ? x ? ? 4sin x ? cos x cos

? ?

? ?? ? sin x sin ? ? 3 ? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 3 3?

? sin 2x ? 3 cos 2x

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
所以 T ?

2? ?? 2

(Ⅱ)因为 ? 所以 ?

?

4

?x?

?
6

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
3

?

2? 3

? ? ? 1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,所以 ?1 ? f ? x ? ? 2 ,当 2 x ? ? ? , 即 x ? ? 时, f ? x ?min ? ?1 , 3 6 4 2 3? ?

当 2x ?

?
3

?

?
2

,即 x ?

?
12

时, f ? x ?min ? 2 ,

84. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)在 ?ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且

cos C 2a ? c ? , cos B b
(1)求 B;
【答案】

(2)若 tan( A ?

?
4

) ? 7 ,求 cos C 的值.

85 . ( 苏 北 三 市 ( 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 ) 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 考 试 数 学 试 卷 ) 在 △ ABC , 已 知 (sin A?s i n B?sin C ) ( s iB n? s i n C ?sin A) ? 3 s i n Bs i n C.

(1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值.
【答案】⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C ,

由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc , 所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A ? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

? 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) , 2 2 6

2? ? ? ?? ,所以 ? B + ? , 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 6 2 3
因为 0 ? B ?
86 . ( 苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,( 其 中

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的周期为 ? ,且图像上有一个最低点为 M (

2? , ?3) 3

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

) 的最大值及对应 x 的值.

【答案】

87. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)在△ABC 中,角 A , B , C 所

对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小;

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

(2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.
【答案】解:(1)在△ABC 中,
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2

[来源:学_科_网]

因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π 3 (2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? ? 4 2 4 2? 3 ?

?

?

? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3
因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 2 4

?

?

?

?

?

?

88. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面

积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;
uuu r uuu r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.
【答案】 【解】(1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,于是 3 ? 1 bc sin A ? 3 bc ,所以 bc=4

2

4





c ? AB ? 2 2

,





b?

? C2 A .













BC ? a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14

(2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4 b2
uuu r uuu r uuu r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO ,

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r 2 2 因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 ,于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c 2 2 uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 2 2 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? b ? c ? ? 15 ;当 b ? 4 时, c ? 1 , AO ? BC ? b ? c ? 15 2 2 2 2

?

??

?

89. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ) ,函数

??

?

1 2

?? ?? ? f ( x) ? (m ? n) · m .
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ)若不等式 f(x)-t=0 在 x ? [
【答案】

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

90( .南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

【答案】解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? 3 (2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? ? ? 2? 3 3 2 ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 2 4 2 3 3 3 3

本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等.讲评时,应适当 渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略,同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用 , 例如两边之和大于第三边,sin(A+B)=sinC,面积公式及等积变换等. [来源:学§科§网] (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B [来源:Z.xx.k.Com] 2 2

= 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 4 2 3 3 3 3

法二:由正弦定理得: c ? 2 R sin C ? 3 . 2 由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,故 a 2 ? b 2 ? 3 ? ab . 4 因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? 3 . 4
2 2 2 2 又 ab ≤ a ? b ,故 a 2 ? b 2 ≤ 3 ? a ? b ,得 a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 2 4 2

因此, 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 4 2
91. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、

c,且 ccosB+bcosC=3acosB.
(1)求 cosB 的值; ?? (2)若BA?BC=2,求 b 的最小值. 【答案】解:(1)因为 ccosB+bcosC=3acosB, 由正弦定理,得 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB 1 又 sin(B+C)=sinA?0,所以 cosB= 3 ?? (2)由BA?BC=2,得 accosB=2,所以 ac=6 2 2 2 2 由余弦定理,得 b =a +c ?2accosB?2ac? ac=8,当且仅当 a=c 时取等号, 3 故 b 的最小值为 2 2
92. (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .

??? ? ????

(1)求 tan 2 A 的值; ? ??? ? ? ??? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S . 4

【答案】解:(1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c .

??? ? ???? 1 ? AB ? AC ? S ,? bc cos A ? bc sin A , 2 2 tan A 4 1 ? tan 2 A ? ?? ? cos A ? sin A , ? tan A ? 2 2 3 2 1 ? tan A ??? ? ??? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 , ? tan A ? 2,0 ? A ? , 2
? sin A ? 2 5 5 , cos A ? 5 5

? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b? ? sin B ? 5 , sin C sin B sin C ?
1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ?3 2 2 5 【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查运算变形和求解 能力.


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