高中数学北师大版必修四3.2.2 教学设计 《两角和与差的正弦、余弦函数》

《§2.2 两角和与差的正弦、余弦函数》 ◆ 教材分析 教材通过通过两角和的正、余弦函数,推导得出二倍角的三角函数,在温故知新中锻炼学生对 知识的迁移能力。 ◆ 教学目标 【知识与能力目标】 (1)能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式,并灵活运用. (2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. (3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用. 【过程与方法目标】 经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程,了解它们的内在 联系;体会化归与转化的数学思想方法. 【情感态度价值观目标】 通过本节的学习和运用实践,使学生学会用联系转化的观点去处理问题,加强学生的应用意识,激发 学生的学习兴趣,体会数学的科学价值与应用价值. ◆ 教学重难点 【教学重点】两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用. 【教学难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. ◆ 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 ◆ 教学过程 一、新课导入。 复习两角差的余弦函数。 二、探究新知。 以公式 C(α -β )为基础推导的其他公式 (1)推导 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β . 在公式 C(α -β )中,令-β 代替β ,则有 cos(α +β )=cos α cos(-β )+sin α sin(-β ) =cos α cos β -sin α sin β 即 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β .(C(α +β )) (2)推导 sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β 和 sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β . 运用 C(α +β )和诱导公式,有 sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 即 sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β .(S(α +β )) 在公式 S(α +β )中用-β 代替β ,可以得到 sin(α -β )=sin α cos(-β )+cos α sin(-β )=sin α cos β -cos α sin β , 即 sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β .(S(α -β )) (3)推导公式 tan(α +β )= 和 tan(α -β )= . 当 cos(α +β )≠0 时,将公式 S(α +β ),C(α +β )的两边分别相除, 有 tan(α +β )= . 当 cos α cos β ≠0 时,将上式的分子、分母分别除以 cos α cos β , 得 tan(α +β )= .(T(α +β )) 由于 tan(-β )= =-tan β , 在 T(α +β )中以-β 代替β ,可得 tan(α -β )= , 即 tan(α -β )= .(T(α -β )) (4)公式 T(α ±β )在α ≠kπ + ,β ≠kπ + ,α +β ≠kπ + (T(α +β )须满足),α -β ≠kπ + (T(α - β )须满足),k∈Z 时成立,否则是不成立的. 当 tan α ,tan β 或 tan(α +β )的值不存在时,不能使用 T(α ±β )公式,处理有关问题时应改用诱 导公式或其他方法来解,比如化简 tan ,因为 tan 的值不存在,不能用 T(α -β ),而应改用诱导公式 tan =cot β . 公式 S(α +β ),C(α +β ),T(α +β )给出了任意角α ,β 的三角函数值(指正弦、余弦和正切)与其和 角α +β 的三角函数值之间的关系,为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式. 类似地,公式 S(α -β ),C(α -β ),T(α -β )都叫做差角公式. 和角差角公式: 名称 差的余弦 和的余弦 和的正弦 差的正弦 和的正切 差的正切 公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β tan(α+β)=1-α+αββ tan(α-β)=1+α-αβ β 简记 C(α-β) C(α+β) S(α+β) S(α-β) T(α+β) T(α-β) 三、例题解析。 【例 1】(1)sin(30°+45°)= 。 (2)cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°= 。 (3)若 tan(α - π /4)=2,则 tan α = 。 解析:(1)sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° = . (2)原式=cos(55°+5°)=cos 60°= 。 (3)∵tan =2, ∴tan α =-3。 探究一给角求值 【例 2】 化简求值: (1) sin 13°cos 17°+sin 77°cos 73°; (2)sin cos ; (3) ; (4)tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°。 分析:(1)逆用公式;(2)利用辅助角公式;(3)利用“1”的代换;(4)利用两角差公式的变形公式。 解 :(1) 原 式 =sin 13°cos 17°+sin(90°-13°)cos(90°-17°)=sin 13°cos 17°+cos 13°sin 17°=sin(13°+17°)=sin 30°= . (2)原式=2 =2 =2sin =-2sin =- . (3)原式= =tan(45°-15°)=tan 30°= 。 (

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