「精品」高二数学下学期第一次段考试题4月试题理

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广东省佛山一中 2017-2018 学年高二数学(理)下学期第一次段考试题 (4 月)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1. 下列函数求导运算正确的个数为

①(3x)′=3xlog3e; ②(log2x)′=x·1ln 2;

③???sin

π 3

???′=cos

π 3



④???ln1 x???′=x.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2. 函 数

的导函数

的图象如右图所示,则函数

的图象可能是

A.

B.

C.

D.

3. 已知函数

的导函数

值,则 的取值范围是

A.

B.

4. 曲线

与直线



,若



C.

D.

所围成的封闭图形的面积为

处取到极大

A.

B.

C.

D.

5. 已知曲线 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1,给定下列两个命题: 25 ? k k ? 9

p :若 9 ? k ? 25,则曲线 C 为椭圆; q :若曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线,则 k ? 9 .

那么,下列命题中,真命题是

A. p ? q

B. p ? (?q)

C. (?p) ? q

D. (?p) ? (?q)

6. 若函数 A.

在 B.

上是增函数,则 的取值范围是

C.

D.

1

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7. 设函数

下列结论正确的是

A.

B.

8. 曲线

上的点到直线

A.

B.

9. 某堆雪在融化过程中,其体积 (单位:

有三个零点 , , ,且

,则

C.

D.

的最短距离是

C.

D.

)与融化时间 (单位: )近似满足函数关系:

( 为常数),其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均

融化速度为

.那么,瞬时融化速度等于

的时刻是图中的

A. 10. 设 函 数

B. 是奇函数
,则使得

C. 的导函数, 成立的 的取值范围是

D. ,当

时,

A.

B.

C.

D.

11.

已知函数

f

?x

?

?

? ln x

?? ? ????

x 1
2e

,
2

x?

0? 3, 2e

x?e ,若 a ? b ? c, 且
x?e

f ?a? ?

f ?b? ?

f ?c? ,则 bln a ? c 的
a ln b

取值范围是

A. ?e,3e?

B. ?? 3e,?e?

C. ?1,3e?

D. ?? 3e,?1?

12. 已设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a ?1 ,若存在唯一的整数 x0,使得 f (x0 ) ? 0 ,则 a
的取值范围是

A. [ ? 3 ,1) 2e

B. [ ? 3 , 3 ) 2e 4

C. [ 3 , 3 ) 2e 4

D. [ 3 ,1) 2e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

2

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13. 定积分

的值为



14. 已知三棱锥 A? BCD 中, AB ? 平面 BCD, AC ? CD ,且 AB ? 2 , BC ? CD ? 1,则三

棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积为



15. 若直线

与曲线

相切,则



16. P 是双曲线 x2 ? y2 ? 1 右支上一点, M , N 分别是圆 (x ? 4)2 ? y2 ? 4 和 (x ? 4)2 ? y2 ? 4 上 15

的点,则 PM ? PN 的最大值为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r
米,高为 h 米,体积为 Vm2.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/m3,底面的 建造成本为 160 元/m2,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

18. ( 本 小 题 12 分 ) 已 知

.经计算得









(1)由上面数据,试猜想出一个一般性结论; (2)用数学归纳法证明你的猜想.

19. ( 本 小 题 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 柱

中,



,点 是线段

的中点.

(1)证明:



3

(2)若



,求二面角

的余弦值.

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20. (本小题 12 分)设函数

(1)若

,求

(2)若当



. 的单调区间;
,求 的取值范围.

21. ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 椭 圆

的离心率是 ,且过点

.直线

(1)求椭圆 (2)设直线
以证明.

的方程; , 分别与

与椭圆 相交于 , 两点.

轴交于点 , .判断



的大小关系,并加

22. ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 函 数





(1)若



间; (2)若
①求

时,函数 的取值范围;

②求证:



处取得极值,且 有两个不同的零点 , .

,其中

.设

,求函数

的单调区

答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
ADBBC DDACB AD

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.

14. 4?

15.

16. 5

4

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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2π rh=200π rh 元,底面的总成本为 160π r2 元,所以 蓄 水 池 的 总 成 本 为 (200π rh + 160π r2) 元 , 又 据 题 意 200π rh + 160π r2 = 12 000π ,………………………………1 分 所以 h=51r(300-4r2),…………………………………………………………………………………2



从而 V(r)=π r2h=π5 (300r-4r3).………………………………………………………………………

4分

因 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3,

故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).………………………………………………………………………5



(2) 因

V(r)



π 5

(300r - 4r3) , 故

V′(r) =

π 5

(300 -

12r2),………………………………………………6 分

令 V′(r)=0,解得 r1=5.r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去).……………………………7 分

当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数;……………………………………………8



当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.………………………………………

9分 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8, 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.……………………………………………………10 分

18. ( 1 ) 由 题 意 知 ,



由此得到一般性结论:

(或者猜想

(2) ① 当

立.……5 分

② 假设

那么,

时,

时, 时,结论成立,即





也行).……4 分 ,猜想成
,………………………6 分

5

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…………………7 分 …………………9 分

…………………10 分

所以当

时,猜想也成立.…………………………………………………………………11 分

由 ①② 可知,上述结论对

都成立,所以猜想成立.………………………………12 分

19.(1) 连接 AC1,交 A1C 于点 M。连接 OM,BC1。. 因为 棱柱的侧面是平行四边形,所以 M 是 AC1 的中点。 又因为 O 是 AB 中点,所以 OM 是△ABC1 的中位线,……………1 分 所以 OM∥BC1。………………………………………………………2 分 又因为 OM? 平面 OA1C,BC1?平面 OA1C,………………………3 分 所以 BC1∥平面 OA1C.………………………………………………4 分
(2)连接 , , .

因为









都为等边三角形。

因为 O 是 AB 中点,所以





因为



所以 OC⊥OA1。

所以 , ,

以 为原点, ,

,所以 OC=OA1= 3,A1C2=OC2+A1O2。
两两垂直,……………………………………………………………………5 分 , 所在直线分别为 x, , 轴,建立空间直角坐标系,







,…………………………………………………6 分



,…………………………………………………………7 分

设平面

的法向量

,则

…………………8 分

6

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取 平面

,得 的法向量

,……………………………………………………………9 分 ,……………………………………………………………10 分

设二面角

的平面角为 ,显然 为锐角,故

.…11 分

所以二面角

的余弦值为 .………………………………………………………12 分

20. (1)

时,



,………………………………………………2 分



,可得



;令

,可得

.…………………4 分

所以函数的单调增区间是



;单调减区间为

.………………………6 分

(2)





,则

.……………………………………………………8 分



,则当

时,



为增函数,而

,从而当

时,

,即

.……………………………………………………………………………9





,则当

时,



为减函数,而

,从而当

时,

,即

.………………………………………………………………………11 分

综合得 的取值范围为

.……………………………………………………………………12 分

21. (1) 设椭圆 因为椭圆 的离心率是 ,所以

的半焦距为 , ,即

,…………1 分



解得

…………………………………………………………………3 分

所以椭圆

的方程为 (2)

证明如下:将

消去 令 设

整理得 ,

.………………………………………………………………4 分 .

代入
,解得 ,


,………………………………………………………5 分 ,……………………………………………6 分

7

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,…………………………………………………………7 分

设直线 , 的斜率分别是 , ,



,其中

………………………10 分

所以直线 , 的倾斜角互补,所以



所以

,……………………………………………………………………………11 分

所以

.……………………………………………………………………………………12 分

22. (1) 因为
分 由





,所以

可得



处取得极值,所以

,………………………………………1 ,

所以
令 所以函数 ①由



,所以

,其定义域为





,………………………………2 分

,得

,当

时,

的增区间为

,减区间为

(2) 当

时,

;当

时,



.…………………………………………3 分

,其定义域为





,记



由题意得

与函数

的图象有两个不同的交点,………………………………4 分

又 令 所以 所以当



,………………………………………………………………5 分

,且

,得

;令

,且

,得





上单调递减,在

上单调递增;

时,

取得最小值 ,……………………………………………………………6 分

8

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,所以当

时,

,而当

时,

,当

时,

,…………………………………………………………………………………………7 分

因为

与函数

的图象有两个不同的交点,所以 的取值范围是

.…8



②由题意得





所以





所以

,则

,不妨设



要证

,只需要证



即证

,…………………………………………………………………9 分



( ),则

,………………………………………………………10 分



( ),

所以 所以函数 所以 所以

,…………………………………………………11 分



上单调递增,

,即

,…………………………………………………12 分

,即



9


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