数值积分与数值微分课件

第 5 章 数值积分与数值微分方法 关于定积分计算,已经有较多方法,如公式法、 分步积分法等,但实际问题中,经常出现不能用通常 这些积分方法计算的定积分问题。怎样把这些通常方 法失效的定积分在一定精度下快速计算出来,特别是 通过计算机编程计算出来就是本章研究的内容。 此外,怎样根据函数在若干个点处的函数值去求 该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。 本章涉及的方法有 Newton-Cotes 求积公式、 Gauss 求积公式、复化求积公式、Romberg 求积公式 和数值微分。 95 5.1 引 例 人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国的第一颗人 造地球卫星近地点距离地球表面 439km, 远地点距地球表面 2384km,地球半径为 6371km,求该卫星的轨道长度。 本问题可用椭圆参数方程 ? x ? a cos t      (0 ? t ? 2? , a, b ? 0) ? y ? b sin t ? 来描述人造地球卫星的轨道, 式中 a, b 分别为椭圆的长短轴, 该轨道的长度 L 就是如下参数方程弧长积分 L ? 4 ? ( a sin t ? b cos t ) dt 2 0 2 2 2 2 ? 1 2 但这个积分是椭圆积分,不能用解析方法计算。 96 5.2 问题的描述与基本概念 要想用计算机来计算 ?a b f ( x)dx , 应对其做离散化处 理。注意到定积分是如下和式的极限 ? 要离散化,做 b a f ( x)dx ? lim ? f (?i )?xi ? ?0 i ?1 n 1) 去掉极限号 lim 2) 将 ? i 取为具体的 xi 值 3) 为减少离散化带来的误差,将 ?xi 用待定系数 Ai 代替 于是就得到 97 定义 5.1 若存在实数 x1, x2 , , xn ; A1, A2 , , An , 且任 取 f ( x) ? C[a, b], 都有 ? b a f ( x)dx ? ? A i f ( xi ) i ?1 n (5.1) 则称式(5.1)为一个数值求积公式。 A i 称为求积系数, xi 称为求积节点;而称 R( f ) ? ? f ( x)dx ? ? Ai f ( xi ) b a i ?1 n (5.2) 为求积余项或求积公式(5.1)的截断误差。 98 从定义可以看到, 数值求积公式依赖于求积节点 个数 n、求积节点 {xi }和求积系数 {Ai } ,这三个量有一 个发生变化,则产生不同的求积公式。 定义 5.2 若求积公式对所有不超过 m 次的多项式 pm ( x) 有求积余项 R( pm ) ? 0 ,而对 某一个 m+1 次多项式 pm?1 ( x) 有 R( pm?1 ) ? 0 ,则 99 称该求积公式的代数精度为 m。 ? b a f ( x)dx ? ? A i f ( xi ) i ?1 b n n R( f ) ? ? f ( x)dx ? ? Ai f ( xi ) a i ?1 一般,一个求积公式的代数精度越大, 则该求积公式越好。 确定代数精度的方法 100 依次取 f ( x) ? xk (k ? 0,1, ) 代入公式 R( f ) ? ? f ( x)dx ? ? Ai f ( xi ) b a i ?1 n 并验证 R( xk ) ? 0 是否成立。 若 R( xk ) ? 0 第一个使 R( xk ) ? 0 不成立的 k 值为 m,则对应的代数精度为 m-1。 101 例 5.1 确定求积公式 ? 1 ?1 f ( x)dx ? f (? 3 3 )? f ( ) 3 3 的代数精度。 k 解 取 f ( x) ? x 代入求积公式有 R( x k ) ? ? x k dx ? [(? ?1 1 3 k 3 ) ? ( )k ] 3 3 ?[ 1 3 ? ( ) k ](1 ? (?1) k ) k ?1 3 易验证 R( x0 ) ? R( x1 ) ? R( x2 ) ? R( x3 ) ? 0 ,但 R( x 4 ) ? 8 ? 0, 45 故本题求积公式代数精度为 3。 102 例 5.2 确定下面求积公式 ? 2h ?2 h f ( x)dx ? Af (?h) ? Bf (0) ? Cf (2h) 的参数 A,B,C,使它具有尽可能高的代数 精度,并指出相应的代数精度。 解 本题要先求出具体的求积公式,然后 再判断所求公式的代数精度。 公式有 3 个待定参数,h 不是求积公式 的参数, 故利用 3 个条件得到的 3 个等式关 系就可以解决求出具体求积公式的问题。 103 2 依次取 f ( x) ? 1, x, x 代入求积公式并取等号,有 ? A ? B ? C ? 4h ? ? A ? 2C ? 0 ? A ? 4C ? 16h / 3 ? 解之得 A? 16 4h 8h h, B ? ,C ? 9 3 9 故所求的求积公式为 ? 2h ?2 h f ( x)dx ? 16h 4h 8h f ( ? h) ? f (0) ? f (2h) 9 3 9 16 4 h ? 0 ,故所求的求积公式具有 3 3 为确定其代数精度,再取 f ( x) ? x 代入求出的公式继 3 续计算,有 R ( x ) ? ? 二阶代数精度。 104 5.3 插值型求积公式 借助多项式插值函数来构造的求积公 式称为插值型求积公式。 一般选用不同的插值公式就可以得到 不同的插值型求积公式。 105 基本思想 利用被积函数 f ( x) 的插值函数 ? ( x) 代替 f ( x) 做定积分的近似计算来构造求积公式。 1.构造原理 考虑 f ( x) 在 n 个节点 x1, x2 , , xn 上的 n-1 106 次 Lagrange 插

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