高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质学案北师大版选修4_520171130315

§1 不等式的性质 1.理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义,掌握求差比较法和求商比较法. 2.掌握不等式的性质,并能进行证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式. 1.实数大小的比较 (1)求差比较法. ①a>b?______;②______?a-b<0;③a=b?______. 判断两个实数 a 与 b 的大小归结为判断它们的差 a-b 的符号,至于差究竟是多少则是无 关紧要的. (2)求商比较法. 当 a>0,b>0 时,① >1?______;②______?a<b;③ =1?______. 答案:(1)①a-b>0 ②a<b ③a-b=0 (2)①a>b ② <1 2 a b a b a b ③a=b 【做一做 1-1】比较大小:x +3__________3x(其中 x∈R). 16 18 【做一做 1-2】比较 18 与 16 的大小. 2.不等式的性质 (1)性质 1:如果 a>b,那么______;如果 b<a,那么______. (2)性质 2:如果 a>b,b>c,那么______. (3)性质 3:如果 a>b,那么 a+c>______. 推论:如果 a>b,c>d,那么 a+c>______. (4)性质 4:如果 a>b,c>0,那么 ac____bc;如果 a>b,c<0,那么 ac____bc. 推论 1:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>____. 2 2 推论 2:如果 a>b>0,那么 a ____b . n n 推论 3:如果 a>b>0,那么 a ____b (n 为正整数). 推论 4:如果 a>b>0,那么 a ____ b (n 为正整数). (1)引导学生掌握性质的证明方法,举反例是证明命题错误的主要方法,证明过程体现数 学的严谨性. (2)特别注意性质 4 使用的前提,不等号方向取决于 c 的符号. 【做一做 2-1】判断下列命题的真假,并说明理由. (1)如果 a>b,那么 a-c>b-c. 1 n 1 n a b c c 【做一做 2-2】若 a>b>c,则下列不等式成立的是( (2)如果 a>b,那么 > . 1 1 A. > a-c b-c 答案: 1 1 B. < a-c b-c C.ac>bc ). D.ac<bc 1.(1)①a-b>0 ②a<b ③a-b=0 (2)①a>b ② <1 ③a=b a b 9 ? 3?2 3 3 ? 3?2 2 2 【做一做 1-1】> (x +3)-3x=x -3x+3=?x- ? +3- =?x- ? + ≥ >0, 2 2? 4 4 4 ? ? ? 2 即 x +3>3x. 【做一做 1-2】分析:两个数是幂的形式,比较大小一般采用求商的方法. 1 16 18 ?18?16 1 ?9?16 ? 1 ?16 ? 9 ?16 ? ·162=?8? ·? ? =? ? , 18=? 16 ?16? ? ? ? 2? ?8 2? 9 ? 9 ?16 ∵ ∈(0,1),∴? ? <1. ?8 2? 8 2 16 18 16 18 ∵18 >0,16 >0,∴18 <16 . 2.(1)b<a a>b (2)a>c (3)b+c b+d (4)> < bd > > > 【做一做 2-1】分析:从不等式的性质找依据,与性质相符的为真,与性质不相符的为 假. 解:(1)真命题.理由:根据不等式的性质 3,由 a>b,可得 a+(-c)>b+(-c),即 a -c>b-c. 解: (2)假命题.理由:由不等式的性质 4 可知,如果 a>b,c<0,则 < ,即不等式的两边 同乘以一个数时,必须明确这个数的正负. 【做一做 2-2】B ∵a-c>b-c>0,∴ 1 1 < . a-c b-c a b c c 1.比较两个实数的大小 剖析:比较两个实数 a,b 的大小,可以转化为 a,b 的差与 0 的大小比较,这种比较大小 的方法称为求差比较法.它的主要步骤是:(1)作差;(2)变形(分解因式,配方等);(3)判断 差的符号;(4)下结论.其中最关键的是第(2)步,变形要有利于判断差的符号才行. 比较两个实数 a,b 的大小,也可以转化为 a 与 b 的商与 1 的大小比较,这种比较大小的 方法称为求商比较法.它的主要步骤是:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与 1 的大小关系;(4) 下结论. 其中最关键的是第(3)步, 在第(4)步中要注意不等号的方向, 不等号的方向受分母的符号 的影响. 2.不等式和等式的基本性质的区别与联系 剖析:区别:在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为 0)时,所得结果仍是等式; 在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为 0)时会出现两种情况:若这个数为正数, 则不等号方向不变,若这个数为负数,则不等号方向改变. 联系:不等式的基本性质和等式的基本性质,对等式(或不等式)两边形式的变化相同,讨 论的都是两边同时加上或减去,同时乘以或除以(除数不为 0)同一个数时的情况. 题型一 利用作差法比较大小 【例 1】比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 分析:此题为两个代数式比较大小,可先作差,然后展开,合并同类项后,判断差值的正 负. 反思: 利用作差法比较大小, 实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问题. 作 差时,只需看差的符号,至于差的值究竟是多少,这里无关紧要.如本题,只需看差-7 的正 负即可. 题型二 利用作商法比较大小 2a 2b 2c b+c c+a a+b 【例 2】已知 a>b>c>0,比较 a b c 与 a b c 的大小. 分析:用求差比较法不易变形,所以用求商比较法. 反思:用求商比较法比较两个式子的大小时,第(2)步的变形要向着有利于判断商与 1 的 大小关系的方向变形,这是最重要的一步. 题型三 利用不等式的性质证明不等式 【例 3】

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