浙江省瑞安中学2019届高三第三次适应性测试-数学理

浙江省瑞安中学 2019 届高三第三次适应性测试

数学试卷(理科)

一项是符合题目要求的。

第I卷

1. 若复数 z 满足 z ? i(z ? 2i) ,则在复平面内 z 所对应的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.“ x ?(A B) ”是“ x ? A且 x ? B ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.双曲线 kx2 ? y2 ? 1 的一条渐近线与直线 2x ? y ?1 ? 0 垂

直,则此双曲线的离心率是( )

A. 5 2

B. 3 2

C.4 3

D. 5

4. 已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为

()

A. 1 5

B. 2 5

C. 3 5

D. 4 5

5. 已知点 A(1, 0) ,直线 l : y ? 2x , O 是坐标原点, R 是直线 l 上的一点,若 RA ? 2AP ,

则 OP 的最小值是( )

A. 3

B. 3

C. 3 5

D. 3 5 5

6.下列说法正确的是( ) A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 B.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 C.事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大 D.事件 A、B 同时发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率小
7.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M, b ? 平面 N, M N ? c ,, 则下面四个命

题中正确的是( ) A.若 a 与 b 是平行两直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交; B.若 a ? b,a ? c , 则必有 M ? N C.若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直; D.若 a // b,则a // c ;

8.数字 1,2,3,4,5,6 按如上图形式随机排列,设第一行数为 N1, 又 N2、N3 分别表示第

二、三行中的最大数,则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是 ( )

A.90

B. 180

C.240

D.360

9.已知函数 f ? x? 的定义域为?a,b? ,函数 f ? x? 的图象如图所示,则函数 f ? x ? 的图象是( )

10.已知函数 f (x) ? 3x ? 2 ,x?R .规定:给定一个实数 x0 ,赋值 x1 ? f (x0 ) ,若 x1≤244,则继 续赋值 x2 ? f (x1) ,…,以此类推,若 xn?1 ≤244,则 xn ? f (xn?1) (n ? 2) ,否则停止赋值.若

最后得到的赋值结果为 xn ,则称为赋值了 n 次 (n ? N*) .如果赋值 k 次后该过程停止,那么 x0 的取值范围是( )

A. (3k ?6 ,3k ?5 ]

B. (35?k ? 1,36?k ? 1]

C. (3k?6 ? 1,3k?5 ? 1]

D. (34?k ? 1,35?k ? 1]

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。把答案填在答题卷的相应位置。
11. 某大型超市销售的乳类商品有四种:液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且液态奶、
酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 40 种、10 种、30 种、20 种不同的品牌,现从中抽
取一个容量为 20 的样本进行三聚氰胺安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽
取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是
12. 海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A 、B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向,海上停泊着 两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75? 方向,与 A 相距 3 2 海里的 D 处;乙船位于 灯塔 B 的北偏西 60? 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处,则两艘船之间的距离为
海里。

?x ?1

13、已知 x, y 满足 ??x ? y ? 4

且目标函数 z ? 2x ? y 的

??ax ? by ? c ? 0

最大值为 7,最小值为1,则 a ? b ? c ? a

14. 几何体的三视图如下,则该几何体的体积是
15.如图 2,已知 A、D、B、C 分别为过抛物线 y2 ? 4x 焦点 F 的直线与该 抛物线和圆 (x ?1)2 ? y2 ? 1 的交点,则| AB | ? | CD |? _________.

16.若多项式 x10 ? x2009 ? a0 ? a1(x ?1) ? ? ? ? ? a2008 (x ?1)2008 ? a2009 (x ?1)2009 则 a2008 的值为

图2

17.

若函数

f (x) ?

d ax2 ? bx ? c

(a,b, c, d ? R) ,

其图象如图所示,则 a ? b = c?d

三、解答题(共 72 分,解答题须写出必要的解题过程) 18、(本题满分 14 分)如图,点 A、B 是单位圆上的两点,A、B 点分别在第一、二象限,点
C 是圆与 x 轴正半轴的交点,若∠COA= 600 ∠AOB=? ,点 B 的坐标为 (? 3 , 4) , 55
(1)求 sin ? 的值;
(2)已知动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动至少需要 2 秒钟, 若动点 P 从 A 点到 C 点按逆时针方向作圆周运动,求点 P 到 x 轴 的距离 d 关于时间 t(秒)的函数关系式。
19.(本题满分 14 分)某校篮球选修课的考核方式采用远距离投离篮进行,规定若学生连 中两球,则通过考核,终止投篮;否则继续投篮,直至投满四次终止。现有某位同学每次投
篮的命中率为 2 ,且每次投篮相互经独立。 3

(I)该同学投中二球但未能通过考核的概率;
(II)现知该校选修篮球的同学共有 27 位,每位同学每次投篮的命中率为 2 ,且每次投篮 3
相互独立。在这次考核中,记通过的考核的人数为 X,求 X 的期望。

20.(本题满分 14 分)如图 l,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=600,E 是 BC 的中 点.如图 2,将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD,P 是棱 BC 的中点. (1)在图 2 中求证:AE⊥BD; ’ (2)EP 是否平行平面 BAD? 并说明理由. (3)求直线 EB 与平面 BCD 所成的角的余弦值.

B

A

D

A

P

D

B

E

C

E

C

第 20 题图 1

第 20 题图 2

21(本题满分 15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴 上(如图),且 OC=1,OA=a+1(a>1),点 D 在边 OA 上,满足 OD=a. 分别以 OD、OC 为 长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧 CD. 直线 l:y=-x+b 与椭圆弧相切,与 OA 交于点 E.

(1)求证: b2 ? a2 ? 1; (2)设直线 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,求直线 l 的方程; (3)在(2)的条件下,设圆 M 在矩形及其内部,且与 l 和线段 EA 都相切,求面积最大的
圆 M 的方程.

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f (x) ? ax ? ln x, a ? R (I)求函数 f (x) 的极值; (Ⅱ)对于曲线上的不同两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) ,如果存在曲线上的点 Q(xo , yo ) , 且 x1 ? xo ? x2 ,使得曲线在点 Q 处的切线 l // P1P2 ,则称 l 为弦 P1P2 的伴随切线,特别地,
当 xo ? ? x1 ? (1? ?)x2 (0 ? ? ? 1) 时,又称 l 为 P1P2 的 ? 伴随切线。
(i)求证:曲线 y ? f (x) 的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的;
(ii)是否存在曲线 C ,使得曲线 C 的任意一条弦均有 1 伴随切线?若存在,给出一条这 2
样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由。

浙江省瑞安中学 2019 届高三第三次适应性测试 数学参考答案(理科)

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 A B

A

A

D

B

D

C

B

B

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。)

11.6 ;

12. 13 ;

13.--2 ;

15.1;

16.--2019 ;

17. 5 3

14.12 ;

三、解答题(5 题共 72 分,解答题须写出必要的解题过程) 18. (本题满分 14 分)如图,点 A、B 是单位圆上的两点,A、B 点分别在第一、二象限,
点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,若∠COA= 600 ∠AOB=? ,点 B 的坐标为 (? 3 , 4) , 55
(1)求 sin ? 的值;
(2)已知动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动至少需要 2 秒钟,若动点 P 从 A 点到 C 点按 逆时针方向作圆周运动,求点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t(秒)的函数关系式。

18.解:(1) sin?COB ? 4 ,cos?COB ? ? 3 , …………3 分

5

5

sin? ? sin(?COB ? 600 ) ? 4 ? 3 3 10

…………7 分

(2)? ? ? 6

…………10 分

d ?| sin? t |,(2 ? t ? 12) 6

…………14 分

19.(本题满分 14 分)某校篮球选修课的考核方式采用远距离投离篮进行,规定若学生连 中两球,则通过考核,终止投篮;否则继续投篮,直至投满四次终止。现有某位同学每次投
篮的命中率为 2 ,且每次投篮相互经独立。 3
(I)该同学投中二球但未能通过考核的概率;
(II)现知该校选修篮球的同学共有 27 位,每位同学每次投篮的命中率为 2 ,且每次投篮 3
相互独立。在这次考核中,记通过的考核的人数为 X,求 X 的期望。

19.解:(1)该同学投中两球但未通过考核,即投蓝四次,投中二次,且这两次不连续,

其概率为

C 32

(

1) 3

2

(

2 3

)

2

?

4 27

…………5 分

(2)在这次考核中,每位同学通过考核的概率为

P ? ( 2)2 ? ( 2)2 ? 1 ? ( 2)2 ? (1)2 ? ( 2)3 ? 1 ? 20 , 3 3 3 3 3 3 3 27

………………10 分

随机变量 X 服从 B(27, 20), 其数学期望 27

EX ? np ? 27 ? 20 ? 20 27

…………14 分

20.(本题满分 14 分) 如图 l,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=600,E 是 BC 的中 点.AE//DC。如图 2,将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD, P 是棱 BC 的中点. (1)在图 2 中求证:AE⊥BD; ’ (2)EP 是否平行平面 BAD? 并说明理由. (3)求直线 EB 与平面 BCD 所成的角的正弦值.

B

A

D

A

P

D

B

E

C

E

C

第 20 题图 1

第 20 题图 2

(1)证明:连接 BD ,取 AE 中点 M ,连接 BM , DM .

在等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,AB=AD, ?ABC ? 60? ,E 是 BC 的中点

??ABE 与 ?ADE 都是等边三角形 ?BM ? AE, DM ? AE

BM DM ? M , BM , DM ? 平面 BDM ?AE ?平面 BDM

BD ? 平面 BDM ?AE ? BD .

…………5 分

(2)EP 与平面 BAD 不平行。

…………9 分

(3) E(1,0,0), B(0,0, 3 ), D(0, 3,0), C(2, 3,0)

EB ? (?1,0, 3), DC ? (2,0,0),BD ? (0, 3,? 3)

平面 BAD 的法向量为(0,1,1)

sin ? = 6 4

…………14 分

21.(本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上(如图),且

OC=1,OA=a+1(a>1),点 D 在边 OA 上,满足 OD=a. 分别以 OD、OC 为长、短半轴的

椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧 CD., 直线 l: y=-x+b 与椭圆弧相切,与 OA 交

于点 E.

(1)求证: b2 ? a2 ? 1;

(2)设直线 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,求直线 l 的方程;

(3)在(2)的条件下,设圆 M 在矩形及其内部,且与 l 和线段 EA 都相切,求面积最

大的圆 M 的方程.

21(本题满分 15 分)

【解】题设椭圆的方程为 x2 a2

?

y2

?1.

………1 分



?? ?

x2 a2

?

y2

? 1,

消去

y



?? y ? ?x ? b

(1 ? a2 )x2 ? 2a2bx ? a2 (b2 ?1) ? 0 . ……………………2 分

由于直线 l 与椭圆相切,故△=(-2a2b)2-4a2(1+a2) (b2-1)=0,

化简得 b2 ? a2 ? 1.



(2)由题意知 A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),

…………………4 分

? ? 于是 OB 的中点为

a ?1, 2

1 2

.

…………………………5 分

? ? 因为 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,所以 l 过点

a

? 2

1

,

1 2





1 2

?

?(a ? 2

1)

?

b

,亦即

2b

?

a

?

2

.



由①②解得 a ?

4 3

,

b?

5 3

,故直线

l 的方程为 y

?

?

x

?

5 3

.

? ? ? ? (3)由(2)知 E

5, 3

0

,

A

7, 3

0

.

…………………………6 分 …………………………8 分

因为圆 M 与线段 EA 相切,所以可设其方程为 (x ? x0 )2 ? ( y ? r)2 ? r2 (r ? 0) .………9 分

? ?

0

?

r≤

1 2

,

因为圆

M

在矩形及其内部,所以

?? ?

?

x0

?

5 3

,

? ??

x0

?

r≤

7 3

.

④ ……………………… 10 分

圆M与

l

相切,且圆

M



l

上方,所以

3(x0 ? 3

r) 2

?

5

?

r

,即

3(x0

?

r)

?

5

?

3

2r .

………………………12 分

??0

?

r≤

1 2

,

代入④得

?? ? ?

5

?

3(

2 3

? 1)r

?

5 3

,

?5? 3 ?? 3

2r



7 3

,

即 0 ? r≤ 2 . 3

………………………13 分

所以圆 M 面积最大时, r ?

2 3

,这时,

x0

?

7

? 3

2.

2

2

故圆

M

面积最大时的方程为

? ??

x

?

7

? 3

2? ??

?

? ??

y

?

2? 3 ??

? 2. 9

………………………15 分

22.(本题满分 15 分) 已知函数 f (x) ? ax ? ln x, a ? R

(I)求函数 f (x) 的极值;
(Ⅱ)对于曲线上的不同两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) ,如果存在曲线上的点 Q(xo , yo ) , 且 x1 ? xo ? x2 ,使得曲线在点 Q 处的切线 l // P1P2 ,则称 l 为弦 P1P2 的伴随切线,特别地,
当 xo ? ? x1 ? (1? ?)x2 (0 ? ? ? 1) 时,又称 l 为 P1P2 的 ? 伴随切线。
(i)求证:曲线 y ? f (x) 的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的;
(ii)是否存在曲线 C ,使得曲线 C 的任意一条弦均有 1 伴随切线?若存在,给出一条这 2
样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由。 解法一:
(I) f '(x) ? a ? 1 , x ? 0 x
当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 在 (0, ??) 内是增函数, ?函数 f (x) 没有极值
当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0, 得 x ? ? 1 a
当 x 变化时, f '(x) 与 f (x) 变化情况如下表:

x

? ??

0,

?

1 a

? ??

?1 a

? ??

?

1 a

,

??

? ??

f '(x)

+

0

-

f (x)

单调递增

极大值

单调递减

?当 x ? ? 1 时, f (x) 取得极大值 f (? 1 ) ? ?1? ln(? 1 )

a

a

a

综上,当 a ? 0 时, f (x) 没有极值;

当 a ? 0 时, f (x) 的极大值为 ?1? ln(? 1 ) ,没有极小值………………………5 分 a

(Ⅱ)(i)设 P1(x1, f (x1)), P2( x ,2 f( x )2) 是曲线 y ? f (x) 上的任意两点,要证明 P1P2 有

伴随切线,只需证明存在点 Q(xo , f (xo )), x1 ? xo ? x2 , 使得

f

'(xo ) ?

f

(x2 ) x2

? ?

f (x1) x1

,且点

Q

不在

P1P2

上。

f

'(

x)

?

a

?

1 x

.

即证存在

xo

?

( x1 ,

x2

)

,使得

a

?

1 xo

?

ax2

? ln x2 ? ax1 ? ln x1 x2 ? x1

即 ln

x2 x1

?

1 xo

( x2

?

x1 )

?

0 成立,且点 Q

不在直线

P1P2



以下证明方程 ln

x2 x1

?

1 x

( x2

?

x1 )

?

0

在 (x1,

x2 ) 内有解。



F ( x)

?

ln

x2 x1

?

1 x

( x2

?

x1), 则

F (x1)

?

ln

x2 x1

?

x2 x1

?1

令 g(t) ? ln t ? t ?1,t ?1

? g '(t) ? 1 ?1 ? 1? t ? 0

t

t

? g(t) 在 (1, ??) 内是减函数,? g(t) ? g(1) ? 0

取t

?

x2 x1

? 1, 则 g( x2 ) ? ln x1

x2 x1

?

x2 x1

?1?

g(1)

? 0 ,即 F (x1) ?

0

同理可证 F (x2 ) ? 0.? F (x1)F (x2 ) ? 0

? 函数

F ( x)

?

ln

x2 x1

?

1 x

( x2

?

x1 )

在(

x1,

x2

)内有零点

即方程 ln

x2 x1

?

1 x

( x2

?

x1 )

?

0

在 (x1,

x2 ) 内有解

x

?

xo

又对于函数 g(t) ? ln t ? t ?1, 取 t

?

x2 xo

? ? 1 ,则 g ?
?

x2 xo

? ? ? ln ?

x2 xo

? x2 xo

?1 ?

g(1)

?0



可知

f

'(xo ) ?

f

(x2 ) x2

? ?

f (xo) xo

即点

Q

不在直线

P1P2

上。

又 F(x) 是增函数,? F (x) 的零点是唯一的,

即方程 ln

x2 x1

?

1 x

( x2

?

x1 )

?

0

在 (x1,

x2 ) 内有唯一解

综上,曲线 y ? f (x) 上的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一

的………………………10 分

(ii)取曲线 C : y ? h(x) ? x2 ,则曲线 y ? h(x) 的任意一条弦均有 1 伴随切线。 x

证明如下:

设 R(x3, y3 ).S (x4 , y4 ) 是曲线 C 上任意两点 (x3 ? x4 ) ,

则 kRS

?

y4 x4

? y3 ? x3

?

x42 x4

? x32 ? x3

?

x3

? x4

即曲线 C : y ? x2 的任意一条弦均有 1 伴随切线………………………15 分 2

注:只要考生给出一条满足条件的曲线,并给出正确证明,均给满分,若只给

曲线,没有给出正确的证明,不给分。

解法二:

(I)同解法一。

(Ⅱ)(i)设 P1(x1,f (x 1), P(2x,2 f( x) 2

是曲线 y ? f (x) 上的任意两点,要证明 P1P2

有伴随切线,只需证明存在点 Q(xo , f (xo )) , x1 ? xo ? x2 ,使得

f

'(xo ) ?

f

(x2 ) x2

? ?

f( x1

x1 )

,

且点

Q

不在直线

P1P2



f

'(

x)

?

a

?

1 x

,

即证存在

xo

?

(

x1

,

x2

)

,使得

a

?

1 xo

?

ax2

? ln x2 ? ax1 ? ln x1 x2 ? x1

即 xo ln x2 ? xo ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 成立,且点 Q 不在直线 P1P2 上

以下证明方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 (x1, x2 ) 内有解

设 F (x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 , x1 ? x ? x2

则 F (x1) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2

记 g(x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2, 0 ? x ? x2

? g '(x) ? ln x2 ? ln x ? 0

? g(x) 在 (0, x2 ) 内是增函数,

? F (x1) ? g(x1) ? g(x2 ) ? 0

同理 F (x2 ) ? 0,? F(x1)F(x2) ? 0

?方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 (x1, x2 ) 内有解 x ? xo

又对于函数 g(x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2

0 ? x1 ? xo ? x2 ,? g(xo ) ? xo ln x2 ? xo ln x2 ? xo ? x2 ? g(x2 ) ? 0

可知

f

'(xo ) ?

f

(

x2 ) x2

? ?

f (xo xo

)

,

即点

Q

不在直线

P1P2

上。

又 F (x) ? (ln x2 ? ln x1)x ? x1 ? x2 在 (x1, x2 ) 内是增函数。

?方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 (x1, x2 ) 内有唯一解

综上,曲线 y ? f (x) 上的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的

(ii)同解法一。


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