2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案

2017 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛 暨 2017 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案 (考试时间:2017 年 5 月 21 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知集合 A ? ? x log2 ( x ? 1) ? 1? , B ? ? x 取值范围为。 【答案】 (?1 , 5) 【解答】由 log2 ( x ?1) ? 1 ,得 0 ? x ? 1 ? 2 , 1 ? x ? 3 , A ? (1, 3) 。 由 x ? a ? 2 ,得 ?2 ? x ? a ? 2 , a ? 2 ? x ? a ? 2 , B ? (a ? 2 , a ? 2) 。 若 A ? B ? ? ,则 a ? 2 ? 1 或 a ? 2 ? 3 , a ? ?1 或 a ? 5 。 ∴ A ? B ? ? 时, a 的取值范围为 (?1 , 5) 。 x ? a ? 2 ? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的 2 .已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,当 ?1 ? x ? 0 时, 9 f ( x) ? x3 ,则 f ( ) ? 。 2 【答案】 1 8 【解答】由函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,知 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) 。 又 f ( x) 为奇函数, ∴ ∴ f ( x ? 2) ? f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) 。 9 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ? ) ? ?( ? ) 3 ? 。 2 2 2 2 8 3 . 已 知 ?an ? 3 为 等 比 数 列 , 且 a1a2017 ? 1 , 若 2 f ( x) ? 2 1 ? x2 , 则 f ( 1a ? ) f( a) 2 ? f L(? a ) ? 。 f0( 1a ?7 ) 【答案】 2017 【解答】由 f ( x) ? 1 2 2 2 2 x2 2 f ( x ) ? f ( ) ? ? ? ? ? 2。 知, 1 ? x2 x 1 ? x 2 1 ? ( 1 )2 1 ? x 2 x 2 ? 1 x ∵ ∴ ∴ ∴ ?an ? 为等比数列,且 a1a2017 ? 1 , a1 a2 0 1? a a 3? L2 0 1? a 7 a a 2 2? 016 5 f(a ) ? 1 )? f ( a 2017 f ( a2? ) f(a ?) 201 6 。 1 a ? 2017 1 f(a ?3) f(a L )5 ? 2? 01 。 f(a? (? a)1 2 2 0)1 7 f 2? f (a ? f (2 a? ) 1 ) f ( L ) 3a ? ? f 2(a 0? 17 ) ? ? f (a1 ) ? f (a2017 )? ? ? f (a2 ) ? f (a2016 )? ? ? f (a3 ) ? f (a2015 )? ? L ? ? f (a2017 ) ? f (a1 )? 1 ? 2 ? 2017 。 ∴ f(a ? 1 )? f ( a 2 ) f (3a ? L ) ? f( ) 2a 0 1 7? 。 2 017 4.将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级,每班至少 1 个名额,则甲班恰好 分到 2 个名额的概率为。 【答案】 2 7 【解答】将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级,每班至少 1 个名额的不同 3 分配方案有 C7 (用隔板法:将 8 个名额排成一排,在它们形成的 7 个空挡中插入 3 ? 35 种。 块隔板,则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然。 ) 2 其中,甲班恰好分到 2 个名额的分配方案有 C5 (相当于将 6 个名额分配个 3 个 ? 10 种。 班级,每班至少 1 个名额。 ) 所以,所求的概率为 10 2 ? 。 35 7 5.三棱锥 P ? ABC 中, △ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, PB ? PC ? 5 ,且二面角 P ? BC ? A 的大小为 45 ? ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球的表面积为。 【答案】 25? 【解答】如图,取 BC 中点 D ,连 AD , PD 。 由 △ABC 是边长为 2 3 的等边三角形, PB ? PC ? 5 知, AD ? BC , PD ? BC , PD ? 2 。 ∴ ?P D 为 A 二 面 角 P ? BC ? A 的 平 面 角 , P ?PDA ? 45? , BC ? 面 PAD , 面 PAD ? 面 ABC 。 作 PO1 ? AD 于 O1 ,则 PO1 ? 面 ABC 。 ∴ PO1 ? O1D ? 1, O1 A ? 2 , O1 为 △ABC 的外心,三 A O1 B D C 棱锥 P ? ABC 为正三棱锥。 设三棱锥 P ? ABC 外接球的球心为 O ,半径为 R 。 则 O 在直线 PO1 上,且 PO1 ? PO ∴ 2 2 R? ( R ? 12) ? 2 ?R , 2 ? O1 A2 ? OA2 。 5 ,三棱锥 P ? ABC 的外接 2 O 球的表面积为 4? R 2 ? 25? 。 6.已知 P 为双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 为双曲线 C 的左、右焦点, M 、 I 分 4 12 别为 △PF1F2 的重心、内心,若 M I ? x 轴,则 △PF1F2 内切圆的半径为。 【答案】 6 2 【解答】如图,不妨设点 P 在第一象限, D 、 E 、

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