(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第二课时 三角函数线教案 新人教A版必修4_图文

第二课时 三角函数线
预习课本P15~17,思考并完成以下问题
(1)有向线段是如何定义的? (2)三角函数线是如何定义的?

1.有向线段

[新知初探]

带有方向 的线段叫做有向线段.

2.三角函数线

图示

正弦线 余弦线 正切线

α 的终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴, 有向线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过 A(1,0)作 x 轴的垂线,交 α 的终边或其终边的反 向延长线于 T,有向线段 AT即为正切线

[点睛] 三角函数线都是有向线段.因此在用字母表示 这些线段时,也要注意它们的方向,分清起点和终点,书 写顺序也不能颠倒.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)三角函数线的长度等于三角函数值.

(× )

(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负. (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.

(√ ) (×)

2.已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边

A.在x轴上

B.在y轴上

()

C.在直线y=x上

D.在直线y=-x上

答案:B

3.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号

相异,那么α的值为

()

A.π4

B.34π

C.74π

D.34π或74π

答案:D

4.sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”)

答案:>

三角函数线的作法
[典例] 作出34π的正弦线、余弦线和正切线. [解] 角34π的终边(如图)与单位圆的交点 为 P.作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,过 A(1,0) 作单位圆的切线 AT,与34π的终边的反向延长 线交于点 T,则34π的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT.

三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆 的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正 弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交α的终边 (α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第 三象限角)于点T,即可得到正切线AT.

[活学活用] 作出-94π的正弦线、余弦线和正切线. 解:如图所示,
-94π的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.

三角函数线的应用

题点一:利用三角函数线比较大小

1.利用三角函数线比较下列各组数的大小:

①sin

23π与 sin

45π;②tan

23π与 tan

4π 5.

解:如图所示,角

2π 3

的终边与单位圆的交

点为P,其反向延长线与单位圆的过点A的

切线的交点为T,作PM⊥x轴,垂足为M,

sin 23π=MP,tan 23π=AT;

45π的终边与单位圆的交点为 P′,其反向延长线与单位圆的过

点 A 的切线的交点为 T′,作 P′M′⊥x 轴,垂足为 M′,

则 sin 45π=M′P′,tan 45π=AT′,

由图可见,MP>M′P′>0,AT<AT′<0,

所以①sin

2π 3 >sin

45π,②tan

2π 3 <tan

4π 5.

题点二:利用三角函数线解不等式 2.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此
写出角 α 的集合:

(1)sin α≥ 23;(2)cos α≤-12. 解:(1)作直线 y= 23交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB, 则 OA 与 OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角 α 的终边的范 围,故满足条件的角 α 的集合为

?????α???2kπ+π3≤α≤2kπ+23π,k∈Z

?? ? ??

(2)作直线 x=-12交单位圆于 C,D 两点,连接 OC,OD,则 OC

与 OD 围成的区域(图②中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满

足条件的角 α 的集合为?????α???2kπ+23π≤α≤2kπ+43π,k∈Z

??
?.
??

题点三:利用三角函数线求函数的定义域

3.求函数 f(x)= 1-2cos x+ln????sin x- 22????的定义域. 解:由题意,得自变量 x 应满足不等式组

??1-2cos x≥0,

? ??sin

x-

22>0,

??cos x≤12,

即?

??sin

x>

2 2.

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,

即定义域为?????x???2kπ+π3≤x<2kπ+34π,k∈Z

??
?.
??

1.利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函 数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数 值的绝对值. (2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看其长度,还要 看其方向. 2.利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法. 对于sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解关键 是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连 接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即 可确定相应的范围.


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