高考数学复习点拨:直线与圆的方程中的六种数学思想方法


直线与圆的方程中的六种数学思想方法
四川 毛仕理

1.数形结合的思想 例 1 设 k,a 是实数,要使关于 x 的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于 k 的一切 值都有解,求实数 a 的取值范围. 解 在平面直角坐标系中分别画出 l1:y=|2x-1|和 l2:y=k(x-a)+a 的图象 1 (如图),其中 l2 是过点 M(a,a)且斜率为 k 的直线系,l1 是折线 y=2x-1(x≥ ) 2 1 和 y=-2x+1(x< ).由图形的直观性可知要使原方程对于 k 的一 2 切值都有解的几何意义是直线 l2 绕点 M(a,a)旋转时都与折线 l1 1 相交,点 M 必须位于过 C( ,0)的两条射线上或射线的上方. 2

?a ? 2 a ? 1 ∵ ? ?a ? ?2a ? 1

1 ∴ ≤a≤1. 3

例 2 已知定点 A(1,1), B(3,3),动点 P 在 x 轴上,若∠APB 取得最大值, 则点 P 的坐标是………………( ) A.这样的点 P 不存在 C.( 3 ,O) B.( 2 ,O) D.( 6 ,O)

分析 由 A、B 两点坐标及位置特点,可以看出,动点 P 在 x 轴正半轴上的某 个位置可能使么∠APB 取最大值, 此题若设 P(x, O), 用到角公式表示出 tanAPB, 再求使之取得最大值时的 P 点坐标显然较繁. 而利用平面几何中的圆外角小于圆 周角,设过 AB 且与 x 轴正半轴相切的圆与 x 轴的切点为 P,(如图)则 P 点即为 所求的点,而|OP|2=|OA|·|OB|= 2 · 18 =6 故选 D. 2.分类讨论的思想 例 3 求与点 P(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴的截距相等的直线方程. x y 解 (1)若截距 a≠O,可设直线方程为: + =1 即 x+y-a=0 a a 由已知:
| 4?3?a | 2

∴|0P|= 6 ,点 P( 6 ,0),

=5 可得:a=7 士 3 2
3 x,且|OP|=5 4

(2)若截距 a=O,由于 OP 所在的直线方程为 y= ∴所求直线方程为 y=4 x 3

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综上,所求直线方程为 x-y-7-5 2 =0 或 x+y-7+5 2 =0 或 4x+3y=O 对含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想,正确、严密 地求解. 例 4 讨论直线 l:3x+4y+m=0 与圆 C:x2+y2-2x=O 的位置关系. 分析 先求得圆 C 的圆心 C(1,O)和半径 r=1,再得圆心 C 到直线 l 的距离 |3? m| d= ,最后按 d<r、d=r、d>r 三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时 m 5 的取值范围. |3? m| 解 当 d= <1,即-8<m<2 时,直线与圆相交; 5 |3? m| 当 d= =1,即 m=-8 或 m=2 时,直线与圆相切; 5 |3? m| 当 d= >1,即 m<-8 或 m>2 时,直线与圆相离. 5 3.参数思想 例 5 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论 a 为何值,直线总过第一 象限. (2)为使这直线不过第二象限,求 a 的范围. 解 (1)将方程整理得为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=O 对任意实数 a, 1 3 恒过直线 3x-y=O 与 x-2y+1=0 的交点( , ), 5 5 1 3 ∴直线系恒过第一象限内的定点( , ); 5 5 1 (2)当 a=2 时,直线为 x= 不过第二象限; 5 3a ? 1 1 当 a≠2 时,直线方程化为:y= x, a?2 a?2
? 3a ? 1 ? 3a ? 1 ?a?2 ?0 ?a?2 ?0 ? ? 不过第二象限的充要条件为 ? 或 ? ? a>2, ?1 1 ? ? ?0 ?0 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ?

总之,a≥2 时直线不过第二象限. 例 6 过点 P(2, 1)作直线 l, x 轴、 轴正半轴分别交于 A、 两点, PA|· 与 y B | | PB|的最小值及此时 l 的方程. 分析 本题除了用斜率、角度作为参数外,我们再给出以直线的参数方程来 求解的方法. ? 解 设直线 AB 的倾斜角为 ? ( < ? < ? ), 2

? x ? 2 ? t cos? 则直线 AB 的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin ?
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2 , cos ? 1 令 y=O,则得 A 点所对应的参数 t=sin ?

令 x=O,则得 B 点所对应的参数 t=-

∴|PA|·|PB|=|-

2 1 4 |·||= cos ? sin ? | sin 2? |

3 当 a= ? 时|PA|·|PB|有最小值 4,此时直线 l 的方程为 4

3 ? x ? 2 ? t cos ? ? ? 4 ? 3 ? y ? 1 ? t sin ? ? 4 ?

? ?x ? 2 ? ? 即? ?y ? 1? ? ?

2 t 2 2 t 2

4.待定系数法的思想: 根据给定条件求直线和圆方程时,待定系数法和代点 法是常用的方法. 例 7 已知直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,且过一定点 P(6, -2),求直线的方程. x y 解法一 设直线 l 的方程为 + =1. ① a b 6 2 ∵直线 l 过点(6,-2), ∴ - =1. ② a b 2 又∵a=b+1.代入②整理得 b -3b+2=O,解之 b1=1,b2=2,∴a1=2,a2=3. 代入①得所求的直线方程为 x+2y-2=O 或 2x+3y-6=O. 解法二 设所求直线 l 的斜率为 k,又直线 l 过定点 P(6,-2), 于是直线 l 的方程是 y+2=k·(x-6),即
x y + =1. 6 k ? 2 ? ( 6 k ? 2) k

6k ? 2 2 1 +6k+2=1,∴k=- 或 k=- . k 3 2 2 1 ∴直线 l 的方程是 y+2=- (x-6)或 y+2=- (x-6), 3 2 即 x+2y-2=O 或 2x+3y-6=O.

依题意知

例 8 已知△ABC 中,A 点坐标为(1,2), AB 边和 AC 边上的中线方程分别 为 5x-3y-3=O 和 7x-3y-5=O,求 BC 边所在直线方程. 分析 欲求 BC 边的方程,没有直接的已知条件,可设 B(x1,y1),C(x2,y2), 然后用两点式得方程. 解 设 C(x1,y1),AB 中点坐标为(
x1 ? 1 y ?2 , 1 ) 2 2

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?5 x1 ? 3 y1 ? 3 ? 0 ? 则 ? x1 ? 1 y1 ? 2 ?7 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 0 ?
解得:x1=3,y1=4,∴C(3,4) 说明 此题由代点法,结合解方程组比直接由已知方程求交点要简单得多, 同理可求得 B(-1,-4),由两点式得直线 BC 方程为 2x-y-2=0 5.化归的思想. 利用转化的思想可把较繁的问题简单化. 例9 求函数 y= x 2 ? 1 + x 2 ? 4x ? 8 的最小值.

分析 此函数的定义域为 R,如果从代数的角度考虑,确实比较复杂;如果 借助于两点间的距离公式,转化为几何问题,则是非常的容易. 解 y= x 2 ? 1 + x 2 ? 4x ? 8 = ( x ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 + ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2

令 A(O,1),B(2,2),P(x,O),则问题转化为:在 x 轴上求一点 P(x,O), 使得|PA|+|PB|取得最小值. ∵A 关于 x 轴的对称点为 A’(O,-1), ∴(|PA|+|PB|)min=|A’B|= (2 ? 0) 2 ? (2 ? 1) 2 = 4 ? 9 = 13 . 6.函数、方程、不等式思想 例 10 两条平行直线分别过点 P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为 d, 如果这条直线各自绕点 P、Q 旋转并互相保持平行. (1)求 d 的变化范围. (2)用 d 表示这两条直线的斜率. (3)当 d 取最大值时,求这两条直线的方程. 解 当过 P、Q 的两条直线的斜率为 O 时, d=5;当这两直线斜率不存在, 即与 x 轴垂直时, d=3. 设 l1:y+2=k(x+2);l2:y-3=k(x-1) (1)由平行线间的距离公式得 d= 即(d2-9)k2+30k+d2-25=O ……① 得 O<d≤ 34 (2)由①得 k=

| 3k ? 5 | k 2 ?1
由△=900-4(d2-9)(d2-25)≥O,

? 15 ? d 34 ? d 2 (d≠3) d2 ?9
3 5

(3)当 d= 34 时,k=-

3 3 ∴l1:y+2=- (x+2), l2:y-3=- (x-1) 5 5 说明 此题的(1)(3)也可利用数形结合的方法来求解.

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