江西省吉安县高中数学第3章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版_图文

3.1.2 一元二次不等式及其解法

学习目标:
1.了解一元二次不等式的概念; 2.理解一元二次不等式、二次函数、二次方程之间的关系; 3.掌握一元二次不等式的解法。

一元二次不等式定义:



定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是二次的不等式叫做一元二次不等式.

形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)

问题:如何解一元二次不等式呢?

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判别式 △=b2- 4ac

△>0 y

△=0 y

y=ax2+bx+c

(a>0) 的 图 象

x1

O

x2 x

O x1

x

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= ? b
2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}

{x|x≠

?

b
}

2a

ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

{x|x1< x <x2 }

Φ

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△<0 y
x O 没有实根
R
Φ
4


这张表是我们今后求解一元二次不等式的 主要工具,必须熟练掌握,其关键是抓住 相应的二次函数的图像。

记忆口诀:
大于取两边,小于取中间.

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思考1:解下列不等式:



(1).解不等式 2x2-3x-2 > 0 .

解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,

先求方程的根

方程的解2x2-3x-2 =0的解是

x1

?

?

1 2

,

x2

?

2.

所以,原不等式的解集是

然后想像图象形状

? ? ?

x

|

x

?

?

1 2

,

或x

?

2??. ?

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注:开口向上,大于0

解集是大于大根,小于 小根

点评

6

(2).解不等式 4x2-4x+1 > 0

解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是
1 x1 ? x2 ? 2,
所以,原不等式的解集是

? ?

x

|

?

x

?

1?

2

? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解

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(3).解不等式 -3x2+6x > 2

解: ∵-3x2+6x > 2

3x2-6x+2 < 0

∵方程的解3x2-6x+2 =0的解是

x1 ? 1 ?

3 3

, x2

?1?

3. 3

所以,原不等式的解集是

? ?x |1? ?

3 ? x ?1? 3

3?

3

? ?

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(4).解不等式 -x2 +2x-3 > 0

解: -x2 +2x-3 > 0
x2 -2x+3 < 0 无解

注:x2 -2x+3 >0

x?R

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总结: 解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0,△≥0 )的步骤:

①化一般式:将二次不等式化成一般式(a>0 );

②看判别式:?>0时,求出方程ax2+bx+c=0的两根;

③画简图:画出y=ax2+bx+c的图象;

④写解集:根据图象写出不等式的解集.

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再次强调注意公式口 诀的大前提:

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议展 探究一:“三个二次”关系的应用
例1:已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为 (1,2),试求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解 集.
∴不等式bx2+ax+1>0,就是2x2-3x+1>0. 由2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0, 所以 x<12或 x>1. ∴bx2+ax+1>0 的解集为(-∞,12)∪(1,+∞).
总结:一元二次不等式解集的端点与对应一元二次方程的根相同。

议展
探究二:含参数的一元二次不等式
例12、求不等式(x?a)(x?1)<0 的解集. 解析:题中不等式显示二次项系数为正,且对应的一元 二次方程有两个解a和1,那么我们只需对两个解的大小 讨论即可。
解:不等式对应的一元二次方程的根为a、1 当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a}
当a=1时,不等式化为(x?1)2<0,此时解集为空集;
当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1} 综上所述:当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a}
当a=1时,解集为空集; 当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1}
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变式例12、解关于x的不等式2x2+kx?k≤0 .

议展

解析:不等式对应方程的?=k2+8k,符号不确定,这时我

们要对?分?>0,?=0,?<0三种情形讨论.

解:当?<0,即-8<k<0时,不等式对应的方程无解,
不等式的解集为Φ ;
当?=0,即k=0或-8时,不等式对应的方程有两相等实根, 不等式的解集为{x | x ? ? k} ;
4

议展

当?>0,k>0或k<-8时,不等式对应的方程有两不相等 的实根,他们分别为:

x1 ? ?k ?

k2 4

? 8k

,

x2

?

?k

?

k 2 ? 8k 4

显然x1>x2,故不等式的解集为:

{x | ?k ?

k 2 ? 8k ? x ? ?k ?

k 2 ? 8k }

4

4

议展

变式2 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0 .
解:当a=0时,原不等式?-x+1<0 ? x>1

当a<0时,原不等式 ? (x ? 1)(x ?1) ? 0 ? x ? 1 , or, x ? 1;

a

a

当a>0时,原不等式 ? (x ? 1)(x ?1) ? 0
a

其解的情况由 1 和1的大小决定,故: a

(1)当a=1时,原不等式的解集为空集;

(2)当a>1时,原不等式的解集为{x | 1 ? x ? 1};
a
(3)当0<a<1时,原不等式的解集为 {x |1? x ? 1} ;
a

小结:



一化:化二次项前的系数为正数.

二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根.

四画:画出对应函数的图象.

五解集:根据图象写出不等式的解集.

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1.解下列不等式:
?1?2x2 ?13x ? 20 ? 0


?2?4x2 ? 4x ?1 ? 0


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