2012年北京市海淀区高三毕业班二模数学(文)试题及答案免费下载

2012 年海淀区高三二模数学(文科)

2012. 5

一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

2 的值域是 (A) (- 3,0] (B) (- 3,1] (C) [0,1] 1 2.已知命题 p : $ x ? R,sin x x ,则 ?p 为 2 1 (A) $ x ? R,sin x (B) " x ? R,sin x x 2 1 (C) $ x 纬R,sin x (D) " x 纬R,sin x x 2 2 ? 2 ? 3. cos 15 - sin 15 的值为 1 2 3 (A) (B) (C) 2 2 2 4.执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 10,则输出的 x 值为
1.函数 y = - x + 1, - 1 ? x (A)4 (C)1 (B)2 (D)0

2

(D) [1,5)

1 x 2 1 x 2
(D)

6 2
开始 输入 x

5.已知平面 ? , ? 和直线 m ,且 m ? “ m ∥ ? ”的 (A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

? ,则“ ? ∥ ? ”是



x> 2


x = 2x
输出 x 结束

x = x- 2

6.为了得到函数 y =

1 log 2 ( x - 1) 的图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的 2 1 (A)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 (B)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
(C)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度

7.某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形 都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

20 3 (C) 6
(A)

4 3 (D) 4
(B)
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主视图

俯视图

8. P( x, y ) 是曲线 C : y = 点

1 曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、y 轴 ( x > 0) 上的一个动点, x

分别 交于 A, B 两点,点 O 是坐标原点.给出三个命题: ① PA = PB ; ② ?OAB 的面积为定值; ③ 曲线 C 上存在两点 M , N ,使得 ?OMN 为等腰直角三角形. 其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

1+ i ,则 z = . i3 x2 y 2 10.已知双曲线 2 - 2 = 1 的渐近线方程是 y = a b
9.复数 z = 为 . 11.在 ?ABC 中,若 ? A

2 x ,那么此双曲线的离心率


120 , c = 6 , ?ABC 的面积为 9 3 ,则 a =

12.在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于等于 _________. 13.某同学为研究函数 f ( x) =

1 的概率是 4
D C P F

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x

1) 的性质,

构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边

BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x) .
请你参考这些信息,推知函数 f ( x) 的极值点是 函数 f ( x) 的值域是 . ;
A B E

14.已知定点 M (0, 2), N (- 2,0) ,直线 l : kx - y - 2k + 2 = 0 ( k 为常数) .若点 M , N 到 直线 l 的 距离相等,则实数 k 的值是 实数 k 的 取值范围是 . ;对于 l 上任意一点 P , ?MPN 恒为锐角,则

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

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15. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 , S5 = 4a3 + 6 ,且 a1 , a3 , a9 成等比 数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

16. (本小题满分 13 分) 在一次“知识竞赛”活动中, A1 , A2 , B, C 四道题, 有 其中 A1 , A2 为难度相同的容易题,B 为中档题,

C 为较难题.现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
(Ⅰ)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率; (Ⅱ)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

17. (本小题满分 14 分) 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,棱 AB, BB ', B ' C ', C ' D ' 的中点分别是 E , F , G, H , 如图所示. (Ⅰ)求证: AD ' ∥平面 EFG ; (Ⅱ)求证: A' C ^ 平面 EFG ; (Ⅲ)判断点 A, D ', H , F 是否共面?并说明理由.
A' M

D'

H G B' F

C'

D N A

C E B

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x?a ( a ? 0 , a ?R ) . x ? 3a 2
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若对任意 x1 , x2 ? [?3, ??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m 成立,求实数 m 的 最小值.

第 3 页 共 10 页

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,且点 (?1, ) 在椭圆 C 上. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 Q ( , 0) ,动直线 l 过点 F ,且直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,

5 4 uur uuu r 证明: QA ? QB 为定值.

20. (本小题满分 14 分) 将一个正整数 n 表示为 a1 + a2 + L + a p ( p

N* ) 的形式,其中 ai ? N * ,

i = 1, 2,L , p ,
且 a1 ? a2 ? L ? a p ,记所有这样的表示法的种数为 f (n) (如 4 ? 4 , 4 ? 1 ? 3 , . 4 ? 2 ? 2 , 4 ? 1 ? 1 ? 2 , 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,故 f (4) ? 5 ) (Ⅰ)写出 f (3) , f (5) 的值,并说明理由; (Ⅱ)证明: f (n + 1) - f (n)

1 (n = 1, 2, L ) ;

(Ⅲ)对任意正整数 n ,比较 f (n ? 1) 与 [ f (n) ? f (n ? 2)] 的大小,并给出证明.

1 2

第 4 页 共 10 页

海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文科)参考答案
2012.5 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 A 8 C

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9、 2 ; 10、 5 ; 6 3 ; 11) 12、 ; 13、 , 5, 2+ 1]; 1或 14、 [ 注: (13)(14)题第一空3分;第二空2分. 、 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 13 分) 解 : ( Ⅰ ) 因 为 S5 = 4a3 + 6 , 所 以 5a1 + ①……………………3 分 因为 a1 , a3 , a9 成等比数列, 所以 a1 (a1 + 8d ) = (a1 + 2d ) 2 . 分 由①, ②及 d ? 0 可得:a1 = 2, d = 2 . 分 所 以 …………………7 分 ………… ………6 ② ………5

1 2

1 2

1 1 ;- ? , ( ) ? (1, + 3 7

)

5创 d 4 = 4(a1 + 2d ) + 6 . 2

an = 2n .
(Ⅱ) an = 2n 可知:Sn = 由 分 所

(2 + 2n) n = n 2 + n .[来源: 2

学…………………9

以 … …………………………………11 分

1 1 1 1 . = = S n n(n + 1) n n + 1
所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - + - + ?+ - + + + ?+ + 1 2 2 3 n- 1 n n n + 1 S1 S2 Sn- 1 Sn
第 5 页 共 10 页

= 1…13 分 所以 数列 {

1 n = . n+ 1 n+ 1

…………………………………

n 1 } 的前 n 项和为 n+ 1 Sn

16、 (本小题满分 13 分) 解:由题意可知,甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题,所有可能的结果有 16 个,

( ( ( ( ( ( ( ( 它们是: A1 , A1 ) , A1 , A2 ) , A1 , B) , A1 , C ) , A2 , A1 ) , A2 , A2 ) , A2 , B ) , A2 , C ) , ( B, A1 ) , ( B, A2 ) , ( B, B) ,
(C, C ) .

( B, C ) , (C , A1 ) , (C , A2 ) , (C, B) ,

………………………3 分

(Ⅰ)用 M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,则 M 包含的基本事件有:

( A1 , A1 ) , ( A1 , A2 ) , ( A2 , A1 ) , ( A2 , A2 ) , ( B, B) , (C, C ) . 所 以
P( M ) = 6 3 = .…………8 分 16 8

(Ⅱ) N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”, N 包含的基本事件有: 用 则

( B, A1 )
P( N ) =



( B, A2 )



(C , A1 )



(C , A2 )



(C, B)

.





5 . 16

………………13 分

17、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BC ' . 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, AB ? C ' D ' , AB ∥ C ' D ' . 所以 四边形 ABC ' D ' 是平行四边形.所以 AD ' ∥ BC ' . 因为 F , G 分别是 BB ', B ' C ' 的中点, 所以 FG ∥ BC ' .所以 FG ∥ AD ' . ………2 分 因为 EF , AD ' 是异面直线,所以 AD ' ? 平面 EFG . 因为 FG ? 平面 EFG , 所以 AD ' ∥平面 EFG .………4 分 (Ⅱ)证明:连接 B ' C . 在正方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, A ' B ' ^ 平面
A D F C E B A' B' H G

D'

C'

BCC ' B ' , BC ' ? 平面 BCC ' B ' ,
所以

D' A'

H G B' F

C'

A ' B ' ? BC ' . 在 正 方 形 BCC ' B ' 中 ,

B ' C ? BC ' ,

第 6 页 共 10 页

D A B

C E

因为 A ' B ' ? 平面 A ' B ' C , B ' C ? 平面 A ' B ' C , A ' B '? B ' C = B ' , 所以 BC ' ? 平面 A ' B ' C . ……………………………………6 分 因为

A ' C ? 平面 A ' B ' C ,所以 BC ' ? A ' C .…………7 分

因为 FG ∥ BC ' ,所以 A ' C ? FG . 同理可证: A ' C ? EF . 因为 EF ? 平面 EFG , FG ? 平面 EFG , EF ? FG = F , 所以 A' C ^ 平面 EFG . (Ⅲ)点 A, D ', H , F 不共面. 理由如下: ……9 分 ……………10 分

假设 A, D ', H , F 共面. 连接 C ' F , AF , HF .
D'

H G B' F

由(Ⅰ)知, AD ' ∥ BC ' , 因为

C'

BC ' ? 平 面 BCC ' B ' , AD ' ? 平 面

A'

BCC ' B ' .
所以 AD ' ∥平面 BCC ' B ' . …………12 分 因 为 C ' ? D ' H , 所 以 平 面 AD' HF? 平 面 . BCC' B' ? C' F 因为 AD ' ? 平面 AD ' HF ,所以 AD ' ∥ C ' F . 所以 C ' F ∥ BC ' ,而 C ' F 与 BC ' 相交,矛盾. 所以 点 A, D ', H , F 不共面. 18、 (本小题满分 13 分) 解: f '( x) ? 2分 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x) , f ( x) 随着 x 的变化如下表
A D

C E B

…………………14 分

?( x ? a)( x ? 3a) .令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?3a . ( x 2 ? 3a 2 ) 2

…………………

x
f '( x) f ( x)

(??, ?3a)

?

?3a 0
极小值

(?3a, a)

?


a 0
极大值

(a, ??)

?





函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?3a , a ) ,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, ?3a ) ,

(a, ??)
. 4分 当 a ? 0 时, f '( x) , f ( x) 随着 x 的变化如下表

x

(??, a)

a

(a, ?3a)

?3a

(?3a, ??)

第 7 页 共 10 页

f '( x)
f ( x)

?


0
极小值

?


0
极大值

?


函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (a, ?3a) , 函 数

f ( x)









减 ……6 分







(??, a)



(?3a, ??) . ……

(Ⅱ)当 a ? 1 时,由(Ⅰ)得 f ( x) 是 (?3,1) 上的增函数,是 (1, ??) 上的减函数. 又 当

x ?1





x ?1 f (x ? 2 ? . ) x ?3
所 以

……………………………………8 分 0

f ( x ) 在 [?3, ??) 上 的 最 小 值 为 f (?3) ? ?
……………10 分

1 , 最 大 值 为 6

1 f ( 1?) . 2

所以对任意 x1 , x2 ? [?3, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( ?3) ?

2 . 3

所以对任意 x1 , x2 ? [?3, ??) ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m 恒成立的实数 m 的最小值为

2 .…… 3

13 分

19、 (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意知: c = 1 . 根据椭圆的定义得: 2a =

(- 1- 1) 2 + (

2 2 2 ) + ,即 2 2

a=

2 .…3 分
x2 ? y2 ? 1. 所以 b = 2 - 1 = 1 .所以 椭圆 C 的标准方程为 2
2

…………………4

分 (Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率为 0 时 , A( 2, 0), B( ? 2, 0) . 则 QA ? QB ? ( 2 ?

??? ??? ? ?

5 5 7 , 0) ? (? 2 ? , 0) ? ? .…………6 分 4 4 16

当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为: x = ty + 1 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) .

第 8 页 共 10 页

ì x2 ? ? + y 2 = 1, 2 2 由? 2 可得: (t + 2) y + 2ty - 1 = 0 . 显然 ? > 0 . í ? ? x = ty + 1 ? ?

ì 2t ? ? y1 + y2 = - 2 , ? ? t +2 ? í ? ?yy =- 1 . ? 1 2 ? t2 + 2 ? ?
因为 x1 = ty1 + 1 , x2 = ty2 + 1 , 所以 ( x1 -

……………………………………9 分

5 5 1 1 , y1 ) ?( x2 , y2 ) = (ty1 - )(ty2 - ) + y1 y2 4 4 4 4 1 1 = (t 2 + 1) y1 y 2- t ( y 1 y )2+ + 4 16

= - (t 2 + 1)

1 1 2t 1 + t 2 + t + 2 4 t + 2 16
2

=

- 2t 2 - 2 + t 2 1 7 + =. 2 2(t + 2) 16 16

即 QA ? QB ? ?

??? ??? ? ?

7 . 16

…………………13 分

20、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 3=3 ,3=1+2,3=1+1+1,所以 f (3) ? 3 . 因为 5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以 f (5) ? 7 . 分 (Ⅱ)证明:因为 n ? 1 ? 2 ,把 n ? 1 的一个表示法中 a1 = 1 的 a1 去掉,就可得到一个 n 的 表示法;反之,在 n 的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个 n + 1 的表示法, 即 n ? 1 的表示法中 a1 = 1 的表示法种数等于 n 的表示法种数, 所以 f (n ? 1) ? f (n) 表示的是 n ? 1 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数. 即 f (n + 1) - f (n) 分 (Ⅲ)结论是 f (n ? 1) ? …… ………………………………3

1.

……………………………………8

1 [ f (n) ? f (n ? 2)] . 2

证明如下:由结论知,只需证 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 2) ? f (n ? 1).

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由 ( Ⅱ ) 知 : f (n ? 1) ? f (n) 表 示 的 是 n ? 1 的 表 示 法 中 a1 ? 1 的 表 示 法 数 ,

f (n ? 2) ? f (n ? 1)
是 n ? 2 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数. 考虑到 n ? 1 ? 2 , 把一个 a1 ? 1 的 n ? 1 的表示法中的 a p 加上 1, 就可变为一个 a1 ? 1 的 n ? 2的 表示法, 这样就构造了从 a1 ? 1 的 n ? 1 的表示法到 a1 ? 1 的 n ? 2 的表示法的一个对 应,所以有

f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 2) ? f (n ? 1).


……………………………………14

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