【一本通】高考数学一轮复习 第11章 第62讲 空间向量的概念及运算课件 理_图文

1.给出下列命题: ①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线; ②向量a,b共线就是它们所在的直线重合; ③零向量没有确定的方向; ④若a P b,则存在唯一的实数? 使得a ? ? b. 其中错误命题的序号是  . ①②④   解析:①中向量b为零向量时结论不一定成立 ,所以错误;②中向量的共线与直线的共线、 不一样,所以错误;③正确;④中需保证b不 为零向量才成立,所以错误.所以错误命题 序号为①②④. 2.在四面体ABCD中,M 、N 分别是BC、CD的 uuu r uu u r 1 uuu r uuu r AN 中点,则 AB ? ( BD ? BC ) ? 2 uu u r 1 uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r 解析: AB ? ( BD ? BC ) ? AB ? BN ? AN 2 3.已知点G是V ABC的重心,O是空间任意一点. uuv uu u v uuu v uuu v 3   若OA ? OB ? OC ? ? OG则?的值是  . 解析:设BC的中点为D, uur uuu r uuv uuu v uuu v uuu r OA+OD OA ? OB ? OC 则OG = ? 3 3 故? =3 4.已知向量a ? (2, ? 1,3),b ? (?1, 4, ? 2),c ? (7,5,? ). 65 若a,b,c三向量共面,则实数?等于  7 解析:依题意,存在实数u,k,使得c ? ua ? kb, 即(7,5,? ) ? ? 2u ? k , 4k ? u,3u ? 2k ?. 17 ? ?k ? 7 ?2u ? k ? 7 ? 33 ? ? 所以 ?4k ? u ? 5 ,解得. ?u ? 7 ?3u ? 2k ? ? ? ? 65 ? ?? ? 7 ? 5.已知点A(2, ? 5,1),B(2, ? 2, 4),C (1, ? 4,1),则向 uu u r uuu r 量 AB与AC的夹角为  . 60?   uuu r 解析:因为AB ? ? 0,3,3?, ? ? ?1,1, 0 ?, uuu r uuu r uuu r uuu r AB ? AC 3 1 所以cos〈AB, AC〉 ? uuu ? . r uuu r ? AB AC 3 2 ? 2 2 uuu r uuu r uuu r uuu r 又〈AB, AC〉 ? [0,? ],所以〈AB, AC〉 ? 60?. 向量的线性运算 【例1】 在平行六面体A1B1C1 D1 — ABCD中,M 在 AC上,且CM ? 2MA,N 在A1 D上,且A1 N ? 2ND.设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? b,试用a,b,c表示MN . 【解析】 连结AN,则MN ? MA ? AN . 又 AC ? AB ? AD ? a ? b, 1 1 所以MA ? ? AC ? ? ? a ? b ?. 3 3 由已知, AN ? AD ? DN ? AD ? ND 1 = AD ? A1 D 3 ? ? c ? 2b ?. 1 1 于是 MN ? MA ? AN ? ? ? a ? b ? ? ? c ? 2b ? 3 3 1 ? ? ?a ? b ? c ?. 3 用已知向量表示未知向量,要结合图形, 以图形为指导是解题的关键.根据图形,联想 相关的运算法则和公式,就近表示所需向 量.对照目标,对不符合目标要求的向量进行 适当调整,直到所有向量都符合目标要求. 【变式练习 1】在长方体A1 B1C1 D1 — ABCD中,AC与 BD的交点为M .设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? c,试用a,b, c表示B1M . 【解析】 1 B1M ? B1 B ? BM ? ?c ? BD 2 1 ? ?c ? ( AD ? AB ) 2 1 ? ?b ? a ? ? c 2 1 1 ? ? a ? b ? c. 2 2 空间向量的数量积 【例2】 已知向量a,b,c两两夹角都是60?,且 a 夹角的余弦值. ? 1, b ? 2, c ? 3,求向量r ? a ? b ? c的长和r与a,b,c的 【解析】 r ? a ? b ? c | ? ?a ? b ? c ? 2 2 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c, 因为向量a,b,c两两夹角都是60?,所以a ? b ? 1, 3 2 a ? c ? ,b ? c ? 3,所以 r ? 25, 2 即r ? a ? b ? c的长度为5. 7 又r ? a ? ? a ? b ? c ? ? a ? a ? a ? b ? a ? c ? , 2 2 r ? b ? ? a ? b ? c ? ? b ? a ? b ? b ? b ? c ? 8, 2 27 r ? c ? ?a ? b ? c ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? , 2 7 ra 7 2 所以cos〈r,a〉 ? ? ? , r a 5 10 2 cos〈r,b〉 ? rb 8 4 ? ? , r b 10 5 27 rc 9 2 cos〈r,c〉 ? ? ? r c 15 10 向量数量积定义、定义的变形式和基本性 质是求向量模和夹角的计算公式,要理解记忆 并且正确运用. 【变式练习2】已知空间四边形OABC中,OA ? BC, OB ? AC.求证:OC ? AB. 由已知,得OA ? BC, OB ? AC, 【解析】 所以OA ? BC ? 0, OB ? AC ? 0, 所以OA ? (OC ? OB) ? 0, OB ? (OC ? OA) ? 0, 所以OA ? OC ? OB ? OC ? 0. 所以OC ? AB ? OC ? OB ? OA ? OC ? OB ? OC

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