2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(山东卷)解析版试题(2)

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学解析版
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)若复数 z 满足 z2 i ?1 7( 为虚数单位),则 z 为 ( ?) 1 ? ii (A)3+5i 解析: z ? (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i

11 ? ?22 ? ?( 7 i 711 ) ?14 i i )( 2 7 11 ? ) ( i ? ? ?i 3.答案选 A。 ? 5 2 ? i 5 5

另解:设 z a bib R ??(, ? ,则 (bi 2? a ? a ) a 2 a ( )11 ?? ? b ? i )( i ) ?b ? 2i 7 根据复数相等可知 2 b11 a 7 ,于是 z? ? i。 35 a ?,b ? ? 2 ? ,解得 a?3b?5 , (2)已知全集 U { ,1 ,3 } ? 0 ,2 ,4 ,集合 A?{ ,2,3 , B ? {2,4} ,则 (? A ?B为 1 } U ) (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}

解析: C { ( A ? , 。答案选 C。 A, C B,4 ? }, ) 0 U? 0} 4 { 2 U
1 2 ) ? 4?x 的定义域为 (3)函数 f(x ? l (x? ) n 1

(A) [? ,0 ? ,2 2 ) (0 ]

(B) (? ,0 ? 0 ] 1 ) ( ,2

(C) [ ? 2 , 2 ]

(D) ( ? 1, 2 ]

解析:要使函数 f (x ) 有意义只需 ?

?ln(x ? 1) ? 0 ?x ? ?1, x ? 0 ,即 ? ,解得 ? ? ? ,且 1 x 2 2 ?4 ? x ? 0 ? ?2 ? x ? 2

x ? 0.答案应选 B。
(4)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同 的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差

解析:设 A 样本数据的数据为 x i ,根据题意可知 B 样本数据的数据为 xi ? 2 ,则依据统计知 识可知 A,B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差 2,唯有方差相同,即标准差相同。 答案应选 D。 (5)设命题 p:函数 y ? sin2x 的最小正周期为 下列判断正确的是 (A)p 为真 (B) ? q 为假 (C) p ? q 为假 (D) p ? q 为真
-1-

?
2

;命题 q:函数的图象关于直线 x ?

? 对称.则 2

解析:命题 p 和命题 q 都是假命题, 依据“或” “且” “非”复合命题的真假性真假性判断可 知 p ? q 为假命题。故答案应选 C。
? x ? 2 y ? 2, ? (6)设变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ? 4 x ? y ? ? 1, ?

(A) [ ?

3 ,6] 2

(B) [ ?

3 , ? 1] 2

(C) [ ? 1, 6 ]

3 (D) [ ? 6 , ] 2

解析:作出可行域,直线 3 ?y?0,将直线平移至点 ( 2,0 ) 处有最大值, x 点(

4 ?y?? x 1

1 3 , 3 ) 处有最小值,即 ? ? z ? 6 .答案应选 A。 2 2
O

(7)执行右面的程序框图,如果输入 a =4,那么输出的 n 的值为 (A)2 (B)3
0

x?2 ?2 y 2 ?y?4 x

(C)4

(D)5

解析: n , ? 4 1 2 ? ? 0 ? ?1 ; 0 ? , p q ?3

n , ? 4 5? 1 ; ? 11 , 6 ? 1 ?? p q ?7
。 n2? 4 21 ? 15 3 p?q ?p ? ? q , 5 2 , ? 1 , n? , 14 ? 答案应选 B。

? ? x ?? 2i ? ? ? 0 x? )的最大值与最小值之和为 ( ? 9 (8)函数 y? sn ?6 3 ?
(A) 2 ?
3

(B)0

(C)-1

(D) ? 1 ? 3 ,可知

?x? 可知 ? ? x? ? 9 解析:由 0

? ?

? 7 ?
3 6

3 6

? ? 3 x ?? ? 2i ? ? sin(x? )?? , ],则 y? sn ? ? [ 3 ], [ 1 ? ? ,2 6 3 6 3 2 ? ?
则最大值与最小值之和为 2 ?
3 ,答案应选 A。
2 ) x 22 ( ?) 9 (9)圆 (x?2 2 ?y2 ?4与圆 ( ? ) ? y 1 ? 的位置关系为

(A)内切

(B)相交

(C)外切

(D)相离
2 2

? 0) ? ?? ( 1 解析:两圆心之间的距离为 d ? 2 2 ? ? ?17 ,两圆的半径分别为 r ? ,r ? , 1 22 3
5 则 r ?1? ? ?1 ? 2 ? ,故两圆相交. 答案应选 B。 2 r 1 d r r
(10)函数 y ?
cos 6 x 的图象大致为 2 x ? 2? x

-2-

解析:函数 f (x ? )

cosx 6 cos 6 x , f( x ? ? ?) ? f( ) ? x为奇函数, x ?x x 2 ?2 2 ?x 2

当 x ? ,且 x ? 0时 f (x ? ;当 x ? ,且 x ? 0时 f (x ? ; 0 0 ) ?? ) ?? 当 x? , 2 ? ? , f (x ? ;当, 2 ? ? , f (x ? . ?? 2 ?? 2 ?? ) 0 ) 0
x x ? x ? x

答案应选 D。 (11)已知双曲线 C 1 :
2 2 x y 2 ? 2 ? ( ?0b?0 的离心率为 2.若抛物线 C x ? p( ? ) 1a , ) 2 yp 0的焦 2: 2 a b

点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程为 (A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C)

(D) x 2 ? 1 6 y

解析:由双曲线 C 1 :

2 2 x y ? 2 ? ( ?0b?0 的离心率为 2 可知 c?2 ,b? 3 ,则双曲线的 1a , ) a a 2 a b

2 渐近线方程为 y ?? x?? 3 ,抛物线 C x ? p( ? ) x 2 yp 0的焦点 F ( 0 , 2:

b a

p ), 2

则d?

p ?2 d ?8,抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 1 6 y ,答案应选 D。 , 4
1 , g(x) ?? 2 ?b . 若 的 图 象 与 的 图 象 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 公 共 点 x x x

(12) 设 函 数 f ( x ) ?

A 1 y) Bx,y),则下列判断正确的是 ( , 1, ( 2 2 x

(A) x x? y y? ? 01 2 0 , ? 1 2 (C) x x? y y? ? 01 2 0 , ? 1 2

(B) x x? y y? ? 01 2 0 , ? 1 2 (D) x x? y y? ? 01 2 0 , ? 1 2

( ) 3 b2 1 解析:设 Fx ?x ? x ? ,则方程 F ( x) ? 0 与 f (x) ? g(x) 同解,故其有且仅有两个不同零点
2 x 1 , x 2 .由 F?(x) ? 0 得 x ? 0 或.这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b ) ? 0 ,因为,故必有 3 2 3 F ( b ) ? 0 由此得 b ? 3 2
3

2 2 2 .不妨设 x1 ? x 2 ,则 x2 ? b ? 3 2 .所以 F ?x x( ? 2 , () ( ?1 x 3 ) x ) 3 13 2 2

比 较 系 数 得 ? x1 3 4 ? 1 , 故 x1 ? ?
x 1 1 x? y? 2? ? ? 1 2 ? ,故答案应选 B. 0 1 y x x x2 x 1 2 1

. x ? x2 ? 1

13 2 ?0 , 由 此 知 2

-3-

y
另解:令 f( )? ( )可得 x gx

1 ? ?x ? b 。 x2

1 ? ? 设 y ? 2 ,y? ?? ? x b x
不妨设 x1 ? x2 ,结合图形可知, x1 ? x2 , 即 0 ?1 ? 2,此时 x ?x ? , y ? ?x x 0 2 1 2

? ? b y?? x?

x1 x2

x

1 1 。答案应选 B。 ?? ?? 1,即 y ?y ?0 y 1 2 x x 2 1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)如图,正方体 AC ? 1 1 1 1的棱长为 1,E 为线段 B 1 C 上的一点, BD A C BD 则三棱锥 A ? DED 的体积为_____. 1

1 1 1 1 解析: V 1? ? 1?? ? 1 . V ? 1? ? A ? DED ADD 1 E 6 3 2 6 (14)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据
答案: 得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5, 26.5 ] 样 本 数 据 的 分 组 为 [20.5,21.5) , [21.5,22.5) , ,
[22.5,23.5) , [23.5,24.5) , [24.5,25.5) , [25.5,26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的城

市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为____. 答案: 解析: 9 根据题意可知低于 22.5℃的城市的频率为 0 ?1222 . 0 ? ,不低于 25.5℃ 10 . 0 . 的城市的频率为 0.18 ,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为

0.18 ?11? 9 . 0.22

另解:最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为 11÷0.22=50,最 右面矩形面积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9.
x a a 0 ?) (15) 若 函 数 f( )? x( ? ,a 1 在 [ - 1 , 2 ] 上 的 最 大 值 为 4 , 最 小 值 为 m , 且 函 数
g x ?( ?4 ) x 在 [0 , ? ? ) 上是增函数,则 a=____. () 1 m

答案:

1 4

2 , ? 解析:当 a ? 1 时,有 a ?4a 1 ?m ,此时 a ? 2, m ?

1 ,此时 g ( x ) ? ? x 为减函数, 2

1 1 ? , 2 不合题意.若 0 ? a ?1,则 a 1 ?4a ?m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16

m , 另解:由函数 g x ?( ?4 ) x 在 [0 , ? ? ) 上是增函数可知 1?4 ?0 m? ; () 1 m
当 a ?1时 f ( x ) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得
2

1 4

-4-

1 a ? 2,最小值为 m ? a?1 ? 不符合题意,舍去;当 0?a? 时, f ( x ) ? a x 在[-1,2] 1 2
上的最大值为 a 故 a=
?1

? 4,解得 a ?

1 1 1 2 ,此时最小值为 m?a ? ? ,符合题意, 4 16 4

1 . 4

(16)如图,在平面直角坐标系 x O y 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P ? ? ?? 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, O P 的坐标为_ ___. 答案: ( ?i 2 ?o2 解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转 2 s , cs ) n1 了 2弧度,此时点 P的坐标为

xP ? 2 ? cos( ? ) ? 2 ? sin2, 2 2 ? yP ?1? sin( ? ) ?1? cos2, . 2 2 OP? (2 ? sin2,1? cos2)
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程 为?

?

C D

?x ? 2 ? cos? 3 ? ,且 ? PCD?? ? , ?, 2 2 2 ? y ? 1 ? sin?

3 ? ? x ? 2?cos( ?2) ? 2?sin 2 ? 2 则点 P 的坐标为 ? ,即 OP2 sin ? 2. ? ? 2 cos ( , 1 ) 3 ? ? y ?1?sin( ?2) ?1?cos 2 2 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 sB An ? A . i ( ? Ca t C n a t )t a t n a nn (Ⅰ)求证: a , b , c 成等比数列;
, (Ⅱ)若 a ?1 c ?2,求△ A B C 的面积 S.

解:(I)由已知得: s ( A ? s ) i s , i sc c i ? i nns on s n B o s CA i CA nC
n ?i s C n i s B( ? ? AC s 2B s An , i s A ) s s ,则 i ni n Ci i n n

再由正弦定理可得: b 2 ? a c ,所以 a , b , c 成等比数列.
2 a ? 2? 2 3 c b , (II)若 a ?1 c ?2,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ c sB o ? ? , 2c a 4

s C? 1 c s C? in ? o2

7 , 4

1 1 7 7 ∴△ A B C 的面积 S as B ? ? ci ? 12 n ?? ? . 2 2 4 4
-5-

(18)(本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 解:(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红
1

蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且

标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为. (II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜色不 同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为. (19) (本小题满分 12 分)
? BD 如 图, 几何体 E A C 是 四 棱锥, △ A B D 为 正三角 形,

C D ? . BCE D ? , CB

(Ⅰ)求证: B ?D ; E E (Ⅱ)若∠ B D 1 0 ,M 为线段 AE 的中点, C ? 2? 求证:∥平面.
C D O D 证明:(I)设 B D 中点为 O,连接 OC,OE,则由 B ?C 知 C ?B , E D 又已知 C ?B ,所以平面 OCE. D E 所以 B ?O ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 B ?D . E E

(II)取 AB 中点 N,连接 MN, DN ,∵ M 是 AE 的中点,∴ M N ∥ B E , ∵△ A B D 是等边三角形,∴ D ?A .由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, N B 所以∠ABC=60°+30°=90°,即 B ?A ,所以 ND∥BC, C B 所以平面 MND∥平面 BEC,又 DM ? 平面 MND,故 DM∥平面 BEC. 另 证 : 延 长 AD, BC 相 交 于 点 F , 连 接 EF 。 因 为

ABC . ? 90 CB=CD, ?
0

BAD? ? ,则 60 90 因为△ A B D 为正三角形,所以 ? ? , ABC
0 0

? ? 0, AFB 30
所以 AB ?

1 AF ,又 AB AD ? , 2

所以 D 是线段 AF 的中点,连接 DM,

// , 又由点 M 是线段 AE 的中点知 DM EF
-6-

而 DM 平面 BEC, EF 平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. ? ? (20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 { a n } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 { a n } 中不大于 7
Sm .
2m

的项的个数记为 b m .求数列 { b m } 的前 m 项和

, ?5a ?10d ?105 解:(I)由已知得: ? 1 ?a ?9d ? 2(a ?4d), 1 1

解得 a ?7 d ?7, , 1

所以通项公式为 a 7( ?? ? . ?? 1 7 n )7 n n (II)由 a ?7 ?7 m,得 n ? 72m?1 ,即 bm ? 72m?1 . n 2 n ∵
bk ?1 72m?1 ? 2m?1 ? 49 ,∴ { b m } 是公比为 49 的等比数列, bk 7

7 ? 9) 7 m ( 4m 1 ∴S? ? ( 9 ?) 4 1. m 14 ?9 4 8

(21) (本小题满分 13 分) 如图, 椭圆 M : 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l:y x m ?) ??( R m 与椭圆 M 有两个不同的交点
P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T .求
|P Q | 的最 |ST |
2 2 x y 3 , 直线和所围成的矩形 ABCD 的面积为 ? 2 ? ( ? ? )的离心率为 1a b 0 2 a b 2

大值及取得最大值时 m 的值.
2 c 3 a?2 3 b 解:(I) e? ? ? 2 ? ??① a 2 a 4

a b 矩形 ABCD 面积为 8,即 2 ?2 ?8??②

, 由①②解得: a ?2 b ?1,∴椭圆 M 的标准方程是
2 ? ?y?, x 42 4 2 (II) ? ? ?m 42?? , 5 8x m 4 0 x ? y xm ?? , ?

x2 ? y2 ? 1 . 4

8 4 2? m 4 设 P 1 y)Q 2,y),则 x?2? m1 2? , ? ,x x ( , 1, ( 2 x x 1 x 5 5
? m 242? ?得 4 0 ) 由 ?6 2? (m 4 0 ? 5?m? 5.

-7-

2 m4 2 ? 8? 4 ? 4 |P| 2? m? Q ? ? ? 4 ? 5m ?2. 5 5 ? 5? 2

线段 CD 的方程为 y 1 2 x 2 ,线段 AD 的方程为 x ?? y 1 ? ?? ?) ( ?2 1 ? 。 ( ? ) (1)不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1 ? , ( , ? D1 ? 5 ? 2 (2. m S2 ),? m , )

? SD (??( m 2 ?[ m 2 1 2 2 ) ? )] 3 ,则 ? 所以 ST
1 t

PQ 4 5?m2 ? , ST 5 (3?m 2 )

令 t 3( m mt? 5 ? 1 ? ?, ( , ,则 ?[ , ?? 5 3t 3 2 m ), ? ? ]

1 3? 5 ) 2 4

所以

PQ 5 ( ? 2 4 4 ? t 3 ) 13 5 ? ? ?( ?) , 4 ? 2 ST5 5 t 4 4 t

当且仅当 t ?

PQ 4 时 ST 3

取得最大值

2 5

5 ,此时 m ?

5 ; 3

(2)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时 ? ? ? , 1 m1

? AD 2 ? 2 ,此时 因此 ST 2

PQ ST

?

2 5 ? m2 , 5

当 m?0时

PQ ST

取得最大值

2 5

5 ;

(3)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,可知 ? 5?x?? , 1 由椭圆和矩形的对称性可知当 m ? ?

PQ 5 时 3 ST

取得最大值

2 5

5 ;

综上所述当 m ? ?

|P Q | 5 2 和 0 时, 取得最大值 |ST | 3 5

5 .

(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) ?
ln x ? k (k 为常数,e=2.71828?是自然对数的底数),曲线在点 (1, f (1)) 处 ex

的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
0 ( ) 1 e2 (Ⅲ)设 g x ?x ?(x ,其中 f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数.证明:对任意 x? ,gx ? ? ? . () f )
1 ? ln x ? k 1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . 解:(I) f ?( x) ? x ,由已知, f ?(1) ? x e e

-8-

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex
1 1 1 设 k(x) ? ? ln x ?1,则 k?(x) ?? 2 ? ?0,即 k ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , 1 ) ,单调递减区间是 (1, ? ? ) . (III)证明: 由(II)可知, x ? 1 时,g x ?x ?(x ≤0<1+ e 当 () f ) 时成立.
1x x x ?l ? n 当时, e x >1,且 g ( x ) ? 0 ,∴ g ? () x ??l x x 1 x ?. n x e
?2

,故只需证明 g(x) ?1?e?2 在

? 设 F ?? l x x x ? (0,1) ,则 Fx? (n ?) () ? x 2, l () 1 x ? , x n

当 x ? (0, e ?2 ) 时, F?(x) ? 0 ,当 x ? (e ?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 ,
? 所以当 x ? e ? 2 时, F ( x ) 取得最大值 Fe 2) ?1?e 2 . (?

所以 gx ? ( )? ? ? . ( ) Fx 1 e2 综上,对任意 x ? 0 , g(x) ?1?e?2 . 另证:因为 g ?? ) x1 ? x x0 ( xx x f( ? ( xx ),?, ) ? ln ( ) 设 h) 1x x x ,则 ? ) ? x ,令 ? ? x2 , e ( x ln ? x ( ? ?ln hx? ln 2 h) ? ? 0? , x ? ( ?
? 2

1 e

? ) ? ) 当 x? 0 e ) 时 h(x ?0, h ( x ) 单调递增;当 x? e ,??时 h(x ?0, h ( x ) 单调递 (, ( )
? 2 ? 2

减。所以当 x ? 0时, h ) h ) 1e , ( ?( ?? x e 而当 x ? 0时 0 ?

? 2

? 2

1 ? 1, ex 1 e
? 2

所以当 x ? 0时 g ) x(??ln? e ,综上可知结论成立. ( ? 1x x x 1 x ) ?

-9-


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