第五届全国高中数学青教师观摩与评比活动:《空间中直线与直线的位置关系》教案与说课稿

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“空间中直线与直线的位置关系”教学设计
教学目标 [知识与技能] 通过学习能知道空间直线的三种位置关系; 初步理解异面直线的概念,会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法,初 步理解异面直线所成角的概念,运用平移的方法求异面直线所成的角; 初步理解与运用公理 4 解决问题,初步了解等角定理. [过程与方法] 通过学习经历异面直线的概念的形成过程,借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法, 通过对等角定理的温故知新的探究,解决了异面直线的定义,并能求简单的异面直线所成的 角;借助长方体的模型,发现与感知平行线的传递性质. [情感、态度与价值观] 经历师生的教与学的互动活动, 让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义, 通 过学习让学生获得对空间直线 的位置关系有一个清晰的认识,把问题交给学生解决,让学生 自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯. 重点、难点与关键点 重点:异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法;公理 4 的运用. 难点:异面直线概念的理解与求法. 关键点:异面直线的衬托画法,找异面直线的角. 教学准备:空间四边形模型、长方体模型,直线、平面教具,教学课件. 教学过程设计: 思考问题:空间直线与直线的位置关系有几种? 设计意图:由教科书第 44 页“思考”中的问题,引起学生注意,诱发学生探知的欲望, 养成思考问题的习惯. 师生活动: (虚拟)教师放课件图片,引导学生观察:日光灯所在直线与黑板左右两侧所 在直线的位置关系,让学生发现,直线与直线有既不平行又不相交的位置关系.我们今天上 课的内容是: 板书:空间中直线与直线的位置关系 观察:如图 2.1-13,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,线段 A1B1 所在直线与线段 BC 所在直线的 位置关系如何? (虚拟)学生:既不相交,又不平行.教师:这种关系我们定义 为异面直线. 板书:1.异面直线的定义: 把不同在任何 一个平面内的两直线叫做异面直线. (关键点:不 ..... 同在任何一个平面内) . 概念辨析: 下列说法是否正确?请同学思考后回答: 如图,AD1 ? 平面 A1B1C1D1 ,BC ? 平面 ABCD ,问 AD1,BC 是否是异面关系。 教师:同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内” ,虽然直线 AD1,BC 是不在 同一底面上,但它们却在对角面 A1BCD1 内,因此,它们不是异面直线。 (虚拟)由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种: (幻灯片) :
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2.空间直线的位置关系: 板书:

?相交直线? ? ? 共面 ?平行直线? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线
板书: 3.异面直线画法: (幻灯片给出图形及小标题) : (1) .一个平面衬托画法: (2) .两个平面衬托画法:

动画设置: (教师与学生互动) (虚拟)把衬托平面移走,再看直线 a 与直线 b 的位置的异 面关系是否直观?很显然,当把衬托平面移走后,异面直线很不明显,所以异面直线的平面 衬托是很重要的,注意下列关键点: 强调关键点:1) . (一个平面衬托法)直线 b 与平面α 交点在直线 a 外; 2) . (两个平面衬托法)直线 a,b 与棱都相交,且交点不重合. 师生活动:如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1∥BB1,CC1∥BB1,那么 AA1 与 CC1 平行吗? (虚拟互动) : 由幻灯片闪烁 AA1∥BB1, CC1∥BB1, 再闪烁 AA1∥CC1, 由学生观察得到结论. 板书(幻灯片) : 4.公理 4 平行于同一直线的两直线互相平行. 即 若 AA1∥BB1,CC1∥BB1,则 AA1∥CC1. 教师与学生共同探出:公理是判断空间直线平行的依据;平行线 的性质是具有传递性. 学以致用(1) : 例 2 如图 2.1-17,空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点.求 证:四边形 EFGH 是平行四边形. 师生互动: (虚拟)教师先给学生观察空间四边形的教具,分析与回顾平 行四边形定义,三角形中位线的性质,平行线与等式的传递性,要证明四边 形是平行四边形,需要什么条件?请学生口述,教师写板书. (板书) :证明:连结 BD, ∵ EH 是△ABD 的中位线,

1 BD , 2 1 同理,FG∥BD,且 FG= BD , 2
∴ EH∥BD,且 EH= ∴ EH∥FG,且 EH=FG, ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 更上一层楼,变式探究:在例 2 中,若加条件 AC=BD,那么四边形 EFGH 又是什么图形?

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温故而知新 : “如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互 补” .空间中,结论是否成立?教师提供图形,由学生在课后完成. 5.等角定理

完善体系:探究刻画异面直线的位置关系,引入异面直线所成的角的概念. 6.异面直线所成角的定义 引入:由幻灯片闪烁异面直线 AA1 和 BC,B1D1 和 BC 它们都是异面关系,但又有明显的区别, 可以引入异面直线所成的角来刻画这种区别。 (幻灯片) :如图,已知两异面直线 a,b,空间任取一点 O,经 过点 O 作直线 a? ∥ a , b ? ∥ b ,把 a? 与 b ? 所成的锐角或直角叫做异 面直线 a 与 b 所成的角(或称夹角) . 特殊情形,若两异面直线成直角,则称两异面直线互相垂直,记 作 a⊥b.

教师与学生共同探讨,得到结论:异面直线所成的角可以通过平移变换,把异面直线成
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角化归成相交直线成角. 学以致用(2) : (由幻灯给出) 例 3 如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中. (1) 哪些棱所在的直线与直线 BA1 是异面直线? (2) 求棱 AA1 和 BC 所成角; (3) 求 A 1B 和 CC1 所成的角。 (虚拟互动)先由学生独立思考,再让学生举手发言,教师作补充、订正和结论(按三维 方向或三对面分类进行分析) . 课堂练习: 在例 3 中,直线 A 1B 和 AC 所成的角是多少? 课后思考: 1.若 a ? ? , b ? ? ,则直线 a 和 b 是异面直线; ( 2.如图,则直线 a 和 b 是异面直线; ( ) )

3.若 a ? b , a ? c ,则 b ∥ c . ( ) 教科书第 48 页练习 课堂小结 1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线

?相交直线 ? 2.空间两直线的位置关系 ?平行直线 ?异面直线 ?
3.异面直线的画法:平面衬托 4.公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行 5.等角定理:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么它们相等或互补 6.异面角的求法:一作(找)二说三求。 课后练习: 1. 举出你生活环境中异面直线的实例两例; 2. 完成教科书第 48 页上练习; 3.第 47 页探究问题:如图 2.1-18,观察长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线? (2)如果两条平行直线中的一条与另一条直线垂直,那么,另一条 直线是否也与这条直线垂直? (3)垂直于同一直线的两条直线是否垂直?
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设计意图:1.让学生养成借助长方体模型的判断问题的习惯;2.克服平面内两直线定 势思维的影响. 课后研究: (用泡沫纸做成教具)图 2.1-15 是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对.

(互动) :由一名学生上台把(教具)展开图还原成正方体,二名学生上台画还原图;教师 与学生共同归纳规律:1.选取一个正对面,然后确定左右两侧面,上下底面,最后定对面; 2.这些线段都是面对角线. 板书设计. 空间中直线与直线的位置关系

?相交直线? ? ? 共面直线 1. ?平行直线? ? ?异面直线 : 不同在任何一个平面内的两条直线
2.公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行 3.异面直线的画法 4. 例 2 证明:连结 BD, ∵ EH 是△ABD 的中位线,

1 BD , 2 1 同理,FG∥BD,且 FG= BD , 2
∴ EH∥BD,且 EH= ∴ EH∥FG,且 EH=FG, ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.

“空间中直线与直线的位置关系”教学设计说明
海南华侨中学 张红 (1) 本课数学内容的本质、地位、作用分析 本课数学内容是空间直线与直线的位置关系的分类,异面直线的定义、画法、成角定 义,平行公理和等角定理。本课地位是体现公理化思想的基础,作用在空间线面平行 (垂直)、面面平行(垂直)的转化的基础。设计以长方体为载体,让学生直观认识 空间直线的位置关系和异面直线成角的定义,用空间四边形的模型来应用平行公理。
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(2) 教学目标分析 了解空间两直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理和等角定理, 掌握两条异面直线成角的定义与垂直。 (3) 教学问题诊断,应在具体说明本课内容的认知准备基础上,分析学习新知识中可能存 在的困难 异面直线画法与成角问题上学生的认知上存在误区,可以借长方体模型突破难点。 (4) 本节课的教法特点以及预期效果分析 借助长方体模型,发现和感知新知,也利用模型巩固新知,预期效果较好。

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